



\chapterimage{JohnNapier}
\chaptertext{Où les mathématiques rejoignent l'alchimie : guidés
par la Force, nos héros transforment les produits en somme, créent
de nouvelles fonctions. On touche au divin...}



\chapter{LOGARITHME N\'EP\'ERIEN}


 \section{Différentes définitions}


Comme souvent en mathématiques, un même objet  (ici le logarithme
népérien) peut être défini de différentes manières (nous en
verrons trois) mais nous aboutirons malgré tout aux mêmes
propriétés~: le procédé de fabrication change, mais le produit
fini est le même.


\subsection{Cherchons des fonctions vérifiant f(a x b)=f(a)+
f(b)}

 Historiquement, le logarithme népérien a été pour la
première fois mis en évidence par l'\'Ecossais John
\textsc{Napier} (en français Jean Néper..) au tout début du
$XVII^{e}$ siècle. Afin de faciliter la vie des astronomes,
navigateurs, financiers de l'époque qui étaient confrontés à des
calculs...astronomiques, John rechercha une fonction qui puisse
transformer des produits très compliqués à calculer en sommes plus
abordables. Il a donc été amené à résoudre une \textit{équation
fonctionnelle}, $i.e.$ il a recherché les fonctions $f$ vérifiant
$f(a\times b)=f(a)+f(b)$
Il a pu alors établir des Tables de logarithmes, complétées au fil
des ans par des potes mathématiciens (nous verrons comment ils ont
pu se débrouiller en exercice). À partir de deux nombres $a$ et
$b$, on lit sur les Tables leurs logarithmes $\ln a$ et $\ln b$;
on calcule facilement $\ln a+ \ln b$ qui est égal à $\ln ab$, puis
on cherche sur les Tables le nombre qui admet pour logarithme $\ln
ab$ et qui est bien sûr $ab$.

\subsection{Existe-t-il des fonctions qui ont pour dérivée x $\mapsto$ 1/x~?}

Autre problème: nous connaissons des fonctions qui
ont pour dérivée $x^2$, $x^1$, $x^0$, $x^{-2}$,
$x^{-3}$, etc. Vous avez tout de suite remarqué que nous avons
oublié quelqu'un~: quelles peuvent être les fonctions qui ont pour dérivée la
fonction qui à $x$ associe $x^{-1}=1/x$~? Une rapide enquête
mathématique nous conduit à trouver qu'il s'agit en fait de
fonctions vérifiant l'équation fonctionnelle du copain John. Nous
le verifierons là encore en exercice, et c'était l'approche au
programme il y a une dizaine d'année.

\subsection{Quelle est la réciproque de la fonction
exponentielle~?}

Nous
avons  déjà   rencontré  une  fonction   obéissant  à  la   \textsl{loi  de
décomposition radioactive}, à savoir  la fonction exponentielle. Mais de
nouveaux  problèmes  se posent  au  moment  de  construire de  nouvelles
centrales~:  dans  combien  de   milliards  d'années  les  habitants  de
Tchernobyl ne  risqueront plus d'attraper  un cancer de la  thyroïde en
ingérant les légumes irradiés de  leurs potagers. Les Physiciens sont alors
amenés à résoudre  une équation d'inconnue $y$ du  type $e^y=32$ Quel est
donc ce $y$ dont l'exponentielle vaut 32~?  Mme \textsc{Le Mer},
célèbre physicienne du  $XXI^e$ siècle, vous a déjà  donné la réponse~: on
l'appelle $\ln 32$.

Voici un extrait des tables de logarithmes publiées au début du XVII\eme
siècle par John \textsc{Napier} himself :

\begin{center}
%\vspace{-1cm}
\includegraphics[width=0.7\linewidth]{napier_logtable}
\end{center}


% 

%
%Plus généralement, nous allons voir si le mécanisme qui à $e^y$
%associe $y$ est une fonction et si oui découvrir ses propriétés
%qui seront bien sûr celle du logarithme de John.
%
%
%
%Survolons donc la notion de \textit{fonction réciproque}. La
%fonction exponentielle est continue et strictement croissante de
%$\bbr$ vers $]0,+\infty[$. Donc, d'après notre bon vieux
%\textsl{théorème de LA valeur intermédiaire} (appelé en d'autres
%temps théorème de la bijection),  pour tout $x\in]0,+\infty[$, il
%existe un unique réel $y$ tel que $\exp(y)=x$. Compte tenu de
%l'existence et de l'unicité de ce réel, on peut donc
%\textit{définir} une fonction qui à tout $x$ dans $]0,+\infty[$
%associe l'unique réel $y$ tel que $\exp(y)=x$. C'est la fonction
%réciproque de la fonction exponentielle, on la note ln (logarithme
%népérien)
%\begin{center}ln~:\begin{tabular}{l} $]0,+\infty[\to\bbr$\\$ x\mapsto \ln
%x$
%\end{tabular}\end{center}
%
%Après ça, tout coule de source...







\section{Construisons le logarithme}



\pro Premier problème : la fonction exponentielle admet-elle une
réciproque ? Et d'abord, qu'est-ce que la réciproque d'une
fonction ?

\tsx Si une fonction $f$ envoie un nombre $x$ vers un nombre $y$,
sa réciproque $f^{-1}$ permet de renvoyer $y$ vers $x$.

\pro Pouvez-vous me donner un exemple ?

\tsx La fonction carrée envoie 2 vers 4 et la fonction racine
carrée renvoie 4 vers 2.




\pro Pour reprendre votre exemple, tout nombre réel admet un et un
seul carré, donc la \og~transformation~\fg{} $x\mapsto x^2$ est bien
une fonction sur $\bbr$. Mais il y a des problèmes pour revenir en
arrière : certains nombres sont les carrés de deux réels comme 4,
d'un seul comme 0 ou même d'aucun comme -32. On ne peut donc pas
toujours définir une fonction \og~retour~\fg{} : n'oubliez pas en
effet que par définition, une fonction numérique fait correspondre
à un réel de l'ensemble de définition un UNIQUE réel.

En fait, on a cherché à résoudre une équation d'inconnue $x$ du
type $x^2=a$ qui peut admettre selon la valeur de $a$ deux, une,
voire aucune solution réelle.

Connaissez-vous un moyen de s'assurer qu'une équation du type
$f(x)=a$ admet une unique solution sur un ensemble donné ?

\tsx Vous me prenez pour un rigolo : le théorème de LA valeur
intermédiaire bien sûr !

\pro J'ai du mal à réaliser à quel point la Force est en vous.
Vous allez donc pouvoir relier tout ceci à la fonction
exponentielle.

\tsx La fonction exponentielle est \textit{continue} et
\textit{strictement croissante} sur $\bbr$ et à valeurs dans
$]0,+\infty[$.


Donc, pour tout réel $a$ \textit{strictement positif}, l'équation
$\exp(x)=a$ admet une unique solution réelle.

\pro Si je résume, à tout réel \textit{strictement positif} $x$ on
peut associer un $unique$ réel $y$ tel que $x=\exp(y)$. On notera
ce réel $\ln x$ (logarithme népérien de $x$) et nous pouvons
maintenant énoncer : \\



\begin{theoreme}[définition du logarithme népérien]
    La fonction exponentielle admet une
fonction réciproque défine sur $]0,+\infty[$ et à valeurs dans
$\bbr$ appelée fonction logarithme népérien. On note $\ln x$
l'image d'un réel strictement positif par cette fonction.
Alors,
\[\text{pour tout } x>0,\ e^{\ln x}=x \quad \text{et}\quad \text{pour tout réel }
x,\ \ln e^x=x\] 
    \end{theoreme}



\pro Comme la fonction exponentielle ne s'annule pas sur $\bbr$,
nous admettrons cette année que sa réciproque est dérivable. Donc
$\ln $ est dérivable sur $]0,+\infty[$. Notons provisoirement
$\ln'$ sa dérivée. Nous savons juste que $\exp(\ln x)=x$. Essayez
d'en déduire une expression de $\ln' x$.


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\tsx Pour obtenir $\ln'$, il faudrait dériver quelque chose. Or
nous n'avons qu'une relation à nous mettre sous la dent, donc je
vais dériver chaque membre de l'égalité $\exp(\ln x)=x$.

J'obtiens $\ln'x\times\exp(\ln x)=1$ et donc $\ln'x=1/x$...Bingo !
Le lien est fait : ln est la fonction qui a pour dérivée la fonction inverse.




\pro Pas si vite mon petit Téhessix. Nous savons que plusieurs fonctions peuvent
avoir la même dérivée. Nous allons considérer LA fonction de dérivée la fonction inverse sur
$]0,+\infty[$ \textit{qui s'annule en 1}. Pouvez-vous me confirmer
que $\ln 1=0$~?

\tsx Sur la machine oui, mais je ne vois pas comment calculer une
valeur particulière d'une fonction dont on ne connait rien.

\pro Ou plutôt pas grand chose, mais c'est suffisant. Utilisez la
seule relation que vous connaissiez en introduisant 1.

\tsx Si vous le dîtes. Alors $\exp(\ln 1)=1$...

\pro Donc $\exp(\ln 1)=\exp(0)$, or la fonction exponentielle est
une bijection car elle est continue et strictement croissante.

\tsx Bijection, qu'est-ce que ça veut dire ?

\pro Ça veut  dire en particulier que $f(x)=f(y)\ssi x=y$, donc
ici \[\exp(\ln 1)=\exp(0)\ssi \ln 1=0\]





\begin{propriete}[sens de variation]
   La fonction ln est dérivable sur
$]0,+\infty[$ et $\ln'(x)=1/x$ pour tout $x\in]0,+\infty[$. \\ On
en déduit que la fonction ln est strictement croissante sur
$]0,+\infty[$.
    \end{propriete}



\pro Compte-tenu du lien entre exponentielle et logarithme, essayez de démontrer
la propriété suivante:





\begin{propriete}[relation fondamentale]
    Pour tout $a>0$ et tout $b>0$, on a
$$\ln ab = \ln a+\ln b$$
De plus $$\ln1=0$$
    \end{propriete}

\sm

\pro Cette dernière propriété va vous permettre, pendant vos temps
libres, de mettre en évidence quelques autres résultats bien
pratiques~:


\begin{propriete}[propriétés algébriques]
    $$\ln (1/a)=-\ln a \qquad
\quad\ln(a/b)=\ln a-\ln b\qquad \quad\ln a^p=p\ln a\quad
\text{avec } p\in\bq$$
    \end{propriete}


Occupons-nous maintenant des propriétés analytiques du logarithme,
en particulier, allons voir ce qui se passe à l'infini.

\sm

Mais nous avons beaucoup réfléchi, alors je vous propose un petit
jeu sous forme d'énigme pour nous détendre : un cloporte se
promène sur le graphe de la fonction ln tracé dans un repère
orthonormé d'unité le centimètre. Combien de temps mettra-t-il
pour atteindre une hauteur de 30 cm sachant que sa vitesse est de
$1cm.s^{-1}$ ?
    



\MATA{ Voilà un gars qui sait s'amuser ! \textbf{tout haut :}
euh...quel jeu distrayant, maître ! Voyons, le problème revient à
résoudre l'équation $\ln x=30$, c'est à dire $x=e^{30}$, ce qui
donne environ 107 millions de kilomètres. Il lui faudra donc à peu
près 3386 siècles sans compter ses pauses-jeu.}

\pro Ah, ah, ah, cette blague me fera toujours rire.

\MATA{Pauvre homme...}

\pro Bon, fini de rire. Vous vous rendez compte que la fonction ln
n'est pas bien vaillante.

\tsx En fait, je l'imagine mal monter vers l'infini et au-delà.

\pro Résumons-nous : nous savons que ln est strictement
croissante, donc que peut-on dire de son comportement
asymptotique, c'est à dire à l'infini ?

\tsx Vous m'avez déjà mis en garde à ce sujet : si ln est bornée,
alors elle admet une limite finie, sinon elle tend vers $+\infty$.
Le problème revient donc à savoir si ln est bornée sur
$]0,+\infty[$.

\pro Nous allons raisonner par l'absurde. Supposons qu'il existe
un réel $A>0$ tel que $\ln x<A$ pour tout $x\in]0,+\infty[$. Cela
voudrait dire que $x<e^A$ pour tout $x>0$ ce qui est pour le moins
absurde ! Il suffit de choisir $x=e^A+32$.

Ainsi ln n'est pas bornée et donc

\begin{propriete}[limite à l'infini]
     $$\Lim{+\infty}\ln x=+\infty$$
    \end{propriete}
\sm

Occupons-nous maintenant de ce qui se passe du côté de l'autre
borne de l'ensemble de définition, au voisinage de zéro. Il n'y a
pratiquement rien à faire connaissant les propriétés algébriques
de ln et en vous inspirant de ce que nous avions fait pour déduire
la limite en $-\infty$ de exp connaissant sa limite en $+\infty$.

\tsx Ben si $x$ tend vers 0, alors $1/x$ tend vers $+\infty$ et
$\ln(1/x)=-\ln x$. En fait, si on remet tout dans l'ordre
$$\left.\begin{array}{l}\Lim{0}1/x=+\infty\\
\ds\lim_{X\to+\infty}\ln
X=+\infty\end{array}\right\rbrace\Rightarrow\Lim{0}\ln(1/x)=+\infty$$

Or $\ln(1/x)=-\ln x$, donc finalement


\begin{propriete}[limite en zéro]
    $$\Lim{0}\ln x=-\infty$$
    \end{propriete}
\pro Très bien. Il ne reste plus qu'à régler un dernier détail :
ln croît vers $+\infty$, certes, mais très, très lentement. À
votre avis, que se passe-t-il au voisinage de $+\infty$ pour
$\fr{\ln x}{x}$ ?

\tsx La fonction ln ne va pas peser grand chose face aux fonctions
monômes : le rapport va sûrement tendre vers zéro.

\pro Votre intuition est bonne. Il suffit en fait d'étudier la
fonction $\f\ :\ x\mapsto \ln x-\sqrt{x}$ pour conclure que



\begin{proprietes}[croissances comparées]
D'une part~:

    $$\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x}=0$$

Plus généralement, pour tout entier naturel $n$ non nul $$\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x^n}=0\quad \Lim{+\infty} \fr{e^x}{x^n}=+\infty\quad
\Lim{0}x^n\ln x=0\quad \Lim{-\infty}x^ne^x=0$$

\end{proprietes}



\tsx Vous parlez de mon intuition, mais un détail me turlupine :
la dérivée de ln tend vers 0 en $+\infty$. J'aurai donc envie de
dire que ln se \og~stabilise~\fg{} à l'infini puisque sa pente tend
vers zéro : elle devrait donc être majorée à linfini, pourtant
nous avons montré qu'elle ne l'était pas.

\pro Encore une fois, vous m'impressionez \mat. En effet, nous
aurions tendance à penser qu'une fonction $f$ vérifiant
$\Lim{+\infty}f'(x)=0$ admette une asymptote horizontale.
Malheureusement, les outils permettant de vous prouver que ce
n'est pas toujours vrai ne sont plus au programme de Terminale,
donc patience... Néanmoins, retenez que des conjectures qui
paraissent évidentes peuvent s'avérer fausses lorsqu'on se trouve
trop près de l'infini.

\tsx Après ces paroles, mon cours de philo va me paraître bien
fade...

\pro Une  dernière petite  limite avant de  vous laissez  affronter seul
(mais je  serai toujours à vos côté  grâce à la Force)  les épreuves, un
dernier  petit   défi.  Que  pensez-vous   de  la  limite  en   zéro  de
$\frac{\ln(x+1)}{x}$.

\tsx Argh, une forme indéterminée, vous ne me ménagez pas.

\pro  oui mais  il  s'agit d'une  limite  en une  valeur finie.  Laissez
dériver votre pensée...

\tsx  Nom de Zeus~!  Bien sûr~!  Introduisons $f~:~x\mapsto  \ln(x+1)$ et
calculons sa dérivée en 0.


\pro Vous êtes décidément prêt mon jeune disciple.





\begin{propriete}[limite en zéro et taux de variation]
    $$\Lim{0}\frac{\ln(x+1)}{x}=1$$
    \end{propriete}







\section{Logarithmes et exponentielles d'autres bases}


\begin{definition}[puissance réelle (exponentielles de base quelconque)]
    Pour tout réel $a>0$ et pour tout réel $b$, on pose $a^b=e^{b\ln a}$
    \end{definition}
  


\begin{definition}[logarithme décimal]
    La fonction $\log\ :\ x\mapsto \fr{\ln x}{\ln 10}$ définie pour $x>0$ est appelée \textbf{fonction logarithme décimal}
    \end{definition}



    


\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}






\subsection{Exercices
sur la définition des logarithmes}






%%


\begin{exercice}[Le problème de John]

Nous allons rechercher les fonctions $f$ telles que 
\begin{itemize}
\item $f$ est dérivable sur $]0,+\infty[$
\item $f'(1)=1$
\item pour tous réels $a>0$ et $b>0$, $f(ab)=f(a)+f(b)$
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item Calculez $f(1)$.
\item Soit $a>0$ un réel fixé. On définit sur $]0,+\infty[$ la
fonction $$ g_a~:\ x\mapsto g_a(x)=f(ax)-f(x)$$ Montrez que $g_a$
est constante.
\item Montrez que $g_a$ est dérivable sur $]0,+\infty[$ et
calculez $g_a'(x)$.
\item Il ne vous reste plus qu'à remarquer que
$g_a'(1)=af'(a)-f'(1)$ pour en déduire que $f$ est la primitive de
$x\mapsto 1/x$ sur $]0,+\infty[$ qui s'annule en 1. \end{enumerate}

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Tables] En utilisant uniquement les résultats $\ln2\simeq0,693$ et $\ln5\simeq1,610$, donnez une valeur approchée de \begin{enumerate}
\item $\ln 2,5$
\item $\ln 125$
\item $\ln 0,2$ 
\item $\ln \fr{250}{8}$
\item $4\times 5$ sachant que vous ne savez plus vos tables de
multiplications.
 \end{enumerate}

 

\subsection{Croissances comparées}

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Logarithme et puissance]


 Soit $\alpha\in\bbn\setminus\{0\}$ et $x\in]0,+\infty[$. On pose $f(x)=\fr{\ln x}{x^{\alpha}}$.\begin{enumerate}\item \begin{enumerate}
\item En posant $X=x^{\alpha}$, montrez que $f(x)=\frac{1}{\alpha}\frac{\ln X}{X}$.
\item Déduisez-en que $\Lim{+\infty}\fr{\ln x}{x^{\alpha}}=0$.\end{enumerate}
\item Soit $g(x)=x^{\alpha}\ln x$\begin{enumerate}
\item En posant $X=1/x$, exprimez $g(x)$ en fonction de $X$ et $\alpha$.
\item Qu'en déduisez-vous d'intéressant~?
\end{enumerate}\end{enumerate}

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Exponentielle et puissance] On pose $\f(x)=e^x/x^{\alpha}$.\begin{enumerate}
\item\begin{enumerate}
\item Montrez que $\f(x)=e^{x\pa{1-\alpha\frac{\ln x}{x}}}$
\item Déduisez-en $\Lim{+\infty}\f(x)$
\end{enumerate}
\item On pose $\psi(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ \begin{enumerate}
\item Démontrez que $\psi(x)=e^{-x\pa{1-\alpha\frac{\ln x}{x}}}$
\item Qu'en déduisez-vous d'intéressant~?
\end{enumerate} \end{enumerate}

\end{exercice}

\subsection{Puissance réelle d'un réel}




%%


\begin{exercice}[Fonction puissance] \'Etudiez les fonctions $f_{\alpha}~:~x\mapsto x^{\alpha}$

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Exponentielle de base 2] \'Etudiez la fonction $\f~:~x\mapsto 2^x$.

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Calcul de limite] Soient $\alpha$ et $\beta$ deux réels. \'Etudiez $\lin\fr{n^{\alpha}}{1+n^{\beta}}$.

\jok{Discutez selon le signe de $\beta$, puis selon celui de $\alpha$}





\subsection{Divers}




\begin{exercice}[Nombre de chiffres d'un nombre] Soit $n\in\bbn^*$. Montrez que le nombre de chiffres dans l'\'ecriture d\'ecimale de $n$ est \mbox{$1+E(\log n)$}
 o\`u log repr\'esente le logarithme d\'ecimal et
 $E(x)$ la partie entière d'un réel $x$.
\jok{Encadrez n par deux puissances successives de 10}


\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Équation] Résolvez dans $]0,+\infty[$ l'équation $\ \ds x^{\left(x^x\right)}=\left(x^x\right)^x$.

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Variations sans dériver] \'Etudiez et représentez graphiquement la fonction $x\mapsto\ln\bigl(\ln^2(x^2)\bigr)$.

 Vous éviterez un gros calcul de
dérivée.

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Dérivées pathologiques]

Calculez les dérivées des fonctions définies par 
\begin{enumerate}
\item  $a(x)=\ln(\ln x)$  \item $b(x)=\ln(\ln(\ln(\ln x)))$ \item $c(x)=\ln\pa{\fr{1+x}{1-x}}$
\end{enumerate}

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Limites en l'infini] \'Etudier les limites quand $x$ tend vers $+\infty$ de
  \begin{enumerate}
  \item $f_1(x)=x^{1/x}$
\item $f_2(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^x$
\item $f_3(x)=\left(\frac{\ln x}{x}\right)^{1/x}$
\item $f_4(x)=\frac{x^{\ln
x}}{(\ln x)^x}$
  \end{enumerate}

\emph{Pour b) posez t=1/x; pour c), décomposez l'exposant de e à l'aide d'expressions du type $\ln t/t$}


\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Limites en 0] \'Etudier les limites quand $x$ tend vers $0^+$ de
$$a)\ g_1(x)=x^x\qquad
b)\ g_2(x)=(x^x)^x\qquad c)\ g_3(x)=x^{(x^x)}$$ $$ d)\ g_4(x)=\left(-\ln x\right)^{x}\qquad e)\ g_5(x)=x^2e^{1/x}.$$

\jok{d) posez $t=-\ln x$; e) t=1/x}



\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Ln et racines]

On pose $f(x)=\ln\pa{\sqrt{1+x^2}}$ \begin{enumerate}
\item Déterminez l'ensemble de définition de $f$ et étudiez sa parité.
\item Calculez $\Lim{+\infty} f(x)-\ln x$
\item \'Etudiez les variations de $f$ et tracez sa courbe représentative dans un bon repère.
\end{enumerate}

\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Prolongement par continuité ]

Soit $\f~:~u\mapsto u\ln u$. Cette fonction est-elle prolongeable par continuité en 0~? La fonction $\tilde{\f}$ ainsi prolongée est-elle
dérivable en 0~? \'Etudiez $\tilde{\f}$ et tracez sa représentation graphique.

\end{exercice}





\begin{exercice}[Limite en 1] Calculez $\Lim{1}\fr{\ln(x^2/2+1/2)}{x-1}$


\end{exercice}

\begin{exercice}[Un petit préambule : logarithme décimal]



\'Etudiez brièvement cette fonction et mettez en évidence ses principales propriétés algébriques.

\sm

On considère un repère où l'axe des abscisses est gradué comme d'habitude et où l'axe des ordonnées est gradué en échelle logarithmique,
c'est à dire qu'une unité étant choisie, la $k-ième$ unité correspond à une ordonnée de $10^k$.

Représentez dans un tel repère les fonctions suivantes : \begin{enumerate}
\item $f_1~:~x\mapsto 10^x$
\item $f_2~:~x\mapsto 32\times 10^x$
\item $f_3~:~x\mapsto 0,32\times 10^x$
\item $f_4~:~x\mapsto e^x$
\item $f_5~:~x\mapsto e^{-32x}$

\end{enumerate}









\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Décibels]

\subsubsection*{Définition}

Si G est une grandeur et $G'$ une nouvelle grandeur, les nombres $G'-G$ ou $\ofr{G'}{G}$ ou
$\ofr{G'-G}{G}$ peuvent
être trop grands  ou trop petits pour  être interprétés. On utilise alors  une échelle logarithmique
(de   base   10).   En   supposant   $G$   et  $G'$   strictement   positifs,   on   calcule   ainsi
$\log_{10}\frac{G'}{G}$  et le  résultat est  exprimé en  \textbf{Bel}. On  utilise  plus couramment
$10\log_{10}\frac{G'}{G}$  qui est  exprimé en  \textbf{décibel}  si G  et $G'$  sont des  grandeurs
utilisées  en  acoustique, électronique,  télécommunications  (Bel  vient  de Graham  \textsc{Bell},
l'inventeur du téléphone). 

Si $\log_{10}\frac{G'}{G}$ est positif, on parle de gain et sinon d'atténuation ou de perte.


\smallskip

\subsubsection*{Attention aux vendeurs de lave-vaisselle ou d'aéroports~!}

Soit $P_0$ la puissance fournie à l'entrée d'un appareillage et $P_1$ la puissance de sortie.

\begin{enumerate}
\item  On vous dit  que l'atténuation  de la  puissance est  de 3  dB. Que  peut-on en  déduire pour
  $\ofr{P_1}{P_0}$~?


\item Que dire du gain en décibels si $\ofr{P_1}{P_0}=10$~? $=100$~? $=200$~?
\end{enumerate}












\end{exercice}


%%


\begin{exercice}[Un peu de chimie : pH et pKA]

Dans l'eau de Javel, il y a de l'acide hypochloreux $HC\ell O$ associé à sa base, l'ion hypochlorite $C\ell O^-$ : je ne vous apprends
rien. Je vous rappelle, mais vous connaissez ça par c\oe ur que $pH$ et $pK_A$ sont liés par la relation

$$pH=pK_A+\log_{10}\fr{\cro{\text{Base}}}{\cro{\text{Acide}}}$$

\'Etudiez la fonction $\alpha$ qui au $pH$ associe le rapport $\fr{\cro{\text{Base}}}{\cro{\text{Acide}}}$ ainsi que la fonction $\beta$ qui
au $pH$ associe le rapport $\fr{\cro{\text{Acide}}}{\cro{\text{Base}}}$ sachant que le $pK_A$ de notre couple vaut 7,3.

Tracez les représentations de ces deux fonctions sur un même graphique et interprétez chimiquement.





\end{exercice}


\subsection{Bac}


\begin{exercice}
  
On considère, pour tout entier $n > 0$, les fonctions $f_n$ définies sur l'intervalle [1~;~5J par:

\[f_n(x) = \dfrac{\ln x}{x^n}.\]
 .
Pour tout entier $n > 0$, on note $\mathcal{C}_n$ la courbe représentative de la fonction $f_n$ dans un repère orthogonal.
 
Sur le graphique ci-dessous sont représentées les courbes $\mathcal{C}_n$ pour $n$ appartenant à 
$\{1~;~2~;~3~;~4\}$.



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{Liban}
\end{center}
% \end{figure}


\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout entier $n > 0$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :

\[f'_n(x) = \dfrac{1- n\ln (x)}{x^{n+1}}.\]

\item  Pour tout entier $n > 0$, on admet que la fonction $f_n$ admet un maximum sur l'intervalle [1~;~5].

On note $A_n$ le point de la courbe $\mathcal{C}_n$ ayant pour ordonnée ce maximum.

Montrer que tous les points $A_n$ appartiennent à une même courbe $\Gamma$ d'équation

\[y = \dfrac{1}{\text{e}} \ln (x).\]

	\item Montrer que, pour tout entier $n > 1$ et tout réel $x$ de l'intervalle [1~;~5] :

          \[0 \leqslant \dfrac{\ln (x)}{x^n} \leqslant \dfrac{\ln (5)}{x^n}.\]

        \end{enumerate}
        


\end{exercice}




\begin{exercice}
  
\parbox{0.6\linewidth}{Lors d'une expérience en laboratoire, on lance un projectile dans un milieu fluide. L'objectif est de déterminer pour quel angle de tir
$\theta$ par rapport à l'horizontale la hauteur du projectile ne dépasse
pas $1,6$ mètre.

Comme le projectile ne se déplace pas dans l'air mais dans un
fluide, le modèle parabolique usuel n'est pas adopté.

On modélise ici le projectile par un point qui se déplace, dans un
plan vertical, sur la courbe représentative de la fonction $f$ définie
sur l'intervalle [0~;~1[ par:

\[f(x) = bx + 2\ln (1- x)\]

où $b$ est un paramètre réel supérieur ou égal à $2$, $x$ est l'abscisse
du projectile, $f(x)$ son ordonnée, toutes les deux exprimées en mètres.}
\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{AN}
\end{center}
%\end{figure}

  }


\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~1[. On note $f'$ sa fonction dérivée.

On admet que la fonction $f$ possède un maximum sur l'intervalle [0~;~1[ et que, pour tout réel
$x$ de l'intervalle [0~;~1[ :

\[f'(x) = \dfrac{- bx + b - 2}{1 - x}.\]

Montrer que le maximum de la fonction $f$ est égal à $b - 2 + 2\ln \left(\dfrac{2}{b}\right)$.
\item  Déterminer pour quelles valeurs du paramètre $b$ la hauteur maximale du projectile ne dépasse
pas $1,6$~mètre.
\item  Dans cette question, on choisit $b = 5,69$.

L'angle de tir $\theta$ correspond à l'angle entre l'axe des abscisses et la tangente à la courbe de la
fonction $f$ au point d'abscisse $0$ comme indiqué sur le schéma donné ci-dessus.

Déterminer une valeur approchée au dixième de degré près de l'angle $\theta$.
\end{enumerate}
 
\end{exercice}






\begin{exercice}[Vrai ou Faux ?]
  
   On considère dans $\R$ l'équation :

\[\ln (6 x - 2) + \ln (2x - 1) = \ln (x).\]

L'équation admet deux solutions dans l'intervalle $\left]\dfrac{1}{2}~;~+ \infty\right[$.
\end{exercice}




\begin{exercice}
  
\emph{Dans cet exercice, on munit le plan d'un repère orthonormé.}

On a représenté ci-dessous la courbe d'équation:
\[y = \dfrac{1}{2}\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x} - 2\right).\]


Cette courbe est appelée une \og chaînette \fg. 

On s'intéresse ici aux \og arcs de chaînette\fg{} délimités par deux points de cette courbe
symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Un tel arc est représenté sur le graphique ci-dessous en trait plein.

On définit la \og largeur \fg{} et la \og hauteur \fg{} de l'arc de chaînette délimité par les points $M$ et $M'$ comme indiqué sur le graphique.


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{metro1}
\end{center}
%\end{figure}


\medskip

Le but de l'exercice est d'étudier les positions possibles sur la courbe du point $M$ d'abscisse $x$ strictement positive afin que la largeur de l'arc de chaînette soit égale à sa hauteur.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que le problème étudié se ramène à la recherche des solutions strictement
positives de l'équation 

\[(E) : \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 4x - 2 = 0.\]

\item  On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :

\[f(x) = \text{e}^x + \text{e}^{- x} - 4x - 2.\]

	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que pour tout $x > 0,\: f(x) = x \left(\dfrac{\text{e}^x}{x}- 4\right) + \text{e}^{- x} - 2$.
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$.
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$, où $x$ appartient à l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
		\item Montrer que l'équation $f'(x) = 0$ équivaut à l'équation : $\left(\text{e}^x\right)^2 - 4\text{e}^x - 1 = 0$.
		\item En posant $X = \text{e}^x$, montrer que l'équation $f'(x) = 0$ admet pour unique solution réelle le nombre $\ln \left(2 + \sqrt{5}\right)$.
	\end{enumerate}
\item  On donne ci-dessous le tableau de signes de la fonction dérivée $f'$ de $f$ :
	

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=2cm]{metro2}
\end{center}
%\end{figure}


	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau de variations de la fonction $f$.
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution strictement positive que l'on notera $\alpha$.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant où les variables $a$, $b$ et $m$ sont des nombres réels :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
Tant que $b - a > 0,1$ faire:\\
\hspace{1cm}$m \gets \dfrac{a+b}{2}$\\
\hspace{1cm}Si $\text{e}^m + \text{e}^{-m} - 4m - 2 > 0$, alors:\\
\hspace{2cm}$b \gets m$\\
\hspace{1cm}Sinon :\\
\hspace{2cm}$a\gets m$\\
\hspace{1cm}Fin Si\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\parbox{0.53\linewidth}{\begin{enumerate}
\item Avant l'exécution de cet algorithme, les variables $a$ et $b$
contiennent respectivement les valeurs $2$ et $3$.

Que contiennent-elles à la fin de l'exécution de l'algorithme ?

On justifiera la réponse en reproduisant et en complétant le tableau ci-contre avec les différentes valeurs prises par les variables, à chaque étape de l'algorithme.
\item Comment peut-on utiliser les valeurs obtenues en fin d'algorithme à la question
précédente ?
\end{enumerate}}\hfill \parbox{0.43\linewidth}{
 \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$m$ 	&$a$ &$b$ &$b - a$\\ \hline
\cellcolor{lightgray}	&2& 3 &1\\ \hline
2,5		&&&\\ \hline
\ldots	&\ldots&\ldots&\\ \hline
 ~		&&&\\ \hline
\end{tabularx}}
 
\parbox{0.6\linewidth}{\item La \emph{Gateway Arch}, édifiée dans la ville de Saint-Louis aux États-Unis, a l'allure ci-contre.
 
Son profil peut être approché par un arc de chaînette renversé dont la largeur est égale à  la hauteur.}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[scale=.7]{metro3}
\end{center}
%\end{figure}

} 
 
La largeur de cet arc, exprimée en mètre, est égale au double de la solution strictement
positive de l'équation : 
 
\[\left(E'\right) : \text{e}^{\tfrac{t}{39}} + \text{e}^{-\tfrac{t}{39}} - 4\frac{t}{39} - 2 = 0.\]
 
Donner un encadrement de la hauteur de la \emph{Gateway Arch}.

\end{enumerate}


\end{exercice}






\modenormal

%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTS18_19_Ln"
%%% End:
