\chapterimage{swan}

\chaptertext{
  Les fonctions affines ont été étudiées depuis le collège.

  Cette année, nous nous occuperons particulièrement de leurs signes.

  Nous commencerons à étudier le signe d'expressions plus complexes.

  Comme pour la résolution d'équations et d'inéquations, nous essaierons de nous
  ramener si possible au cas affine quand l'expression nous paraît compliquée.
  L'affine c'est la base...
  \begin{center}
\fbox{\parbox{10cm}{\sf\small A la fin de ce chapitre, vous devez être capable de :
\begin{itemize}
\item donner le sens de variation d'une fonction affine ;
\item donner le tableau de signes de $ax + b$ pour des valeurs numériques données de $a$ et $b$ ;
\item associer à un problème une expression algébrique ; mettre un problème en équation, en inéquation ;
\item résoudre une équation ou une inéquation se ramenant au premier degré.
\end{itemize}
Nous réutiliserons souvent les notions suivantes:
\begin{itemize}
\item déterminer une équation réduite de droite ;
\item tracer une droite dont vous connaissez une équation réduite ;
\item interpréter un coefficient directeur;
\item associer une fonction et sa représentation graphique.
\end{itemize}}}
\end{center}
}


\chapter{Étude des signes}

\section{Étude du signe d'expressions affines}



\subsection{Valeurs critiques d'une expression}

\pro Vous verrez  l'an prochain, si vous passez  brillamment les épreuves
de cette première année d'apprentissage Mathaïe, que la plupart du temps,
nous résoudrons  des inéquations  pour étudier des  signes. Je  ne parle
bien sûr pas des majestueux volatiles blancs.

\sxap{Et en  plus il  m'impose ses  blagues à deux  centimes} Ah Ah Ah~!
J'aimerais tant avoir votre humour.

\pro Oh~!  Ça me vient  naturellement. Bon, revenons à  nos inéquations.
Avant toute étude de signe, il faudra repérer les dangers~:


  \begin{definition}[valeurs critiques]
    Soit $E(x)$ une expression où apparaît une variable $x$. Les \emph{valeurs
critiques} de l'expression $E(x)$ sur un intervalle $I$ de $\R$ sont
\begin{itemize}
\item les valeurs de $x$ dans $I$ pour lesquelles $E(x)$ s'annule (appelées \emph{racines} de l'expression) ;
\item les  valeurs de $x$ dans  $I$ pour lesquelles  $E(x)$ n'existe pas
  (appelées \emph{valeurs interdites} de l'expression).
\end{itemize}
    \end{definition}
  


\sx Je demande à voir...

\pro Voici quelques exemples~:






  \begin{exemple}[]
     Rechercher les valeurs critiques de $3x-1$ sur $\R$.
    \end{exemple}


Il est clair $3x-1=0$ si, et seulement si, $x=\frac{1}{3}$.

 D'autre part,
 $3x-1$ existe pour toute valeur de $x$ dans $\R$. 

L'expression $3x-1$ admet donc exactement une valeur critique, $\frac{1}{3}$, qui
n'est pas une valeur interdite.


  \begin{exemple}[]
    Rechercher les valeurs critiques de $x^2-4$ sur $\R$.
    \end{exemple}
  



L'équation $x^2-4=0$ équivaut à $(x-2)(x+2)=0$. Il y a donc deux
racines, $2$ et $-2$. 

D'autre part, $x^2-4$ existe pour toute valeur
de $x$ dans $\R$, donc il n'y a pas de valeur interdite.


L'expression $x^2-4$ admet donc exactement deux valeurs critiques,
$2$ et $-2$, qui sont toutes deux des racines.



  \begin{exemple}[]
    Rechercher les valeurs critiques de $\frac{2x-5}{-x+7}$ sur $\R$.
    \end{exemple}
  

L'équation $\frac{2x-5}{-x+7}=0$ équivaut à $2x-5=0$. On obtient
ainsi comme première valeur critique $\frac{5}{2}$, qui est l'unique
racine de cette expression.

 D'autre part, $\frac{2x-5}{-x+7}$
n'existe pas quand $-x+7=0$. Pourquoi~?


\sx Ben on ne peut pas diviser par zéro.

\pro La force est avec vous jeune Mathaïe~!

On a donc une seconde valeur critique,
la valeur interdite $x=7$. 

En conclusion, l'expression admet 2
valeurs critiques, la racine $\frac{5}{2}$ et la valeur interdite $7$.




  \begin{propriete}[Valeur critique d'une expression affine]
    Soient $a$ et $b$ deux réels, avec $a\neq 0$. L'expression
$ax+b$ admet pour unique valeur critique son unique racine
$x=-\frac{b}{a}$.
    \end{propriete}
  



\subsection{Valeurs témoins et signe d'une expression}

\pro On se place dans un intervalle $I$ dont les bornes $a$ et $b$
sont éventuellement infinies:

\begin{theoreme}[Changement de signe et valeur critique]
   Une expression dépendant de la
variable $x$ ne PEUT changer de signe que de part et d'autre d'une
valeur critique.
\end{theoreme}

\sx Excusez-moi de vous interrompre mais pourquoi cela?

\pro Je  suis heureux de  constater que votre  esprit est en  alerte. La
preuve de ce  résultat ne pourra vous être  donnée qu'en année terminale
de  votre cycle  de formation  malheureusement. Pour  une  explication à
notre niveau actuel, nous pouvons l'obtenir pour les expressions affines.

\begin{recherche}
  Démontrez le théorème précédent dans le cas d'une expression affine.

  Donnez des  exemples où  une expression  ne change pas  de signe  autour d'une
  valeur critique.
\end{recherche}

  \begin{NB}[Détermination pratique du signe d'une expression sur un intervalle]
    On peut  découper notre intervalle en petits  intervalles sans point
    critique.

Sur  ces petits  intervalles, l'expression  ne change  pas de  signe. Il
suffit donc de tester sur une valeur témoin dans chaque mini intervalle.
    \end{NB}
  

\sx Cela semble très pratique... mais en fait je n'ai rien compris.

\pro Fffffffff... Bon, prenons un exemple:



  \begin{exemple}[]
    Déterminer le signe de $3x-1$ en fonction de la valeur de $x$ sur $\R$
    \end{exemple}
  

On a vu que l'expression $3x-1$ a exactement une valeur critique,
$\frac{1}{3}$, qui n'est pas une valeur interdite. Il nous faut donc
trouver le signe de $3x-1$ sur les intervalles $\left]-\infty;\frac{1}{3}\right[$
et $\left]\frac{1}{3};+\infty\right[$.

 Sur le premier intervalle, prenons la
valeur témoin $x=0$. On obtient alors $3\times 0-1=-1<0$, donc
l'expression est négative sur cet intervalle.


Sur le second intervalle, prenons la valeur témoin $x=1$. On obtient
alors $3\times 1-1=2>0$, donc l'expression est positive sur cet
intervalle.
On peut résumer ces informations dans le tableau de signes
ci-dessous~:\medskip

\begin{center}
  \begin{TSc}
    TSc(3*x-1,[-infinity,+infinity],[],n,0)
    \end{TSc}
  \end{center}

Voyons un cas plus compliqué~:


  \begin{exemple}[]
    Déterminer le signe de  $x^2-4$ en fonction de la valeur de $x$ sur $\R$.
    \end{exemple}
 
On sait que l'expression $x^2-4$ admet exactement deux valeurs
critiques, $2$ et $-2$, qui sont toutes deux des racines. Il faut
donc déterminer son signe sur les intervalles $]-\infty;-2[$,
$]-2;2[$ et $]2;+\infty[$. Pour cela on va choisir une valeur témoin
dans chaque intervalle :
\begin{itemize}
\item sur $]-\infty;-2[$, en prenant $x=-3$ on obtient
$(-3)^2-4=5>0$, donc l'expression $x^2-4$ est positive ;
\item sur $]-2;2[$, en prenant $x=0$ on obtient
$0^2-4=-4<0$, donc l'expression $x^2-4$ est négative ;
\item sur $]2;+\infty[$, en prenant $x=3$ on obtient
$3^2-4=5>0$, donc l'expression $x^2-4$ est positive.
\end{itemize}
On peut alors établir le tableau de signes suivant : 



\begin{center}
  \begin{TSc}
    TSc(x^2-4,[-infinity,+infinity],[],n,1)
    \end{TSc}
  \end{center}

Et un autre avec une valeur interdite~:



  \begin{exemple}[]
    Déterminer le signe de  $\frac{2x-5}{-x+7}$ en fonction de la valeur de $x$ sur $\R$.
    \end{exemple}
 

On sait que cette expression admet 2 valeurs critiques, la racine
$\frac{5}{2}$ et la valeur interdite $7$. Il faut donc déterminer son
signe sur les intervalles $\left]-\infty;\frac{5}{2}\right[$, $\left]\frac{5}{2};7\right[$ et
$\Big]7;+\infty\Big[$. Pour cela on va choisir une valeur témoin dans chaque
intervalle :
\begin{itemize}
\item sur $\left]-\infty;\frac{5}{2}\right[$, en prenant $x=0$ on obtient
$\frac{2\times 0-5}{-0+7}=-\frac{5}{7}<0$, donc l'expression
$\frac{2x-5}{-x+7}$ est négative ;
\item sur $\left]\frac{5}{2};7\right[$, en prenant $x=5$ on obtient
$\frac{2\times 5-5}{-5+7}=\frac{5}{2}>0$, donc l'expression
$\frac{2x-5}{-x+7}$ est positive ;
\item sur $\Big]7;+\infty\Big[$, en prenant $x=10$ on obtient
$\frac{2\times 10-5}{-10+7}=-5<0$, donc l'expression
$\frac{2x-5}{-x+7}$ est négative.
\end{itemize}
On peut alors établir le tableau de signes suivant, où la valeur
interdite est représentée par une double barre verticale :
\medskip


% \begin{center}
%   \begin{TSc}
%     TSc((2*x-5)/(-x+7),[-infinity,+infinity],n,\tv)
%     \end{TSc}
%   \end{center}

 %  \begin{center}
%     \begin{TV*}{100}
%       TV([-infinity,+infinity],[7],"f","x",-2*x-9*ln(abs(x-7)),2,n,\tv)
%       \end{TV*}
%     \end{center}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|lp{0.3cm}cp{0.3cm}cp{0.3cm}cp{0.3cm}||p{0.3cm}cp{0.3cm}r|}
\hline $x$ & $-\infty$ && && $\frac52$ && & \multicolumn{2}{c}{$7$} & && $+\infty$
\rule{0pt}{15pt}\\[5pt]
\hline Signe de $\frac{2x-5}{-x+7}$ & && \cacheb{\Large $+$} && $\cacheb{0}$ && \cacheb{\Large $-$} & & & \cacheb{\Large $+$} &&\rule{0pt}{15pt}\\[5pt]
\hline
\end{tabular}
\end{center}


%$

\modeexercice

\section{Exercices - Étude de signes / variations}




\begin{exercicea}[]
  
  Build the sign tables of the following expressions, showing
the computations leading to the critical values and involving the
test values.
\begin{multicols}{4}
\begin{enumerate}
\item $2x-5$ ;
\item $-3x+4$ ;
\item $\frac{3}{7}x-2$ ;
\item $-2-12x$ ;
\item $7-\frac{2}{3}x$ ;
\item $-3+3x$.
\item $2+\sqrt{2}x$ ;
\item $-3x+7$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercicea}



\begin{exercicea}[]
  
 \begin{enumerate}
  \item Quel est le sens de variation des fonctions $f:x \mapsto -x+140$
    et  $\  g:x \mapsto -\dfrac{1}{520}x-800$ ?
  \item Compléter les tableaux de {\it signes} suivants : (on expliquera
    la méthode utilisée, on pourra même en utilisez deux différentes...)

    $$\begin{array}{cc}
                                
      \begin{array}{|c|lcccr|}
         \hline
         x   &  &    &   &     &   \\ % **valeurs_particulieres**
        \hline
        %&     &    &   &     &      \\ % ** ligne des valeurs "MAX"**
        
        -\dfrac{3}{4}x+5  &  &\begin{minipage} {1cm}
          \begin{picture}(1,1)    
   %  \put(0,0){\vector(1,1){1}} 
          \end{picture} 
        \end{minipage}  &  &\begin{minipage} {1cm}
          \begin{picture}(1,1)    
                                %  \put(0,1){\vector(1,-1){1}}   
          \end{picture} 
        \end{minipage} & \\   
        %&  &     &     &      &    \\ % **ligne des valeurs "MIN"**
        \hline
      \end{array}
                                
      & 
                                
      \begin{array}{|c|lcccr|}
         \hline
         x   &  &    &   &     &   \\ % **valeurs_particulieres**
        \hline
        %&     &    &   &     &      \\ % ** ligne des valeurs "MAX"**
        
        \dfrac{x}{7}+\dfrac{3}{5} &  &\begin{minipage} {1cm}
          \begin{picture}(1,1)    
                                %  \put(0,0){\vector(1,1){1}} 
          \end{picture} 
        \end{minipage}  &  &\begin{minipage} {1cm}
          \begin{picture}(1,1)    
                                %  \put(0,1){\vector(1,-1){1}}   
          \end{picture} 
        \end{minipage} & \\   
        %&  &     &     &      &    \\ % **ligne des valeurs "MIN"**
        \hline
      \end{array}
                                
    \end{array}
    $$
  \end{enumerate}
  
\end{exercicea}

%$

\begin{exercicea}[Variations et signe des fonctions affines]

\subsection*{A- Un cas particulier}

On considère dans cette partie la fonction affine défnie sur $\R$ par $f(x)=2x-5$.

\begin{enumerate}
\item Tracer la courbe de $f$ à la calculatrice. Quelle semble être le sens de variation de $f$ ?
\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 
	\begin{enumerate}
	\item Quel est le signe de la différence $a-b$ ?
	\item Puisque $f(x)=2x-5$, le nombre $f(a)$ est égal à $2a-5$.\\
	      En remplacant $f(a)$ et $f(b)$ par leurs expressions, calculer et factoriser l'expression $f(a)-f(b)$.
	\item En déduire le signe de $f(a)-f(b)$, puis en déduire l'ordre des nombres $f(a)$ et $f(b)$.
	\item Justifier alors le sens de variation de $f$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer les valeurs de $x$ qui annulent $f(x)$. 
\item En utilisant la question précédente et les variations de $f$, déterminer le signe de $f(x)$ en fonction des valeurs de $x$. On donnera la réponse sous forme de phrase puis sous forme de tableau de signe.
\end{enumerate}

\subsection*{B- Le cas général}

\begin{enumerate}
\item En traçant leurs représentations graphiques à la calculatrice, observer les variations des fonctions affines
définies ci-dessous.
\begin{center}
\begin{tabular}{cp{1cm}cp{1cm}c}
$f_1(x)=-3x+2$ && $f_2(x)=x+4$ && $f_3(x)=-\frac12x-\frac52$ \\
$f_4(x)=-\frac{12}{7}x$ && $f_5(x)=5x-5$ && $f_6(x)=\frac{1}{3}x+2$ \\
\end{tabular}
\end{center}
\end{enumerate}

Dans la suite, on considére une fonction affine quelconque définie par $f(x)=mx+p$.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
\item En s'appuyant sur les résultats de la question précédente, proposer une méthode simple pour déterminer les
variations de $f$.
\item Soient $a$ et $b$ deux réels tels que $a<b$. 
	\begin{enumerate}
	\item Quel est le signe de la différence $a-b$ ?
	\item Étudier le signe de la différence $f(a)-f(b)$ en fonction des valeurs de $m$.
	\item En utilisant le résultat de la question précédente, ordonner les images $f(a)$ et $f(b)$ en fonction des
valeurs de $m$.
	\item Conclure en rédigeant un théorème concernant le sens de variation d'une fonction affine quelconque.
	\end{enumerate}
\item Expliquer pourquoi il ne peut exister qu'une unique valeur de $x$ telle que $f(x)=0$.
\item Pour chacune des fonctions affines de la question 1 de cette partie, calculer la valeur de $x$ annulant $f(x)$.
\item Dresser un tableau de signe pour chacune des fonctions de la question 1.
\item Proposer une méthode générale pour déterminer le signe d'une fonction affine. 
\end{enumerate}
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[]

  \'Ecrire, sur le modèle de l'algorithme de l'exercice 7.2, un algorithme déterminant les variations d'une fonction affine.
  
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[Temperatures]
  Two main temperature units are used in everyday life, the Celsius and Farenheit degrees. The formulas to switch
from one to the other  is as follows : if $x$ is the temperature in Celsius, then the temperature in Farenheit is 
$$f(x)=\frac{9}{5}x+\frac{288}{5}.$$
\begin{enumerate}
\item Turn into farenheit degrees the following temperatures in Celsius : $0$, $5$, $20$, $35$, $100$. Give the results
in a table of values. 
\item What kind of function is $f$ ?
\item Prove that as the temperature in Celsius increases, so does the temperature in Farenheit.
\item Find the Celsius temperature that gives a Farenheit temperature equal to $0$.
\item Study the sign of the function $f$. 
\item Is it often that we get, in England, a negative Farenheit temperature ?
\end{enumerate}
\end{exercicea}




\begin{exercicea}[QCM]
  Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Les questions sont indépendantes les unes des autres. Pour chacune des questions suivantes, choisir la ou les bonne(s) réponse(s).\\
%Une réponse complète rapporte un point. Une réponse incomplète rapporte un demi-point. Une réponse fausse ou partiellement fausse ne rapporte aucun point. L'absence de réponse n'est pas pénalisée.
\begin{minipage}{\linewidth}
  \begin{alterqcm}[lq=7cm,numprop=true,propstyle=\alph]%language=english
\AQquestion{Soit $f:x\mapsto 1-2x$, alors}
	   { { $f(-1)=-2$}, { $0$ a pour antécédent $1$},{ $f(2)=-3$} }
\AQquestion{La représentation graphique de $f(x)=\dfrac{2}{3}x-3$ passe par}
	   { { $A(-3;-5)$ et $B(3;-1)$}, { $A(-3;-5)$ ou $B(3;\dfrac{2}{3})$},{ $A(6;-1)$ et $B(3;-1)$} }
\AQquestion{L'expression $-2x+6$ est }
	   { { positive sur $[6;+\infty]$}, { positive sur $[3;+\infty]$},{ négative sur $[6;+\infty]$} }
\AQquestion{La fonction $f(x)=2x$ est }
	   { { croissante}, { linéaire},{ affine} }
\AQquestion{La fonction $g(x)=-5+x$ est}
	   { { croissante}, { décroissante},{ monotone} }
         \end{alterqcm}
       \end{minipage}
     \end{exercicea}



\begin{exercicea}[]

  On donne ci-dessous $5$ fonctions affines : 
 $$f(x)=4x-2 \quad ; \quad  g(x)=5 \quad ; \quad  h(x)=2x \quad ; \quad  i(x)=-2x+2 \quad ; \quad  j(x)=4-2x$$
\begin{enumerate}
\item Dresser le tableau de variation de chacune de ces fonctions.
\item Dresser le tableau de signe de chacune de ces fonctions.
\item Dans un repère orthonormal d'unité $1$ cm, tracer les représentations graphiques de ces fonctions.
\end{enumerate}
  
\end{exercicea}



\begin{exercicea}[]
  
  In this exercise we will extend the method of the sign table
to products of linear expressions.
\begin{enumerate}
\item Give the signs of the expressions $3x-15$ and $-5x-7$ in a sign table.
\item Use the previous question to copy and fill the next table.
\begin{center}
\begin{tabular}{c|lp{1cm}|p{1cm}p{1cm}|p{1cm}r}
$x$ & $-\infty$ & \multicolumn{2}{c}{$-\frac{7}{5}$} &
\multicolumn{2}{c}{$5$} & $+\infty$ \\ \hline
sign of $3x-15$ & && && \\ \hline
sign of $-5x-7$ & && && \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
\item Add a row to the new table where you will show the sign of the
product $(3x-15)(-5x-7)$ over each interval.
\item Use the last row of the table to solve the inequations
$(3x-15)(-5x-7)>0$ and $(3x-15)(-5x-7)\leq 0$.
\end{enumerate}
\end{exercicea}

\begin{exercicea}[]
  
  Dresser les tableaux de signes des expressions suivantes.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $(2x+7)(-3x+1)$ ;
    \item $(-4x-8)(-5x+12)$ ;
    \item $(\frac{1}{4}x+\frac{1}{3})(x+2)$ ;
    \item $x(-x+5.2)$ ;
    \item $5x^2(-2x+8)$ ;
    \item $-4x(7x+8)$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercicea}



\begin{exercicea}[]
  
Déterminer le signe des quotients suivants en fonction de la
valeur de $x$ et donner le résultat sous forme de tableau.
\begin{multicols}{3}
\begin{enumerate}
    \item $\displaystyle\frac{2x+7}{-3x+1}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{-x+5.2}{x}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{6-3x}{2x+1}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{13+6x}{4-x}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{2x}{3x+5}$ ;
    \item $\displaystyle\frac{1.3x+9}{-5x}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[]
  
Résolvez les problèmes suivant~:
\begin{enumerate}
\item Étudiez le signe de $(2x+3)(2-3x)$
\item Résolvez dans $\bbr$ $(x^2-4)(x^2+9)\geqslant 0$
\item Déterminez les valeurs de $x$ pour lesquelles l'expression $\sqrt{(2-x)(x-5)(x^2+1)}$ est définie~? 
\item Quel est le signe de Zorro~?
\end{enumerate}

\end{exercicea}


\begin{exercicea}[]
  
 \begin{enumerate} %
\item Développer, réduire et ordonner l'expression :
$(x+3)^2-16$.

\item Factoriser l'expression :
$(x+3)^2-16$.

\item À l'aide d'un tableau de signe, résoudre l'inéquation :
$(x-1)(x+7)<0$.

\end{enumerate}

\end{exercicea}




\begin{exercicea}[]
  
Résolvez les inéquations proposées en n'oubliant pas de préciser d'abord l'ensemble de définition.

\begin{multicols}{4}
\item $\dfrac{2(x+5)-1}{x+3}>0$
\item $\dfrac{3-x}{x+3}\leqslant 2$
\item $\dfrac{4+x}{x}\leqslant  \dfrac{2x+1}{2x-1}$
\item $\dfrac{4x}{(x+2)^2}>\dfrac{4}{x+2}$
\end{multicols}

\end{exercicea}


\begin{exerciceb}[Money]
  In this exercise, we look at the problem of currency exchange. 

\subsection*{A- The official exchange rate}

As of April 6, 2010, one euro was equivalent to $0.88$ UK pounds.

\begin{enumerate}
\item Convert the following amounts into $UK$ pounds : $5$ euros, $20$ euros and $75$ euros.
\item Find out the formula of the function $p$ that converts euros into UK pounds. 
\item What are the variations of the function $p$ ? Use this result to fill out the following sentence :
The \ldots euros you convert, the \ldots pounds you get.
\end{enumerate}

\subsection*{B- Two bank services}

A bank is offering a currency exchange service. They charge a $5$ euros commission for any operation, and offer a rate
of $0.85$ pounds for $1$ euro.

\begin{enumerate}
\item In that bank, how many pounds would you get for $5$ euros, $20$ euros
and $75$ euros ?
\item Find the formula of the function $b_1$ giving the amount in UK pounds you would get for $x$ euros in this bank.
\item What are the variations of the function $b_1$ ?
\item Solve the equation $b_1(x)=0$ and study the sign of $b_1(x)$ over the interval $[0,100]$.
\end{enumerate}

Another bank is offering a rate of $0.75$ pounds for $1$ euro, with no commission.

\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{4}
\item In that bank, how many pounds would you get for $5$ euros, $20$ euros
and $75$ euros ?
\item Find the formula of the function $b_2$ giving the amount in UK pounds you would get for $x$ euros in the second bank.
\item What are the variations of the function $b_2$ ?
\item Study the sign of $b_2(x)$ over the interval $[0,100]$.
\end{enumerate}


\subsection*{C- Comparing the two banks}

A UK visitor has to decide what bank to choose for a currency exchange operation. To do so, let's define a function $f$
by the formula $f(x)=b_2(x)-b_1(x)$.

\begin{enumerate}
\item Find the formula for $f$.
\item Explain how function $f$ can be used to help the visitor decide what bank to go to.
\item What are the variations of the function $f$ ?
\item Find the solution of the equation $f(x)=0$.% What does it mean for the services offered by the two banks ? 
\item Help the visitor decide what bank he should go to.
\end{enumerate}
\end{exerciceb}


\begin{exerciceb}[]
  
A farmer has bought $48$ yards of fence to build a
rectangular enclosure for a diplodocus. Let $x$ be the length of the
smallest side of the enclosure and $y$ the length of the longest
side.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{diplo}
\end{center}
%\end{figure}


\begin{enumerate}
\item Prove that $y=24-x$.
\item Compute the area of the enclosure as a function of $x$.
\end{enumerate}
The farmer wants the enclosure to have an area of at least $135$
square yards. He wants to know what are the possible lengths for
the sides to do so.
\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{2}
\item What inequation must we solve to answer to this problem ?
\item Check that this inequation is equivalent to $(x-15)(x-9)\leq
0$.
\item Solve this new inequation using a sign table.
\item Conclude.
\end{enumerate}
\end{exerciceb}




\begin{exerciceb}[]
  
A company is building urinals in large quantities. Let $x$ be
the number of thousands of urinals built. Each urinal is sold at the
price of £$15$ per unit. We call $S(x)$ the total of the sales,
in thousand of pounds.


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{urinoir}
\end{center}
%\end{figure}



\begin{enumerate}
\item \begin{enumerate}
    \item Compute $S(1)$, $S(2)$ and $S(3)$.
    \item Find the general formula for $S(x)$.
    %\item Draw the graph of $S$ in a coordinate system with units $5cm$ for 1 unit
 %   on the $x$-axis 1cm for 5 unit on the $y$-axis.
    \end{enumerate}
%\end{enumerate}

%\begin{enumerate}\setcounter{enumi}{1}
% \item \begin{enumerate}
%     \item Draw the graph of $C$ on the same coordinate graph as $S$.
%     \item Find out graphically when the company has a positive balance (difference between sales and
%     cost).
%     \end{enumerate}
\item The cost of fabrication of $x$ thousand of urinals has been proved to
be close to $C(x)=25x^2-85x+75$.
\begin{enumerate}
    \item Prove that the balance of the company is equal to $B(x)=-25x^2+100x-75$.
    \item Prove that $B(x)=25(1-x)(x-3)$.
    \item What equation must we solve to find out for how many urinals
    the company will have a positive balance ?
    \item Solve this equation using a sign table.
    \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[]
  
  Soit la fonction définie par $f(x)=\frac{1}{x-3}+2$.
\begin{multicols}{2}
  \begin{enumerate}
\item Réduisez $f(x)$ au même dénominateur.
\item Résolvez par le calcul l'équation $f(x)=0$.
\item Résolvez par le calcul l'inéquation $f(x)<0$.
\item Résolvez par le calcul l'inéquation $f(x)\geqslant  3$.
 \item Résolvez par le calcul l'équation $f(x)=x+5$.
\item Résolvez par le calcul l'inéquation $f(x)<x+5$.
 \end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exerciceb}


\eject

\section{Exercices - Droites et fonctions affines}


\begin{exercicea}[]
  
  Dans la liste suivante, reconnaître les fonctions affines et
les fonctions linéaires. Vérifier la réponse en traçant sur la calculatrice la représentation graphique de chaque
fonction.
\begin{multicols}{3}
    \begin{enumerate}
    \item $f_1(x)=3x+1$ ;
    \item $f_2(x)=-x$ ;
    \item $f_3(x)=25$ ;
    \item $f_4(x)=2x^2-5$ ;
    \item $f_5(x)=\dis\frac{9x}{7}$ ;
    \item $f_6(x)=-2x+\sqrt{2}$ ;
    \item $f_7(x)=\dis\frac{4x-6}{2}$ ;
    \item $f_8(x)=\dis\frac{2}{4x-6}$ ;
    \item $f_9(x)=(2x-1)^2$ ;
    \item $f_{10}(x)=2x-1^2$ ;
    \item $f_{11}(x)=\sqrt{3x+2}$ ;
    \item $f_{12}(x)=\sqrt{3}x+\sqrt{2}$.
\end{enumerate}
\end{multicols}
\end{exercicea}



\begin{exercicea}[]
L'algorithme suivant concerne une fonction de la forme $f(x)=ax+b$. Compléter les pointillés.
\begin{center}\vspace*{-15pt}
\begin{minipage}[t]{10cm}
%\IncMargin{1em}
\begin{algorithm}[H]
%\KwData{$x$, $a$ and $b$ three real numbers \;}
\Begin{\KwIn{$a$, $b$ nombre réel \;}
\eIf{$a=0$}{\KwOut{``La fonction est \dots`` \;}}
	   {\eIf{$b=0$}{\KwOut{``La fonction est \dots'' \;}}
		       {\KwOut{``la fonction est \dots'' \;}}}
}
\end{algorithm}
%\DecMargin{1em}
\end{minipage}
\end{center}
  
  
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[]
  
On travaille dans un repère $\oij$. Déterminez les équations réduites des droites suivant :
\begin{enumerate}
\item $(D_1)$ qui passe par $A(1\pv 2)$ et qui a pour coefficient directeur $-2$;
\item $(D_2)$ qui passe par $B(-1\pv2)$ et $C(4\pv -3)$;
\item $(D_3)$ qui est parallèle à la droite d'équation $y=-3x+2$ et qui passe par A;
\item $(D_4)$ qui est parallèle à l'axe des ordonnées et qui passe par $E(37\pv-193\sqrt{\pi})$.
\end{enumerate}
\end{exercicea}



\begin{exercicea}[]
  
  Six équations de droites sont données ci-dessous.
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $d_1$ : $3x-3y+3=0$ ;
%\item $d_2$ : $y=-5x+7$ ;
\item $d_2$ : $y-2=-6(x-\frac13)$ ;
\item $d_3$ : $\frac{x}{5}+\frac{y}{2}=1$ ;
\item $d_4$ : $-2x+5y+1=0$ ;
%\item $d_6$ : $y=6x-11$ ;
\item $d_5$ : $y+1=2(x+5)$ ;
\item $d_6$ : $\frac{x}{3}-\frac{y}{3}=1$.
\end{itemize}
\end{multicols}


Déterminez leurs  coefficients directeurs respectifs  et les coordonnées
de leurs intersections avec l'axe des abscisses. 

\end{exercicea}




\begin{exercicea}[]
  

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{Aff1}
\end{center}
%\end{figure}


 Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ci-contre représentent
        respectivement les fonctions
      affines $f_1$, $f_2$ et $f_3$.\\
      Déterminer  les  expressions  de   chacune  de  ces  fonctions  en
      utilisant les coordonnées des points mis en évidence sur le graphique.
   
\end{exercicea}





\begin{exercicea}[SAT]
  If the  line of  slope $3/5$  contains the  point $(3,1)$,  then it  must also
  contain which of the following points?
  \begin{multicols}{5}
    \begin{enumerate}
    \item $(-2,-2)$
    \item $(-1,4)$
    \item $(0,0)$
    \item $(2,-1)$
    \item $(3,4)$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[SAT]
  The line $y-1=5(x-1)$ contains the point $(0,n)$. What is the value of $n$?
\end{exercicea}

\begin{exercicea}[SAT]
  What is the slope of the line whose equation is $2y-13=-6x-5$?
\end{exercicea}


\begin{exercicea}[SAT]
  What is the slope of the line that passes through the origin and the point $(-3,2)$?
\end{exercicea}

\begin{exercicea}[AS-level]
  Eight  points  have coordinates  as  follows.  $A(3,5)$, $B(6,10)$,  $C(8,3)$,
  $D(6,-2)$, $E(0,-5)$, $F(-4,-7)$, $G(-1,-4)$, $H(-4,2)$.
  \begin{enumerate}
  \item Find the gradients of the lines $(AF)$, $(HD)$, $(AD)$, and $(CH)$.
  \item Show that the points D, E and F are on the same line.
  \item Show that $(AC)$ is parallel to $(DH)$.
  \end{enumerate}
\end{exercicea}




\begin{exercicea}[AS-level]
  Find  the gradients  and  $y$-intercepts  for the  lines  with the  followwing
  equations.
  \begin{multicols}{4}
    \begin{enumerate}
    \item $y=x+2$
    \item $y=2-3x$
    \item $2x+y=0$
    \item $x+2y+7=0$
    \item $\frac{1}{8}x+\frac{5}{4}y=6$
    \item $y=7$
    \item $x=5$
    \item $x=y$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}
\end{exercicea}





\begin{exercicea}[AS-level]
  State the gradient of the following lines:
  \begin{enumerate}
  \item $y=7x+6$
  \item $x=7y+6$
  \item  A line  which passes  through the  $x$-axis at  $-2/3$ and  through the
    $y$-axis at $4/9$.
  \item A horizontal line which passes through the point $(\pi,-7,12)$.
  \end{enumerate}
\end{exercicea}

\begin{exercicea}[Edexcel]
  The points  A and B  have coordinates  $(2,16)$ and $(12,-4)$.A  straight line
  $\ell_1$ passes through A and B.
  \begin{enumerate}
  \item Find an equation for $\ell_1$ in the form $ax+by=c$.
  \item The line  $\ell_2$ passes through the point C  with coordinates $(-1,1)$
    and has gradient $1/3$. Find an equation for $\ell_2$.
  \end{enumerate}
\end{exercicea}



\begin{exercicea}[Révisions de Troisième]
  
  Un industriel est spécialisé dans la fabrication de crème contre l'acné.

  
L'industriel reçoit des commandes de différentes régions de France.

Pour la livraison des produits, il s'adresse alors à deux sociétés de transport et compare leurs tarifs :
\begin{itemize}
\item tarif 1 : £3,50 par mile parcouru ;
\item tarif 2 : £2 par mile parcouru avec en plus un forfait fixe de £150.
\end{itemize}

Soit $y_{1}$ le prix (en £) du transport avec le tarif 1 pour $x$ miles parcourus.

Soit $y_{2}$ le prix (en £) du transport avec le tarif 2 pour $x$ miles parcourus.
\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
        \item Reproduire et compléter le tableau suivant :
          
		\begin{tabular}[t]{|c|*5{>{\hfill}m{0.8cm}<{\hfill\null}|}}
			\hline
			$x$ (en miles)&50&&150&&300\\
			\hline
			$y_{1}$ (en £)&&420&&&\\
			\hline
			$y_{2}$ (en £)&&&&670&\\
			\hline
		\end{tabular}

		\item Quel est le tarif le plus avantageux pour 50 miles parcourus ? Et pour 300 miles parcourus ?
	\end{enumerate}
	\item Exprimer $y_{1}$ et $y_{2}$ en fonction de $x$.
	\item Tracer la droite $(d_{1})$ représentant la fonction $f_1\;:\;x \longrightarrow 3,5x$
	\\et la droite $(d_{2})$ représentant la fonction $f_2\;:\;x \longrightarrow 2x+150$ dans le plan muni d'un repère orthogonal.
	\\On prendra sur l'axe des abscisses 1 cm pour représenter 25 miles, et sur l'axe des ordonnées 1 cm pour £50.
	\\Pour des raisons pratiques, prendre l'origine du repère en bas et à gauche de la feuille.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement le nombre de miles à partir duquel il est plus avantageux pour l'industriel de choisir le tarif 2 (on laissera visible les pointillés nécessaires à la lecture graphique).
		\item Retrouver ce dernier résultat par le calcul.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation $2x+150=500$. À quoi correspond, pour ce problème, la solution de cette équation ?
		\item Sur le graphique, retrouver la solution de l'équation précédente : on laissera visibles les traits pointillés utiles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\end{exercicea}


\begin{exerciceb}[]
  
 Le ministère de l'Éducation Syldave a publié en 1997 la progression
 des dépenses d'emprisonnement des élèves paresseux de 1990 à 1995. Ces données
 sont représentées graphiquement (tableau et graphique ci-dessous).
 

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.7\linewidth]{Aff2}
\end{center}
%\end{figure}


$$\begin{array}{|p{3cm}|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
 Année & 1990 & 1991 & 1992 & 1993 & 1994 & 1995 \\
 \hline
 Dépense en milliards de Sprounz &
 445,5 & 474,5 & 504,8 & 530,2 & 568,2 & 588,5 \\
 \hline
 \end{array}$$
 \\


 On décide d'approcher la courbe représentant ces dépenses par
 la droite $\Delta$ passant par les points $A$ et $B$.
 \begin{enumerate}
 \item
 Donner les coordonnées des points $A$ et $B$ en utilisant le tableau.
 \item
 Calculer le coefficient directeur de la droite $\Delta$.
 \item
 On note $f$ la fonction affine représentée par la droite $\Delta$.
 Déterminer l'expression  $f(x)$.
\item Calculer les  coordonnées du point moyen G  ayant pour coordonnées
  les moyennes des coordonnées des 6 points. Appartient-il à $\Delta$ ? 
\item
 On suppose que cette évolution s'est maintenue les années suivantes.
 \'Evaluer la dépense globale   en 2008.
 \end{enumerate}
 



\end{exerciceb}





\begin{exerciceb}[]
  
En janvier  2000, M.  Chaprot a créé  une entreprise qui fabrique  des épilateurs de poils  de nez à
condensateurs mégathermicosensorielhyropropulsés
fonctionnant à l'énergie éolienne. Comme il a du mal a trouver des employés assez qualifiés pour une
telle besogne, il ne peut pas fabriquer plus de 35 épilateurs par mois.

On sait  que l'entreprise  parvient à  vendre toute sa  production en  Syldavie, quelque  soit le
nombre d'épilateurs fabriqués, car  M. Chaprot est le cousin par alliance  du beau-frère de la femme
de chambre  de la nouvelle maîtresse  italienne du Guide Suprême  de ce bucolique  pays et bénéficie
d'un contrat exclusif de vente obligatoire aux ministres syldaves.





\subsubsection*{Lectures graphiques}


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.95\linewidth]{foncMeta2.1}
\end{center}



Sur le graphique, on a représenté:
\begin{itemize}
\item le  coût total de  production (charges,  salaires, matériel, pots  de vin, etc.)  en centaines
  d'euros, en fonction du nombre d'épilateurs produits (courbe $\CR$);
\item la recette totale, en centaines d'euros,  engendrée par la vente de ces $x$ épilateurs (droite
  $\RR$ passant par O.)
\end{itemize}

Par exemple, 450 sur l'axe des ordonnées se lit $45\, 000$ euros.





\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Est-ce que la recette est proportionnelle au nombre d'épilateurs vendus~?
  \item Quel est le montant des coûts fixes~?
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Donnez  le coût total de  production de 10 épilateurs  et faites apparaître le  tracé sur le
    graphique.
  \item Déduisez-en le coût unitaire de production pour une production de 10 épilateurs.
  \item Quel est le coût unitaire si l'on fabrique 15 épilateurs.
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item  Donnez, en  justifiant  votre réponse,  le bénéfice  réalisé  par l'entreprise  suite à  la
    production et à la vente de 10 épilateurs.
  \item L'entreprise réalise-t-elle des bénéfices quelque soit le nombre d'épilateurs fabriqués~?
  \end{enumerate}


\end{enumerate}


\subsubsection*{Étude de la fonction bénéfice}


Les courbes $\RR$  et $\CR$ représentent en fait  les fonctions $r$ et $c$ définies  sur $[0\pv 35]$
par~:
\[r(x)=35x\quad \text{et} \quad c(x)=x^2+5x+125\]

\begin{enumerate}
\item Calculez $B(x)$ en fonction du nombre $x$ d'épilateurs vendus, avec B la fonction bénéfice.
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrez que $B(x)=-(x-5)(x-25)$.
  \item Dressez un tableau donnant le signe de B sur $[0\pv 35]$.
  \item Combien  d'épilateurs M. Chaprot  doit-il produire (ou  plutôt ses ouvriers) pour  gagner de
    l'argent ? 
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item Montrez que $B(x)=-(x-15)^2+100$.
  \item Quelle doit être la production pour obtenir un bénéfice maximum~?
  \item Y a-t-il un lien entre le coût unitaire et le bénéfice~?
  \end{enumerate}

\end{enumerate}


\subsubsection*{Bénéfice futur}
\begin{enumerate}
\item L'entreprise a réalisé  un bénéfice de $10\,000$ euros  en 2000. À la fin de  l'année, après impôts,
investissements  forcés dans  l'économie syldave,  financement du  mariage secret  du  Guide Suprême
syldave, fonds versés à la caisse noire  du Parti du Rassemblement Syldave, paiement des vacances de
la famille Chaprot aux Maldives, il reste à l'entreprise un bénéfice net représentant 8\% du bénéfice brut initial. Calculez
ce bénéfice net.
\item En  payant moins les ouvriers  et en faisant chanter  les ministres pour  qu'ils achètent plus
  cher les épilateurs, M. Chaprot augmente ses  bénéfices nets de 11\% par an. Quel bénéfice peut-il
  envisager en 2010~?
\item À partir de quelle année pourra-t-il obtenir un bénéfice net supérieur à $30\, 000$ euros~?
\end{enumerate}
\end{exerciceb}





\begin{exerciceb}[Nucléaire]


En 1990, une centrale atomique  a été créée. Le 
but de cet exercice est d'étudier l'évolution du pourcentage des salariés
 ayant quatre oreilles  par rapport au total des salariés de 
 la centrale.


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{simpson}
\end{center}
%\end{figure}

 
Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre $x$ 
d'années écoulées depuis 1990 et le pourcentage $y$ de salariés à quatre oreilles 
correspondant.

\begin{center}\begin{tabular}{|*{9}{c|}}\hline
Année&1992&	1994& 1995& 1998 & 1999 & 2001 & 2002 & 2003\\ \hline
$x$& 2& 4& 5 & 8 & 9 & 11 & 12 & 13\\ \hline
$y$ (en $\:\%$)& 8,9& 10,2 &  10,5& 12,2 & 12,3 & 13,2 & 13,8 & 14,9\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\begin{enumerate} \item	Dans un repère orthogonal \Oij~ d'unité graphique 1 cm, 
représenter le nuage des points $M$ de coordonnées $(x~;~ y)$.
\item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G 
de ce nuage, c'est à dire le point de coordonnées (moyenne des abscisses,moyenne 
des ordonnées)

\item Placer le point G sur le graphique précédent.

\end{enumerate}

\item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point G et de coefficient 
directeur 0,5.

\begin{enumerate} \item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique 
précédent.

\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.

\end{enumerate}

\item On réalise, â l'aide de la droite $\mathcal{D}$  un ajustement affine du 
nuage représenté à la question \textbf{1.}, c'est à dire qu'on suppose que 
l'évolution du pourcentage 
de salarié à quatre oreilles peut être modélisé par la fonction affine 
correspondant à la droite $\mathcal{D}$.
À l'aide de cet ajustement, déterminer graphiquement :

\begin{enumerate} \item le pourcentage de salariés à quatre oreilles dans 
l'entreprise 
en 2000 ;

\item en quelle année le pourcentage des salariés à quatre oreilles dans 
l'entreprise 
atteindra $16\:\%$.

\textsl{Pour ces deux questions, les traits nécessaires à la lecture 
devront figurer sur le graphique.}

\end{enumerate}

\item Retrouver par le calcul les résultats de la question précédente 
à l'aide de l'équation de $\mathcal{D}$ obtenue à la question \textbf{3. 
b.}.

\end{enumerate}




\end{exerciceb}




















\begin{exerciceb}[Ténias]

\noindent La croissance observée en centimètres suivant l'âge est indiquée dans
 le tableau ci-dessous :
 
 \vspace{0,5cm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l| *{5}{c |}}\hline 
âge du ténia en années& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline
taille en centimètres& ~23~&~ 36~&~	43~&~ 55~&~	62~\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent La longévité de l'espèce (âge maximal) est évaluée à neuf années.

\noindent Très nombreux à la naissance, les ténias se font plus rares à
 l'âge adulte, les spécimens très âgés devenant exceptionnels. Ainsi sur
 1000 ténias qui viennent de naître, seuls 10 parviendront à l'âge de 8 ans.


 
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{tenia}
\end{center}
%\end{figure}


Le graphique  suivant représente le nuage de points correspondant
 aux données du tableau. 

\begin{enumerate} 

\item Un ajustement linéaire du nuage semble-t-il justifié? 

\item On désigne par G$_1$ le point moyen du trois premiers
 points du nuage et par G$_2$ celui des deux derniers

   \begin{enumerate} 
  \item Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ et tracer la droite
 (G$_1$G$_2$) sur le graphique.

   \item Montrer que la droite (G$_1$G$_2$) admet pour équation 
   réduite : $y = 9,8 x +14,4$.

    \item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et montrer qu'il
    appartient bien à la droite (G$_1$G$_2$).

   Placer le point G sur le graphique.

    \end{enumerate}

\item On admet que cette droite constitue une bonne modélisation
 de la taille du ténia en fonction de son âge.

   \begin{enumerate} 

    \item Résoudre algébriquement l'inéquation $9,8 x + 14,4 > 200$. Est-il 
    vraisemblable qu'un ténia dont la taille dépasse 200 centimètres 
    puisse être observé ?  
 
    \item Résoudre graphiquement l'équation $9,8 x + 14,4 = 100$.
 
    En déduire l'âge d'un ténia mesurant 100 centimètres . (On donnera
    la valeur entière la plus proche et on laissera apparents les traits de
    construction ).
    
    \end{enumerate} 

\end{enumerate}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=9cm]{brochet}
\end{center}
\caption{\'Evolution de la taille d'un ténia en fonction de son âge} 
\end{figure}



  
\end{exerciceb}







\begin{exerciceb}[Élèves de Seconde 22]




On met en contact des élèves de seconde 22 avec un agent antiparesse.
\noindent Dans le tableau ci-dessous,
$t_i$ désigne le temps (en minutes) d'exposition des élèves à l'agent 
antiparesse,

$y_i$ désigne le nombre de survivants sur $10^6$ élèves.

\[\begin{array}{|l|*{8}{c|}}\hline
t_i &  ~15~& ~20~& ~25~& ~30~& ~35~&~40~ & ~45~ &~50~\\ \hline
y_i & 120 & 	67 &  49& 27& 20& 9& 7&	3\\ \hline
z_i = \ln y_i& & & & & & & & \\ \hline
\end{array}\]


Vous trouverez une touche \keystroke{ln} sur votre calculatrice.

\begin{enumerate} \item Recopier le tableau en complétant la dernière ligne
 $z  = \ln  y_i$, où  ln désigne  la fonction  logarithme népérien  : vous  vous
 contenterez d'utiliser la touche \texttt{ln} de votre calculatrice. 

Donner les résultats arrondis à $10^{-1}$ près.

\item Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées $(t_i~; 
z_i)$ dans un repère orthogonal (\textsl{unités graphiques 2 cm pour 10 
minutes en abscisse et 2 cm pour une unité en ordonnée}).

\item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$
 associé aux quatre premiers points du tableau, puis celles du point moyen
 G$_2$ associé aux quatre derniers points du tableau.

\item Tracer la droite (G$_1$G$_2$).

\item Une équation de la droite (G$_1$G$_2$) est de la forme $z = a t + b$.
 Calculer les nombres réels $a$ et $b$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}
  
\end{exerciceb}







\begin{exerciceb}[A-Level 2015 - AQA P1]
  The line $(AB)$ has equation $3x+5y=7$.
  \begin{enumerate}
  \item Find the gradient of $(AB)$.
  \item The line $(AC)$ has equation $2x-3y=30$. Find the coordinates of A.
  \end{enumerate}
\end{exerciceb}



\begin{exerciceb}[A-Level 2015 - AQA P1]
  The  point  P has  coordinates  $(\sqrt{3},2\sqrt{3})$  and  the point  Q  has
  coordinates $(\sqrt{5},4\sqrt{5})$.
Show that the gradient of PQ can be expressed as  $n+\sqrt{15}$, stating the value of the
integer $n$.
\end{exerciceb}




\begin{exerciceb}[A-Level 2014 - AQA P1]
  The point A has coordinates $(-1,2)$ and the point B has coordinates $(3,-5)$.
  \begin{enumerate}
  \item Find the gradient of $(AB)$.
  \item Hence find an equation f the line $(AB)$, giving your answer in the form
    $px+qy=r$, where $p$, $q$ and $r$ are integers.
  \end{enumerate}
\end{exerciceb}


\begin{exerciceb}[L'impôt sur le revenu]
  Cette année,les choses se compliquent avec le prélèvement à la source.

  Revenons à la situation précédente pour simplifier un peu...


  Et simplifions cette situation simplifiée. Considérons le cas d’un célibataire. Il faut d’abord connaître son revenu imposable pour l’année en question. Il s’agit du revenu du contribuable auquel on retire certaines sommes, par exemple au titre des frais professionnels (10 % forfaitaires pour beaucoup d’entre nous).

Ensuite, viennent les fameuses tranches qui donnent des taux :
\begin{itemize}
\item Jusqu’à 5 852 € : 0%
   \item  de 5 852 à 11 673 € : 5,50%
    \item de 11 673 à 25 926 € : 14,00%
    \item de 25 926 à 69 505 € : 30,00%
    \item au-delà de 69 505 € : 40,00%
\end{itemize}
Mais cela ne signifie pas qu’on ne paye pas d’impôt si on gagne 5852 € et 5,50\% de 5853 €, c’est-à-dire 322 €, si on gagne un euro de plus ! Si c’était le cas, effectivement, le système serait injuste. Un euro de plus de revenu et 322 € de plus sur l’impôt ! Cela signifie par contre la chose suivante :

Si le revenu est inférieur à 5 852 €, on ne paye pas d’impôt.

Si le revenu est compris entre 5 852 € et 11 673 €, on ne paye pas d’impôt sur les 5852 premiers € de son revenu, et on paye 5,50\% de la partie qui excède 5852 €. Par exemple, si le revenu est 5 853 €, on payera 5,50\% de 1 euro, c’est-à-dire 5 centimes (voir plus loin cependant ; on ne peut pas être imposé pour quelques centimes). Il n’y a donc pas d’injustice....

Si le revenu est compris entre 11 673 € et 25 926 €, on ne paye rien sur la première tranche de 5 852 €, puis 5,50\% sur la deuxième tranche, allant de 5 852 € à 11 673 € (soit 5,50\% de (11 673-5852) ou 320 €), et enfin 14,00\% sur la partie du revenu qui excède 11 673 €. Exemple : si le revenu est de 15 000 €, l’impôt sera de 0 + 320 + 14 \% x (15 000 - 11 673) = 785 €.

Et de même avec les autres tranches.

\textbf{Essayez de représenter cela sur un beau graphique}.

\textit{Quels sont vos commentaires?}

Essayez ensuite de créer\textbf{ un deuxième graphique}: en horizontale, encore le revenu imposable. En verticale, le taux d’imposition global, c’est-à-dire le pourcentage qu’il faut appliquer au revenu pour avoir l’impôt. Si on appelle l’impôt I et le revenu R, il s’agit simplement de diviser I par R. Par exemple, si le revenu est de 50 000 €, l’impôt est de 9537 €, si bien que le taux global est de 9 537/50 000 = 0, 19, c’est-à-dire 19 \%.

\textit{Commentaires?}

\textbf{Encore un  autre graphique}. Horizontalement, toujours  le revenu. Verticalement,
on indique « ce qui vous reste quand  vous avez payé vos impôts », autrement dit
la différence entre le revenu et l’impôt.

\textit{Comment interpréter cette dernière courbe?}

Pour les courageux: étudiez les impôts 2019...
\end{exerciceb}




% \section{Résolution de systèmes 2x2 à la calculatrice}\label{sec::sys22}





% \subsection{Préparons le programme}

% Le but de notre activité est  de construire un programme qui résoudra de
% manière excate un système de la forme~:

% \[
% \bsyc
% a_1x+b_1y&=&c_1\\
% a_2x+b_2y&=&c_2
% \esyc
% \]

% les $a_i$ et les $b_i$ étant des entiers relatifs donnés.

% \begin{enumerate}
% \item\label{det}  À quelle  condition  ce système  admettra-t-il  un unique  couple
%   solution~?

% \item   Nous  supposerons  par   la  suite   que  cette   condition  est
%   vérifiée.   Résolvez    ce   système,   c'est-à-dire    exprimez   les
%   \emph{variables} $x$ et $y$ en fonction des $paramètres$ $a_1$, $b_1$,
%   $c_1$, $a_2$, $b_2$ et $c_2$.

% \item  Peut-on utiliser  ces formules  si  la condition  de la  question
%   \vref{det} n'est pas vérifiée~?


% \end{enumerate}


% \subsection{Programmons la calculatrice}

% Nous voulons résoudre les systèmes su type 
% \[
% \bsyc
% a_1x+b_1y&=&c_1\\
% a_2x+b_2y&=&c_2
% \esyc
% \]

% \subsubsection{Avec une CASIO}

% On ouvre une fenêtre de programme en sélectionnant {\LARGE \CProg}.

% On obtient~:


% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys1.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}



% On choisit un nom, par exemple \texttt{SYSL22}



% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys2.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}


% Ensuite   il  va   falloir  prévoir   l'entrée  par   l'utilisateur  des
% coefficients $a_1$,  $b_1$, $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$.  Pour $a_1$ cela
% donne~:


% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys3.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}

% Pour  les  lettres,  les  chiffres  et  les  guillemets  on  utilise  le
% clavier après avoir tapé \CAlpha.  Pour la flèche, c'est la touche
% \CAff. Pour ?, on va chercher dans
% le  menu des  programmes en  tapant  \CShift \CVars~.  Le symbole  \CRet
% s'obtient en tapant \CExe.


% On arrive donc à cet écran~:



% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys5.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}

% Ensuite  il faut  créer les  variables  locales qui  seront calculées  à
% l'intérieur  du   programme  et  n'en  sortiront  pas.   Il  s'agit  des
% déterminants. Pour nommer les variables,  on ne peut utiliser que les 26
% lettres de l'alphabet~:



% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys6.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}




% Il ne  reste plus qu'à demander  les résultats. Il  faudra distinguer le
% cas où le déterminant du système est nul ou pas. 

% On   va  utiliser   les   commandes  \og   If...Then...Else...IfEnd\fg{}
% accessibles dans le menu \texttt{PGRM}  en tapant \CShift \CVars puis en
% allant dans l'onglet \texttt{COM}.


% Les  deux points  permettent d'afficher  en  même temps  le texte  entre
% guillemets et le résultat calculé H/G. Ils sont accessibles dans le menu
% \texttt{PGRM}.

% Le petit  triangle \CTri  est obtenu  dans le même  menu. Il  demande de
% faire une pause dans le programme pour que l'utilisateur ait le temps de
% lire la valeur.

% Les symboles $=$ et $\neq$ s'obtiennent dans le même menu dans l'onglet \texttt{REL}.

% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys7.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}




% On  sort alors  de l'affichage  du  programme en  tapant plusieurs  fois
% \CExit.


% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys8.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}


% Il reste à l'exécuter en tapant sur \CExe.

% Pour résoudre~:

% \[
% \bsyc
% x+y&=&1\\
% 2x-y&=&3
% \esyc
% \]


% on entre les différentes valeurs des coefficients~:



% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys9.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}

% et on obtient les solutions sous forme exacte~:



% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys10.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}


% \subsubsection{Avec une TI}


% On ouvre  une fenêtre de programmation  en tapant \tiprog et  on tape le
% nom du programme~:



% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys12.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}


% Ensuite   il  va   falloir  prévoir   l'entrée  par   l'utilisateur  des
% coefficients $a_1$, $b_1$,  $c_1$, $a_2$, $b_2$, $c_2$.  On  a besoin de
% la  commande \texttt{Prompt}  qui s'obtient  dans le  menu  \tiprog dans
% l'onglet \texttt{I/O}~:

% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys13.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}

% Cela donne~:

% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=1.5cm]{sys11.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}

% Ensuite  il faut  créer les  variables  locales qui  seront calculées  à
% l'intérieur  du   programme  et  n'en  sortiront  pas.   Il  s'agit  des
% déterminants. Pour nommer les variables,  on ne peut utiliser que les 26
% lettres de l'alphabet~:

% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{sys14.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}

% La petite flèche d'affectation s'obtient avec \tisto.



% Il ne  reste plus qu'à demander  les résultats. Il  faudra distinguer le
% cas où le déterminant du système est nul ou pas. 

% On   va  utiliser   les   commandes  \og   If...Then...Else...End\fg{}
% accessibles dans le menu \texttt{PGRM}  en tapant \tiprog.

% Le symbole $=$ s'obtient en tapant \tisnd\titest~:



% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys15.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}


% Il reste à l'exécuter.

% Pour résoudre~:

% \[
% \bsyc
% x+y&=&1\\
% 2x-y&=&3
% \esyc
% \]


% on entre les différentes valeurs des coefficients~:


% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys16.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}

% et on obtient~:


% \begin{figure}
% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3.5cm]{sys17.jpeg}
% \end{center}
% \end{figure}





%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "Poly2nde2018_19_Affine"
%%% End:
