\chapterimage{umma}
\chaptertext{}


\chapter{Récurrence}

\section{Mise en abîme}


\subsubsection{Génétique syldave}

Les scientifiques syldaves viennent de mettre en évidence que la terrible maladie de Mathieu est en fait héréditaire : cette maladie frappe depuis des siècles les petits syldaves et les fait naître avec un unique mais énorme cheveu sur la tête.

C'est Vaclav \textsc{Grtschtsz} qui, le premier, contracta cette maladie en 1643 après être rentré en contact avec des vénusiens : ce fait peu connu marque la cause de l'apparition de la maladie en Syldavie. Depuis, tous ses descendants ont souffert de ce terrible mal et aucun médicament terrestre ne semble en mesure de stopper cette calamité.

Résumons les faits :

\begin{enumerate}
\item  la maladie de Mathieu fait naître les nouveaux nés avec un énorme et unique cheveu sur la tête. Notons $n$
la $n$\eme génération aprés Vaclav.

 Notons $\PR(n)$ la propriété~:~<<~la $n$\eme génération sera infectée par la maldie~>>
\item initialisation : un premier syldavien est infecté en 1643, donc $\PR(0)$ est vraie;
\item l'hérédité de la maladie a été prouvée : si un des parents de la $k$\eme génération est atteint, alors ses enfants de la $k+1$\eme génération seront également infectés, ce qui se traduit par \[ \PR(k)\imp\PR(k+1)\ \]
\item nous en déduisons que, quelque soit la génération $n$  des descendants de Vaclav, ceux-ci seront infectés, c'est à dire que $\PR(n)$ est vraie quelque soit l'entier naturel $n$. 
\end{enumerate}


\subsubsection{Jouons aux cubes}

Voici un  test de fin d'étude  maternelle en Syldavie :  prenez un cube,
placez en-dessous  deux autres cubes, et encore  en-dessous trois cubes,
etc. 



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{limfonc.70}
\end{center}
\end{figure}



Combien y a-t-il de cubes bleus  au total sur le dessin ci-dessus ? On peut encore les compter à la main, mais que faire si je vous demande le nombre de cubes lorsqu'on a placé 100 rangées ? $n$ rangées ?

Le dessin nous donne une idée : si nous complétons la figure pour former un rectangle, il y a deux fois plus de cubes, mais maintenant nous pouvons les compter. Il y en a en effet $\fr{4\times (4+1)}{2}$, et donc \[1+2+3+4=\fr{4\times(4+1)}{2}\]

\smallskip

Reprenons la méthode adoptée pour étudier la génétique syldave :

\begin{enumerate}

\item Nous allons  essayer de prouver que la propriété suivante est vraie pour tout entier naturel non nul $n$

\[\PR(n)~:~\text{<<}~ 1+2+3+\cdots+n=\fr{n(n+1)}{2}~\text{>>}\]

\item Il est facile de vérifier que  $1=\fr{1(1+1)}{2}$,  donc la deuxième étape de notre raisonnement est vérifiée
\[\PR(1)\ \text{ est vraie}\]

\item Supposons qu'une  <<~génération~>>, appelons-la par exemple la $k$ \eme, soit <<~infectée~>>. Plus sobrement on dira : soit $k$ un entier supérieur à 1. Supposons que $\PR(k)$ soit vraie et essayons alors de montrer que cela implique que la génération suivante , la $k+1$ \eme, sera elle aussi infectée, c'est à dire
\[\PR(k)\ \text{ vraie}\Longrightarrow \PR(k+1)\ \text{ vraie}\]

Il s'agit donc de calculer $1+2+3+\cdots+k+(k+1)$ sachant que $1+2+3+\cdots+k=\fr{k(k+1)}{2}$, or 
\begin{center}
\begin{tabular}{rccl}
$1+2+3+\cdots+k+(k+1)$ &=& $\ds\underbrace{1+2+3+\cdots+k}$&$+(k+1)$ \\
                                   &=&\vtabb $\fr{k(k+1)}{2}     $                     & $+(k+1)$\\
                                   &= &\vtabb $(k+1)\pa{\fr{k}{2}+1}$ & \\
                                   &=&\vtabb $(k+1)\pa{\fr{k+2}{2}}$  &\\
                                   &=&\vtabb $\fr{(k+1)(k+1+1)}{2}$

\end{tabular}
\end{center}

Nous en déduisons que $\PR(k+1)$ est  vraie elle aussi.

\item Nous avons vérifié que la propriété était vraie au rang 1 et qu'elle était héréditaire. Nous allons donc en déduire que la propriété sera toujours vraie, quelque soit l'entier naturel non nul $n$ grâce au théorème admis suivant 

\end{enumerate}


\subsection{Le théorème}


  \begin{theoreme}[(admis) Raisonnement par récurrence]
    Soit $\PR$ une propriété
dépendant d'un rang $n$. Pour montrer que $\PR(n)$ est vraie pour
tous les entiers naturels $n$ supérieurs à un certan $n_0$
\begin{enumerate}
\item On expose clairement la propriété $\PR(n)$.
\item On vérifie que $\PR(n_0)$ est vraie : c'est le \textbf{pas
initial}
de la récurrence.
\item On démontre que $\PR(k) ⟹ \PR(k+1)$ ce qui exprime que la
propriété $\PR$ est \textbf{héréditaire}.
\item Il reste à \textbf{conclure} en annonçant que, d'après le principe de 
récurrence, la propriété est vraie pour tout entier naturel $n$
\end{enumerate}
    \end{theoreme}
 
\subsection{Application  à l'étude  decertaines propriétés  des suites  définies
  par une relation de récurrence}


Voici quelques idées \textit{simples} qui pourront vous guider dans votre étude
d'une suite définie par une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$.

 définie par une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$.

\begin{itemize}
\item Commencez par étudier la fonction $f$ : si par chance elle est croissante sur un intervalle intéressant, vous pourrez prouver des
inégalités intéressantes  (en utilisant la \textbf{conservation  de l'ordre} par
$f$ qui est \textbf{croissante}) et en particulier étudier le sens de variation de la suite
selon que $u_0$ est supérieur ou inférieur à $u_1$.
\item On  doit souvent  démontrer que  la suite  est minorée  ou majorée  par un
  nombre particulier  qui est  souvent un  \textbf{point fixe},  c'est-à-dire un
  nombrevérifiant $f(x)=x$.  u=Une
  rapide récurrence (si $f$ est croissante) montrera que l'inégalité entre $u_0$
  et un point fixe va se conserver.
\item Monotone et bornée, onpourra conclure que la suite converge.
\end{itemize}


\subsection{La fameuse limite des suites géométriques!}

Enfin!


Démontrez par récurrence  que pour tout réel positif $x$  et tout entier naturel
$n$ on a:

\[(1+x)^n \geqslant 1+nx \hspace{3cm} \text{Inégalité de \textsc{Bernoulli}}\]

Que peut-on en déduire sur la limite de $(1+x)^n$? Quel rapport avec les suites
géométriques?

\begin{theoreme}[Limite   de    suites   géométriques    (Partiellement   admis,
  partiellement ROC)]
  Soit $q$ unnombre réel.
  \begin{itemize}
  \item ROC : Si \frbox{$q>1$} alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=+\infty$
  \item Si \frbox{$q=1$} alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=1$
  \item Si \frbox{$-1<q<1$} alors $\lim_{n\to+\infty}q^n=0$
    \item Si \frbox{$q<-1$} alors la suite $(q^n)$ n'admet pas de limite.
  \end{itemize}
  
\end{theoreme}










%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%
%%% E X E R C I C E S
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}




\begin{exercice}[Jouons...]

Prenons un cube, rajoutons trois autres cubes pour former un carré, puis
cinq  autres cubes pour  former un  plus grand  carré, puis  sept autres
cubes pour former un carré encore plus grand...

\sm

Nous  voulons maintenant  calculer  la somme  des  $n$ premiers  entiers
impairs.

\begin{enumerate}
\item Proposez une formule générale inspirée du résultat de
notre petite activité de \textit{maternelle}. \item Démontrez la formule
par récurrence.
\end{enumerate}

\end{exercice}





\begin{exercice}[Observons...]

Une suite $\un$ est définie par
$$\bsys
u_0=3\\ u_{n+1}=10 u_n-9\esys$$ Observez, conjecturez, prouvez.

\end{exercice}






\begin{exercice}[]

Soit     $\un$     la      suite     définie     par     $u_0=-4$     et
$u_{n+1}=\sqrt{\fr{u_n}{2}+3}$

\begin{itemize}  \item Montrez  par récurrence  que $(u_n)_{n\in\bbn^*}$
  est bornée par 0 et 2.

\item Montrez que $\un$ est croissante.

\item \begin{itemize} \item Démontrez par récurrence que : $$0<2-u_n\ie
1/2^{n-1} \quad \text{pour tout}\ n\in\bbn^*$$

\item Déduisez-en que $\un$ converge.

\end{itemize}\end{itemize}



\end{exercice}






\begin{exercice}[]
  
On considère la suite $\left(v_{n}\right)$ définie sur $\N$ par $v_{0} =
6$ et, pour tout entier naturel $n$ \[v_{n+1} = 1,4v_{n} - 0,05v_{n}^2\]

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = 1,4x - 0,05x^2$.
\begin{enumerate}
\item  Étudier  les  variations  de  la fonction  $f$  sur  l'intervalle
  [0~;~8].
\item Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$,
		
$0 \leqslant v_{n} < v_{n+1} \leqslant 8$.
\end{enumerate}

\item En  déduire que la  suite $\left(v_{n}\right)$ est  convergente.
\end{enumerate}
\end{exercice}




\begin{exercice}[Bac]
  
On considère deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ : 

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et pour tout entier naturel 

$n$   :\:  $u_{n+1} = 2u_n - n + 3$ ; 
\item[$\bullet~~$] la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = 2^n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip 

\textbf{Partie A : Conjectures}

\medskip 

Florent a calculé les premiers termes de ces deux suites à l'aide d'un tableur.

Une copie d'écran est donnée ci-dessous. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textbf}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  &A   			&B   	&C\\ \hline  
1 &rang $n$	&terme $u_n$&terme $v_n$\\ \hline    
2 &0   			& 1    	&1 \\ \hline     
3 &1   			&5     	&2\\ \hline      
4 &2   			&12    	&4\\ \hline      
5 &3   			&25    	&8 \\ \hline     
6 &4   			&50    	&16\\ \hline 
\end{tabularx}     
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelles formules ont été entrées dans les cellules B3 et C3 pour obtenir par copie vers le bas les termes des deux suites ? 
\item Pour les termes de rang 10, 11, 12 et 13 Florent obtient les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|>{\textsc{}}c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
12   &10   	&\np{3080}   &\np{1024} \\ \hline     
13   &11   	&\np{6153}   &\np{2048} \\ \hline     
14   &12   	&\np{12298}  &\np{4096}\\ \hline      
15   &l3    &\np{24587}  &\np{8192}\\ \hline      
\end{tabularx}     
\end{center}

Conjecturer les limites des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite} \boldmath $\left(u_n\right)$\unboldmath

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a 

$u_n = 3 \times  2^n + n - 2$. 
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$. 
\item Déterminer le rang du premier terme de la suite supérieur à 1 million. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : Étude de la suite } \boldmath$\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$ est décroissante à partir du rang 3. 
\item On admet que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal  à 4, on a : $0 < \dfrac{n}{2^n} \leqslant \dfrac{1}{n}$. 

Déterminer la limite de la suite $\left(\dfrac{u_n}{v_n} \right)$. 
\end{enumerate}

\end{exercice}



\begin{exercice}[Bac]
  
Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie par $u_0 = 3$,\: $u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ :
\[u_{n+2} = \dfrac{5}{4}u_{n+1} - \dfrac{1}{4}u_n.\]

Le but de cet exercice est d'étudier la limite éventuelle de la suite $\left(u_n\right)$.

\bigskip

\textbf{Partie A :}

\medskip

On souhaite calculer les valeurs des premiers termes de la suite $\left(u_n\right)$ à l'aide d'un tableur.

On a reproduit ci-dessous une partie d'une feuille de calcul, où figurent les valeurs de $u_0$ et de $u_1$.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|>{\columncolor{lightgray!50}\centering\arraybackslash}X|*{2}{>{\centering\arraybackslash}X|}}\hline
\rowcolor{lightgray!50}	&A 	&B\\ \hline
1 						&$n$&$u_n$\\ \hline
2 						&0 	&3\\ \hline
3 						&1 	&6\\ \hline
4 						&2	&\\ \hline
5 						&3	&\\ \hline
6 						&4	&\\ \hline
7 						&5	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Donner une formule qui, saisie dans la cellule B4, puis recopiée vers le bas, permet d'obtenir des valeurs de la suite $\left(u_n\right)$ dans la colonne B.
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessus. On donnera des valeurs approchées à $10^{-3}$ près de $u_n$ pour $n$ allant de 2 à 5.
\item Que peut-on conjecturer à propos de la convergence de la suite $\left(u_n\right)$ ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : Étude de la suite}

\medskip

On considère les suites $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$ définies pour tout entier naturel $n$ par :

\[v_n = u_{n + 1} - \dfrac{1}{4}u_n\quad \text{ et }\quad  w_n = u_n - 7.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite constante.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_{n+1} = \dfrac{1}{4}u_n + \dfrac{21}{4}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En utilisant le résultat de la question \textbf{1.~ b.}, montrer par récurrence que, pour tout
entier naturel $n$,\: $u_n < u_{n+1} < 15$.
		\item En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 7 - \left(\dfrac{1}{4} \right)^{n-1}$.
		\item Calculer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{exercice}







\begin{exercice}[Bac]
  
On étudie un modèle de propagation d'un virus dans une population, semaine après semaine. Chaque individu de la population peut être, à l'exclusion de toute autre possibilité :
 
\begin{itemize}
\item soit susceptible d'être atteint par le virus, on dira qu'il est \og{}de type S\fg{} ;
\item soit malade (atteint par le virus) ; 
\item soit immunisé (ne peut plus être atteint par le virus). 
\end{itemize}

Un individu est immunisé lorsqu'il a été vacciné, ou lorsqu'il a guéri après avoir été atteint par le virus. 

\bigskip

Pour tout entier naturel $n$, le modèle de propagation du virus est défini par les règles suivantes : 

\begin{itemize}
\item Parmi les individus de type S en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 85\:\% restent de type S, 5\:\% deviennent malades et 10\:\% deviennent immunisés ;

\item Parmi les individus malades en semaine $n$, on observe qu'en semaine $n + 1$ : 65\:\% restent malades, et 35\:\% sont guéris et deviennent immunisés.

\item Tout individu immunisé en semaine $n$ reste immunisé en semaine $n + 1$. 

\end{itemize}

\medskip

On choisit au hasard un individu dans la population. On considère les évènements suivants : 

$S_n$ : \og{}l'individu est de type S en semaine $n$\fg{} ;

$M_n$ : \og{} l'individu est malade en semaine $n$\fg{} ;

$I_n$ : \og{}l'individu est immunisé en semaine $n$\fg.

\medskip

En semaine 0, tous les individus sont considérés \og de type S\fg, on a donc les probabilités suivantes :
 
\[P\left(S_0\right) =  1~;~P\left(M_0\right) = 0\text{ et  } P\left(I_0\right) =
  0.\]


On étudie à long terme l'évolution de la maladie.

Pour tout entier naturel $n$, on pose : $u_n = P\left(S_n\right)$, $v_n=p\left(M_n\right)$ et $w_n=P\left(I_n\right)$ les probabilités respectives des évènements $S_n$, $M_n$ et $I_n$.
\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n + v_n + w_n=1$.

On admet que la suite $\left(v_n\right)$ est définie par $v_{n+1} = 0,65v_n + 0,05u_n$.
\item À l'aide d'un tableur, on a calculé les premiers termes des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

\begin{center}
\begin{tabular}{|>{\cellcolor{lightgray}}r|*{4}{r|}}\hline
\hspace*{0.8cm} & \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} A& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} B& \cellcolor{lightgray}\hspace*{1cm} C&\cellcolor{lightgray}\hspace*{0.8cm} D\\\hline
1		&$n$	&$u_n$			&$v_n$			&$w_n$\\\hline
2		&0		&1				&0				&0\\\hline
3		&1		& \np{0,8500} 	& \np{0,0500} 	& \np{0,1000} \\\hline
4		&2		& \np{0,7225} 	& \np{0,0750} 	& \np{0,2025} \\\hline
5		&3		& \np{0,6141} 	& \np{0,0849} 	& \np{0,3010}\\\hline
6		&4		& \np{0,5220} 	& \np{0,0859} 	& \np{0,3921} \\\hline
7		&5		& \np{0,4437} 	& \np{0,0819} 	& \np{0,4744}\\\hline
8		&6		& \np{0,3771} 	& \np{0,0754} 	& \np{0,5474} \\\hline
\dots	&\dots	&\dots			&\dots			&\dots\\\hline
20		&18		&\np{0,0536} 	& \np{0,0133} 	& \np{0,9330}\\\hline
21		&19		&\np{0,0456} 	&\np{0,0113} 	&\np{0,9431}\\\hline
22		&20		&\np{0,0388} 	&\np{0,0096} 	&\np{0,9516} \\\hline
\end{tabular}
\end{center}

\bigskip

\emph{Pour répondre aux questions \textbf{a.} et \textbf{b.} suivantes, on utilisera la feuille de calcul reproduite ci-dessus.}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule, saisie dans la cellule C3, permet par recopie vers le bas, de calculer les termes de la suite $\left(v_n \right)$ ?
\item On admet que les termes de $\left(v_n\right)$ augmentent, puis diminuent  à partir d'une certain rang $N$, appelé le \og{}pic épidémique\fg{} : c'est l'indice de la semaine pendant laquelle la probabilité d'être malade pour un individu choisi au hasard est la plus grande.

Déterminer la valeur du pic épidémique prévue par ce modèle.
\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,85u_n$.

En déduire l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Montrer, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que pour tout entier naturel $n$, 

\[v_n = \dfrac{1}{4}\left(0,85^n - 0,65^n\right).\]
	\end{enumerate}
\item Calculer les limites de chacune des suites $\left(u_n\right)$, $\left(v_n\right)$ et $\left(w_n\right)$.

Que peut-on en déduire quant à l'évolution de l'épidémie prévue à long terme par ce modèle ?
\end{enumerate}

\end{exercice}







%%%Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "PolyTS18_19"
%%% End:
