%\RequirePackage{atbegshi}
\documentclass[french]{beamer}
\usepackage{etex}

\usepackage[beamer,utf8x]{preambuleTrm}



\usepackage{iwona,yfonts}

\newcommand\frt{\frametitle}
\mode<presentation>
{
  %\usetheme{Bergen}%Montpellier,Madrid}
  % or ...Frankfurt, 
  \usetheme[secheader]{Boadilla}%Montpellier}

  %\setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
  \usefonttheme{progressbar}
%  \useoutertheme{progressbar}
  %\useinnertheme{progressbar}
 % \progressbaroptions{% titlepage=normal,
  %  imagename=/home/moi/Photos/Maths/prisoner
%}
}

%\usepackage{elephantbird}
\newcommand\MyBox[2][XXX]{%
  \fbox{\tabular[b]{C{#1}} #2 \endtabular}}

\setbeamertemplate{footline}[frame number]
\beamertemplatenavigationsymbolsempty

%\usepackage[french,vlined,boxed]{algorithm2e}
\usepackage{bookmark,multido}
%\usepackage{xlop}

\ifpdf \DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{} \fi
\usepackage{tikz}
\usetikzlibrary{automata,fit,trees,matrix,arrows,decorations.pathmorphing,shapes,arrows,chains,positioning,intersections,backgrounds,calc,through,mindmap,shadows,patterns}
\newcommand{\myunit}{1.1cm}
\usepackage{tkz-graph}
\usepackage{circuitikz}
\hypersetup{pdfpagemode=FullScreen}

\usepackage[detect-all]{siunitx}

\usepackage{caption}
\captionsetup{labelformat=empty,font=footnotesize}

\usepackage[square]{daedale}
\bibliographystyle{cyclope}


\usepackage{algo}

\renewcommand{\algocommentfont}{\tiny\ttfamily\itshape}
\renewcommand{\algokeywordfont}{\small\ttfamily}
\renewcommand{\algotextfont}{\footnotesize\ttfamily}

\setbeamertemplate{theorems}[numbered]

\newcounter{exb}
\newtheorem{exercice}[exb]{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}

%\setlength{\parskip}{0pt}


\graphicspath{{/home/moi/IUT/Figures/}{/home/moi/VISA_III/figures_visa/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Photos/Maths}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/2008_9/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2008_9/}{/home/moi/IUT/Thierry/Conversions/}{/home/moi/Photos/informathix/}{/home/moi/Lycee/Informatique/PafAlgo/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Biocam/robot/}{/home/moi/Biocam/CoursIni3d/}{/home/moi/Biocam/central/figures/}{/home/moi/Biocam/central/}{/home/moi/IUT/INFO2/Images/}{/home/moi/IUT/INFO2/2011_12/graphes/}{/home/moi/IUT/INFO1/CM1/}{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Figures/figuresAlice/}{/home/moi/Lycee/TS/}{/home/moi/Lycee/TS/2009_10/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Figures/figuresTS/newcourbes/}{/home/moi/Figures/FigEspace/}{/home/moi/PROG/HASKELL/FLOAT/}{/home/moi/LYCEE/LIL/4e/2016_17/Images/}{/home/moi/LYCEE/LIL/2nde/2016_17/Images/}{/home/moi/LYCEE/LIL/2nde/2016_17/fonctions/}{/home/moi/LYCEE/LIL/1S/2016_17/Images/}{/home/moi/LYCEE/LIL/1S/2016_17/Images/}{/home/moi/LYCEE/LIL/1S/2016_17/suites/suites1es/}{/home/moi/LYCEE/LIL/1S/2016_17/trigo/}{/home/moi/Photos/Maths/CAPTURES_TI/Suites/}{/home/moi/LYCEE/FIGURES/}{/home/moi/PROG/PYTHON/Matrix/}}



\setcounter{tocdepth}{2} %\setcounter{page}{0}


\newcommand{\triangleup}{\Delta}




%%%%%%%%%%%%
%%%
%% CASIO
%%
%%%%%%%%%%%%%

\usepackage[color=blackandwhite]{graph35}





\usepackage{casio,ti83font}

%\usepackage{algorithm2e}



 \renewcommand{\CUn}{\keystroke{1}}
% \newcommand{\CDiv}{\keystroke{÷}}
% \newcommand{\CPlus}{\keystroke{+}}
% \newcommand{\CFD}{\keystroke{F2}}
% \newcommand{\CFQ}{\keystroke{F4}}
% \newcommand{\CFC}{\keystroke{F5}}
% \newcommand{\CFS}{\keystroke{F6}}
% \newcommand{\CExe}{\keystroke{EXE}}
% \newcommand{\tient}{\keystroke{entrer}}
% \newcommand{\CParFerm}{\keystroke{)}}
% \newcommand{\CParOuv}{\keystroke{(}}
% \newcommand{\CMoins}{\keystroke{$-$}}
% \newcommand{\CX}{\keystroke{$x,t,\theta,n$}}
% \newcommand{\CExit}{\keystroke{EXIT}}



\setbeamercolor{block title}{use=structure,fg=black,bg=blue!55!white}
\setbeamercolor{block body}{use=structure,fg=black,bg=blue!10!white}


\setbeamercolor{block title example}{use=structure,fg=black,bg=green!75!white}
\setbeamercolor{block body example}{use=structure,fg=black,bg=green!10!white}

\setbeamercolor{block title alert}{use=structure,fg=black,bg=red!75!white}
\setbeamercolor{block body alert}{use=structure,fg=black,bg=red!10!white}



\setbeamerfont{block body}{size*={10}{12}}
\setbeamerfont{block body alerted}{size*={10}{12}}
\setbeamerfont{block body example}{size*={10}{12}}

\setbeamertemplate{itemize items}[default]


\newenvironment{exercise}{\begin{exampleblock}{Recherche}}{\end{exampleblock}}

\usepackage{scalefnt}
\setbeamertemplate{theorems}[normal size]


\begin{document}


\title[]% (optional, use only with long paper titles)
{VECTEURS}
\subtitle{Des nombres géométriques...}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Notre-Dame - 2$^{nde}$5}% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{logondr}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Décembre 2018}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }



\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\AtBeginSubsection[]
{\scriptsize
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\tiny
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}




\newcommand{\TR}{\mathcal{T}}


\begin{frame}
%\ThisCenterWallPaper{1}{logoiremBigInv}
 \Large \titlepage 
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}

\normalsize


% début






\section{Vecteur}

\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{vect_moustique}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
  \textit{Du latin vector, dérivé de veho (« transporter »)}

\pause


\textit{Organisme qui ne provoque pas lui-même une maladie mais qui disperse l'infection en transportant les agents pathogènes d'un hôte à l'autre. }

\end{frame}



\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.9\textheight]{grassmann}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}





\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.6\textheight]{grassmann2}
  \caption{Hermann \textsc{Gra\ss mann} 1809-1877}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.85\linewidth]{hamilton_stone}
  \caption{William Rowan \textsc{Hamilton} 1805-1865}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.85\linewidth]{gibbs}
  \caption{J.Willard \textsc{Gibbs} 1839-1903}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{quote}
    \textit{Professor Gibbs must  be ranked as one of the  retarders of progress
      in  virtue  of   his  pamphlet  on  \emph{Vector  Analysis},   a  sort  of
      hermaphrodite monster}
  \end{quote}

  \begin{flushright}
    Peter Guthrie Tait in \og an elementary treatise on Quaternions\fg{} (1867)
  \end{flushright}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=.8\textheight]{heavyside}
  \caption{Oliver \textsc{Heaviside} 1850-1925}
\end{center}
\end{figure}

\end{frame}








%
\begin{frame}
  \begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\textheight]{marystein21}
\end{center}

\pause

$$3\times      \text{Marylin}      +
 \text{Albert}$$

\end{frame}

%
\begin{frame}
  \begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\textheight]{marystein11}
\end{center}

\pause

$$   \text{Marylin}    +
      \text{Albert}$$

\end{frame}




%
\begin{frame}
  \begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\textheight]{marystein13}
\end{center}


\pause

$$ \text{Marylin} + 3\times\text{Albert}$$
\end{frame}



\begin{frame}
  Or more smoothly
\end{frame}


\multido{\n=0+1}{21}{%
  \begin{frame}
    \begin{center}
      \includegraphics[height=\textheight]{ow\n}
    \end{center}
  \end{frame}
}



\begin{frame}
  Un vecteur c'est aussi ça:

 \begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\textheight]{rgbmur}
\end{center}
  
\end{frame}


\begin{frame}
  Enfin putôt ça:

 \begin{center}
  \includegraphics[height=0.8\textheight]{rgbcube}
\end{center}
  
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item \textcolor{red}{Red} = [\textcolor{red}{1}, \textcolor{green}{0}, \textcolor{blue}{0}]
  \item \textcolor{green}{Green} = [\textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{1}, \textcolor{blue}{0}]
  \item \textcolor{blue}{Blue} = [\textcolor{red}{0}, \textcolor{green}{0}, \textcolor{blue}{1}]
  \item      Purple      =       [\textcolor{red}{0.5},      \textcolor{green}{0},      \textcolor{blue}{0.5}]      =
    0.5$\times$\textcolor{red}{Red} + 0.5$\times$ \textcolor{blue}{Blue}
  \item Olive = [\textcolor{red}{0.5}, \textcolor{green}{0.5}, \textcolor{blue}{0}] = 0.5$\times$\textcolor{red}{Red} + 0.5$\times$\textcolor{green}{Green}
  \item Yellow = [\textcolor{red}{1}, \textcolor{green}{1}, \textcolor{blue}{0}] = \textcolor{red}{Red} + \textcolor{green}{Green}
  \item Pink = [\textcolor{red}{1}, \textcolor{green}{0.75}, \textcolor{blue}{0.80}] = \textcolor{red}{Red} + 0.75$\times$\textcolor{green}{Green} + 0.80$\times$\textcolor{blue}{Blue}
    \item White = [\textcolor{red}{1}, \textcolor{green}{1}, \textcolor{blue}{1}] = \textcolor{red}{Red} + \textcolor{green}{Green} + \textcolor{blue}{Blue}
  \end{itemize}
\end{frame}







\begin{frame}[fragile]
  \begin{itemize}
  \item Red, Green et Blue sont les couleurs de BASE.



  \item Pink a pour coordonnées [1, 0.75, 0.80] dans la base (Red, Green, Blue)

  

  \item  $\ve{\text{Pink}} =  \ve{\text{Red}}  +  0.75\cdot \ve{\text{Green}}  +
    0.8\cdot\ve{\text{Blue}}$
  \item
    \begin{pythoncode}
>>> from numpy import array
>>> red = array([1,0,0])
>>> green = array([0,1,0])
>>> blue = array([0,0,1])
>>> pink = red + 0.75*green + 0.8*blue
>>> pink
array([ 1.  ,  0.75,  0.8 ])
\end{pythoncode}
    


  \end{itemize}
  
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{alertblock}{Énigme}
    En  HTML,  pour   désigner  la  couleur  d'un  objet,  on   donne  son  code
    \emph{hexadécimal}:
    \begin{itemize}
    \item Red\hspace{1em} = \texttt{\#FF0000}
    \item Green\hspace{.4em}  = \texttt{\#00FF00}
    \item Blue\hspace{.9em}  = \texttt{\#0000FF}
    \item Olive\hspace{.5em}  = \texttt{\#808000}
    \item Purple = \texttt{\#800080}
      \item Pink\hspace{1em}  = \texttt{\#FFC0CB}
      \end{itemize}
\pause
      Sauriez-vous l'expliquer?
  \end{alertblock}
\end{frame}





\begin{frame}
 
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.55\linewidth]{robin0}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}
  

  En mécanique, un vecteur c'est une force.

  \pause

  En électronique, ça peut être une impédance.

  \pause

  En informatique, ça peut être un message.

  \pause

  
  Un vecteur, au lycée en 2018, c'est un \textbf{déplacement}.


  \pause
  
  Mais il faut comprendre que ce n'est qu'un exemple de vecteur.

  \pause

  Même  au  lycée, nous  rencontrerons  d'autres  vecteurs: les  intégrales,  les
  nombres complexes,...

  \pause

  Un vecteur est simplement un élément d'un espace vectoriel...mais ceci est une
  autre histoire...
\end{frame}




\section{Qu'est-ce qu'un vecteur du plan?} 





\begin{frame}

Nous ne pouvons pas,  à notre niveau, donner une définition rigoureuse  d'un vecteur du plan. Disons
que concrètement, un vecteur est un \emph{déplacement}~:


\pause

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.1}
\end{center}


\end{frame}






\begin{frame}

Le \emph{déplacement} de A  vers B est le même que celui  de D vers E ou de H vers  I. On appelle ce
\emph{déplacement} un VECTEUR défini par 
\begin{itemize}
\item une \textbf{direction}~:~celle de la droite (AB);
\item un \textbf{sens}~:~celui de A vers B;
\item une \textbf{norme}~:~qui est égale à la longueur AB.
\end{itemize}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.1}
\end{center}

\end{frame}





\begin{frame}

\begin{alertblock}{Attention!}
  il ne faut pas confondre \emph{sens} et  \emph{direction} : par exemple $\ve{IH}$ et $\ve{AB}$ ont
  la même  direction (car les droites  (AB) et (IH) sont  parallèles) mais n'ont
  pas le même sens.


  
\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.1}
\end{center}



\end{alertblock}

\end{frame}











\begin{frame}
Les vecteurs $\ve{AB}$, $\ve{DE}$ et $\ve{HI}$  sont donc les \emph{représentants} d'un même vecteur
car ils ont  même sens, même direction et même norme  : on peut donc désigner ce  vecteur par un nom
unique, par exemple $\ve{d}$. 



\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.1}
\end{center}



\pause

La \emph{norme} du vecteur $\ve{AB}$ est égale à la longueur AB. Pour désigner la norme de $\ve{d}$,
on utilise $\DecalNorme{\ve{d}}$. On a 
\[\DecalNorme{\ve{d}}=AB=DE=HI\]

\end{frame}



\begin{frame}
  Les conventions typographiques sont en fait très diverses:

  \begin{itemize}
  \item gras minuscule: {\LARGE \textbf{a}}
  \item gras minuscule italique:  {\LARGE \textbf{\textit{a}}}
  \item fraktur:  {\LARGE \textfrak{a}}
  \item souligné:  {\LARGE \underline{a}}
  \item avec une flèche:  {\LARGE $\ve{a}$}
  \end{itemize}

\pause

  Les deux derniers cas sont surtout employés pour l'écriture manuscrite.

  
\end{frame}








\begin{frame}


\begin{block}{Remarque}

$\ve{AB}=\ve{CD}=\ve{u}$ si et seulement si ABDC est un parallélogramme

\end{block}

\pause


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.2}
\end{center}


\end{frame}





\begin{frame}

\begin{block}{Remarque}
Dans  mon  jeune  temps, on  disait  que  deux  vecteurs  $\ve{AB}$ et  $\ve{CD}$  étaient
  égaux\footnote{En fait, on disait que les \emph{bipoints} (A,B) et (C,D) étaient \emph{équipollents}...} si
  et seulement si les segments $[A\pv D]$ et $[B\pv C]$ avaient le même milieu : pourquoi~? 

\end{block}
\end{frame}








\section{Somme de vecteurs}

\begin{frame}

Le secret : \emph{je me déplace de A vers B puis de B vers C : globalement, je suis parti de A et je
  suis arrivé en C}

\pause

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.3}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

C'est en fait la fameuse 
\emph{Relation de \textsc{Chasles}}

\pause

\begin{definition}
\[\ve{A\textcolor{blue}{\Large B}}+\ve{\textcolor{blue}{\Large B}C}=\ve{AC}\]
\end{definition}

\pause


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{chasles}
  \caption{Michel \textsc{Chasles} 1793-1880}
\end{center}
\end{figure}



\pause

Mais  qu'en  est-il  de cette  somme  lorsqu'on  considère  deux  vecteurs quelconques  $\ve{u}$  et
$\ve{v}$~? 

\end{frame}

\begin{frame}
Il suffit de prendre des \emph{représentants} de $\ve{u}$ et $\ve{v}$ bien choisis~:

\pause

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.4}
\end{center}

\end{frame}



\begin{frame}

On peut aussi \og penser parallélogramme \fg



\pause

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.5}
\end{center}

\end{frame}




\section{Vecteur nul - Opposé d'un vecteur}






\begin{frame}

Je pars de A, je vais en B et je retourne en A~:~la relation de \textsc{Chasles} le confirme 

\[ \ve{A\textcolor{blue}{B}}+\ve{\textcolor{blue}{B}A}=\ve{AA}\]

\pause

\begin{itemize}

\item Que peut-on dire de ce vecteur $\ve{AA}$~? 

\item Quelle est sa norme~? 

\item Quelle est sa direction~? 


\item Quel est son sens~? 

\end{itemize}

\end{frame}













\begin{frame}

On appelle ce vecteur de norme nulle le \emph{vecteur nul} et on le note $\ve{0}$.


\pause

Plus généralement si on  considère un vecteur $\ve{u}$, on peut toujours  trouver un vecteur de même
direction, de  même norme et de sens  opposé : quand on  l'ajoute à $\ve{u}$, on  obtient le vecteur
nul. 

\end{frame}








\begin{frame}

On l'appelle le \emph{vecteur opposé} de $\ve{u}$ et on le note bien sûr $\Mathbold{-\ve{u}}$

\pause

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.6}
\end{center}

\end{frame}



\begin{frame}
  \frametitle{Structure de Groupe}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.75\textheight]{galois}
\end{center}
% \end{figure}

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{quote}
  [...]on enseigne minutieusement des théories tronquées et chargées de réflexions inutiles, tandis qu'on omet les propositions les plus simples et les plus brillantes de l'algèbre[...]L'élève est moins occupé de s'instruire que de passer son examen. 
\end{quote}

\begin{flushright}
  Lettre sur l'enseignement des sciences - Évariste \textsc{Galois} - 2 janvier 1831
\end{flushright}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item On travaille dans un \emph{ensemble} (ici celui des vecteurs du plan)
  \item On se  donne une loi qui  permet de composer des  éléments de l'ensemble
    sans en  sortir (ici  l'addition des  vecteurs). On  dit qu'il  s'agit d'une
    \emph{loi de composition interne}
  \item  Cette loi  a  un \emph{élément  neutre}:  en le  composant  avec un  élément
    quelconque, on ne chamge pas cet élément (ici le vecteur nul)
  \item Pour  chaque élément de l'ensemble,  il en existe un  autre, qui composé
    avec   lui   donne   l'élément   neutre.   On   appelle   cet   élément   le
    \emph{symétrique} du premier (ici l'opposé d'un vecteur).
  \end{itemize}

\pause
  
  Ces propriétés donnent à l'ensemble et à la loi une structure de \emph{groupe}.
\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Énigme}
Est-ce que vous connaissez d'autres structures de groupe?
\end{frame}




\begin{frame}
  \frametitle{mon livre de 3\up{e}}

  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=\textheight]{groupes3e}
\end{center}
%\end{figure}

  
\end{frame}



\begin{frame}
  \frametitle{mon livre de 3\up{e}}

  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{exosGroupes3e}
\end{center}
%\end{figure}

  
\end{frame}




\section{Multiplication d'un vecteur par un nombre réel}




\begin{frame}

Nous avons déjà abordé le problème en  parlant de l'opposé du vecteur $\ve{u}$ qu'on note $-\ve{u}$,
c'est à dire $(-1)\times\ve{u}$. 

\pause

Nous pouvons aisément  imaginer que le vecteur $3\ve{u}$ est en  fait égal à $\ve{u}+\ve{u}+\ve{u}$,
et les additions de vecteurs, on connaît~! 

\pause
%\vspace{1.5cm}

Nous pouvons même comprendre que $-3\ve{u}$, c'est $\pav{-\ve{u}}+\pav{-\ve{u}}+\pav{-\ve{u}}$


%\vspace{1.5cm}
\end{frame}



\begin{frame}\frametitle{Produit d'un vecteur par un nombre réel}
  Vous comprendrez donc sans problème la définition suivante:

  \pause

\begin{definition}
Soit $\ve{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel non nul. Alors on note $k\ve{u}$ le vecteur
\begin{itemize}
\item ayant la même direction que $\ve{u}$;
\item ayant le même sens que $\ve{u}$ si $k>0$, le sens contraire sinon;
\item ayant pour norme $k\nov{u}$ si $k>0$ et $-k\nov{u}$ sinon.
\end{itemize}
\end{definition}


\end{frame}



\begin{frame}\frametitle{Valeur absolue d'un nombre}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.6\textheight]{duel}
\end{center}
%\end{figure}

\pause

La valeur absolue d'un nombre est sa force, qu'il soit jedi ou du côté obscur...

\pause

C'est aussi sa distance à zéro

\pause

Comment alors simplifier la définition précédente?



\end{frame}





\begin{frame}\frametitle{Produit d'un vecteur par un nombre réel}
  

\begin{definition}
Soit $\ve{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel non nul. Alors on note $k\ve{u}$ le vecteur
\begin{itemize}
\item<1> ayant la même direction que $\ve{u}$;
\item<1> ayant le même sens que $\ve{u}$ si $k>0$, le sens contraire sinon;
\item<1>{ayant pour norme $k\nov{u}$ si $k>0$ et $-k\nov{u}$ sinon.}
\end{itemize}
\end{definition}


\end{frame}


\begin{frame}\frametitle{Produit d'un vecteur par un nombre réel}
  

\begin{definition}
Soit $\ve{u}$ un vecteur non nul et $k$ un nombre réel non nul. Alors on note $k\ve{u}$ le vecteur
\begin{itemize}
\item<1> ayant la même direction que $\ve{u}$;
\item<1> ayant le même sens que $\ve{u}$ si $k>0$, le sens contraire sinon;
\item<1>{ayant pour norme $|k|\nov{u}$.}
\end{itemize}
\end{definition}


\end{frame}



\begin{frame}
\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.7}
\end{center}

Ce petit dessin résume les différents cas de figure.

\end{frame}





\section{Vecteurs colinéaires}












\begin{frame}

Nous avons remarqué que $\ve{u}$ et $k\ve{u}$ avaient la même direction. 

\pause

Inversement, si deux vecteurs non nuls $\ve{u}$ et $\ve{v}$ ont la même direction, alors on peut imaginer
qu'il existe un réel $k$ tel que $\ve{v}=k\ve{u}$. 

\pause

Par exemple, s'ils ont le même sens, alors le vecteur $\dfrac{\nov{v}}{\nov{u}}\ve{u}$ a
\begin{itemize}
\item le même sens que $\ve{v}$ (car \dots
\item la même direction que $\ve{v}$ (car \dots
\item la même norme que $\ve{v}$ (car \dots
\end{itemize}

\pause

donc $\ve{v}=\dfrac{\nov{v}}{\nov{u}}\ve{u}$, ce qui confirme notre supposition. 

\end{frame}









\begin{frame}\frametitle{Vecteurs colinéaires}

Avant de résumer ce résultat, un peu de vocabulaire :


\begin{definition}
On dit que deux vecteurs sont \emph{colinéaires} si, et seulement
  si, ils ont la même direction. 
\end{definition}

\pause

\begin{block}{Remarque}
Deux COpains partagent leur pain, deux  COrrecteurs du Bac partagent le même recteur, deux
  vecteurs COlinéaires partagent la même ligne\dots 
\end{block}

\end{frame}




\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.8}
\end{center}

\end{frame}







\begin{frame}

Notre observation précédente va donc nous permettre d'énoncer le théorème primordial suivant :

\begin{theorem}Deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ sont colinéaires si, et seulement si, il existe un
réel $k$ tel que $\ve{v}=k\ve{u}$
\end{theorem}

\end{frame}








\begin{frame}

  \begin{alertblock}{Attention!}
    \begin{itemize}
    \item Vous ferez bien attention à  parler de vecteurs colinéaires et non pas
      de vecteurs parallèles!
    \item Deux droites peuvent être parallèles  si elles ont tous leurs points
      ou aucun point en commun.
    \item On ne
      peut pas  dire la même chose  des vecteurs car  les vecteurs \dots n'ont  pas de
      points!
    \item  Ce sont des
      déplacements, pas des ensembles de points comme les droites.
    \end{itemize}
  \end{alertblock}
\end{frame}





\begin{frame}

\begin{alertblock}{Vocabulaire}
  De manière plus générale, pour toutes  sortes de vecteurs, quand deux vecteurs
  sont colinéaires, on  peut aussi dire qu'ils sont \emph{liés}  et sinon qu'ils
  sont \emph{libres}
\end{alertblock}
\end{frame}










\begin{frame}


\begin{itemize}
\item Si on arrive  à montrer que deux \emph{vecteurs} $\ve{AB}$ et  $\ve{CD}$ sont \emph{colinéaires}, on
pourra en déduire que les \emph{droites} (AB) et (CD) sont \emph{parallèles}.
\item
  \begin{itemize}
  \item Si on arrive  à montrer que deux \emph{vecteurs} $\ve{AB}$ et  $\ve{AC}$ sont \emph{colinéaires}, on
    pourra en déduire que les \emph{droites} (AB) et (AC) sont \emph{parallèles}.
    \item Or, comme vous l'avez
      remarqué, les droites (AB) et (AC) ont le point A en commun.
      \item Que pensez-vous de 2 droites parallèles
        ayant un point en commun~? Elles sont bien sûr \dots \dots \
        \item { D'après un des axiomes d'Euclide qui
  est la base de la géométrie que vous étudiez au lycée : \og par deux points distincts du plan il passe
une droite et une seule\fg }
  \end{itemize}



\pause Et donc les points A, B et C appartiennent à une même droite : ils sont \emph{alignés}. 

\end{itemize}
\end{frame}







\begin{frame}\frametitle{À retenir}

  \begin{itemize}
  \item Montrer que  deux vecteurs  sont colinéaires  peut nous  aider à  montrer  que deux
  droites sont parallèles ou que trois points sont alignés. 

  \item 
Le problème  va être  d'arriver à prouver  que deux vecteurs  sont colinéaires  : il suffira  de \og
penser BASE \fg\dots
  \end{itemize}
  

\end{frame}













\section{Base du plan vectoriel}








\begin{frame}

Euh.. le plan vectoriel, c'est quoi~? 

\pause

Disons  que c'est  l'ensemble des déplacements  en dimension
2. On dira alors que 

\pause

\begin{definition}

Deux vecteurs forment une base du plan vectoriel si, et seulement si, ils NE sont
PAS colinéaires (ils sont libres). 

\end{definition}

\end{frame}



\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{tresor}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}



\begin{frame}

Et on admettra le résultat primordial suivant : 

\pause

\begin{theorem}

Soit $\ve{u}$ et  $\ve{v}$ deux vecteurs NON  colinéaires : ils forment une  base du plan
  vectoriel. Alors on peut exprimer n'importe quel vecteur $\ve{t}$ sous la forme 
  \[\ve{t}=x\ve{u}+y\ve{v}\] avec $x$ et $y$ des réels.

  
Les nombres $x$ et $y$ sont appelés les COORDONNÉES de $\ve{t}$ dans la BASE $\pav{\ve{u},\ve{v}}$
\end{theorem}

\end{frame}








\begin{frame}

Le secret tient dans le dessin suivant : 

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.9}
\end{center}

\end{frame}







\section{Vecteurs et repères du plan}




\begin{frame}
Nous  avons  vu précédemment  qu'une  base  (formée de  deux  vecteurs  non colinéaires)  permettait
d'exprimer n'importe quel vecteur en fonction des 2 vecteurs de base. 


\pause



\begin{theorem}
Soit $\ve{u}$ et  $\ve{v}$ deux vecteurs NON  colinéaires : ils forment une  base du plan
  vectoriel. Alors on peut exprimer n'importe quel vecteur $\ve{t}$ sous la forme 
\[\ve{t}=x\ve{u}+y\ve{v}\] avec $x$ et $y$ des réels. 
Les nombres $x$ et $y$ sont appelés les COORDONNÉES de $\ve{t}$ dans la BASE $\pav{\ve{u},\ve{v}}$
\end{theorem}
\end{frame}








\begin{frame}
Maintenant, pour repérer un point, on choisira une  origine fixe et deux vecteurs de base. La clé du
chapitre tient dans le dessin suivant :
\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.10}
\end{center}


\end{frame}



\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.11}
\end{center}


\end{frame}




\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.12}
\end{center}


\end{frame}






\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.13}
\end{center}


\end{frame}




\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.14}
\end{center}


\end{frame}






\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.15}
\end{center}


\end{frame}












\begin{frame}

\frt{coordonnées d'un point dans un repère}

\begin{theorem}
Dire que le point  M a pour coordonnées $(x,y)$
  dans le repère $\oij$ signifie que
\[\ve{OM}=x\ve{i}+y\ve{j}\]
On appelle $x$ l'\emph{abscisse} de M et $y$ son \emph{ordonnée}
\end{theorem}



\end{frame}








\begin{frame}
\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}


Nous  travaillons dans  un repère  $(O,\ve{i},\ve{j})$ et  deux points  A et  B ont  pour coordonnées
respectives $(x_A,y_A)$ et $(x_B,y_B)$. 

\pause

Comment traduire \emph{vectoriellement} ces renseignements~? 

\end{frame}










\begin{frame}
\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}
  \begin{itemize}
    \item A a pour coordonnées $(x_A,y_A)$, donc par définition ... 
    \item ... $\ve{OA}=x_A\ve{i}+y_A\ve{j}$
    \item De même, on obtient pour B ... 
    \item ... $\ve{OB}=x_B\ve{i}+y_B\ve{j}$
  \end{itemize}

\end{frame}








\begin{frame}
\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}

Nous  voudrions  à  présent   obtenir  les  coordonnées  $\left(x_{\ve{AB}},y_{\ve{AB}}\right)$  qui
vérifient, d'après notre définition 

\pause

\[\ve{AB}=x_{\ve{AB}}\ve{i}+y_{\ve{AB}}\ve{j}\]



\end{frame}




\begin{frame}
\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}
Le problème, c'est de faire le lien entre $\ve{AB}$ et $\ve{OA}$ et $\ve{OB}$. 

\pause

Mais oui~! Bien sûr~! Utilisons notre bonne vieille ... 

\pause

... relation de \textsc{Chasles}~! 

\end{frame}




\begin{frame}
\frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}

En effet, \begin{arrayl}
          \ve{AB}&=&\ve{AO}+\ve{OB}\\
\pause
                 &=& -\ve{OA}+\ve{OB}\\
\pause
                  &=& -\pav{x_A\ve{i}+y_A\ve{j}}+x_B\ve{i}+y_B\ve{j}\\
\pause
                  &=& -x_A\ve{i}-y_A\ve{j}+x_B\ve{i}+y_B\ve{j}\\
\pause
                  &=& \left(x_B-x_A\right)\ve{i}+\left(y_B-y_A\right)\ve{j}\\
           \end{arrayl}



 \pause

  Or $\ve{AB}=x_{\ve{AB}}\ve{i}+y_{\ve{AB}}\ve{j}$

 \pause

 Donc... 


 \end{frame}









\begin{frame}
 \frt{Coordonnées du vecteur $\ve{AB}$}



 \begin{theorem}

Le vecteur $\ve{AB}$ a pour coordonnées $\left(x_B-x_A,y_B-y_A\right)$

 \end{theorem}


\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Vecteurs19}
\end{center}




\end{frame}








\begin{frame}
\frt{\emph{Combinaison linéaire} de vecteurs}

Supposons  que nous  travaillons dans  un repère  $(O,\ve{i},\ve{j})$ et  que nous  connaissons deux
vecteurs et leurs coordonnées~:

\[\ve{u}\begin{pmatrix} 2\\3 \end{pmatrix}\qquad \ve{w}\begin{pmatrix} 9\\4 \end{pmatrix}\]

On peut se demander quelles sont les coordonnées de $2 \ve{u}-\ve{w}$. 

\pause

Il suffit d'utiliser notre base. 

\pause 

$\ve{u}=2 \ve{i}+3 \ve{j}$, donc $2 \ve{u}=4 \ve{}+ 6 \ve{j}$

\pause

$\ve{w}=9 \ve{i} + 4 \ve{j}$, donc $-\ve{w}=-9 \ve{i} - 4 \ve{j}$

\pause

Finalement

$2 \ve{u}-\ve{w}=4 \ve{i}+ 6 \ve{j}-9 \ve{i} - 4 \ve{j}=-5 \ve{i}+2 \ve{j}$

\pause 

On \emph{observe} donc que, sur cet exemple,

\[x_{2 \ve{u}- \ve{w}}=2 x_{\ve{u}}-x_{\ve{w}}\qquad y_{2 \ve{u}- \ve{w}}=2 y_{\ve{u}}-y_{\ve{w}}\]

\end{frame}




\begin{frame}
\frt{\emph{Combinaison linéaire} de vecteurs}

Il reste à prouver que cela reste vrai pour n'importe quel vecteur et n'importe quelle combinaison. 

\pause

\[\ve{u}\begin{pmatrix} x_{ \ve{u}}\\y_{\ve{u}} \end{pmatrix}\qquad \ve{w}\begin{pmatrix} x_{\ve{w}}\\y_{\ve{w}} \end{pmatrix}\]

\pause

Quelles sont  les coordonnées du  vecteur $a \ve{u}+  b \ve{w}$, avec $a$  et $b$ des  nombres réels
fixés. 



\pause


\begin{arrayl}

a \ve{u}+ b \ve{w}&=& a \pav{x_{\ve{u}} \ve{i}+y_{\ve{u}} \ve{j}}+b\pav{x_{\ve{w}} \ve{i}+y_{\ve{w}}
  \ve{j} }\\
\pause
                  &=& a x_{\ve{u}} \ve{i}+a y_{\ve{u}} \ve{j}+b x_{\ve{w}} \ve{i}+b y_{\ve{w}}
  \ve{j} \\
\pause
                  &=& \pav{ a x_{\ve{u}}+b x_{\ve{w}} }\ve{i}+\pav{a y_{\ve{u}}+b y_{\ve{w}} }\ve{j}
\end{arrayl}

\end{frame}







\begin{frame}
\frt{\emph{Combinaison linéaire} de vecteurs}

\begin{theorem}

Nous retiendrons donc que  le vecteur $a \ve{u}+ b \ve{w}$ a  pour coordonnées $\pav{ a x_{\ve{u}}+b
  x_{\ve{w}},a y_{\ve{u}}+b y_{\ve{w}} } $

\end{theorem}


\pause

Au fait, que veut dire \emph{combinaison linéaire} à votre avis~?



\pause

Les coordonnées d'une combinaison de vecteurs sont égales aux combinaisons des coordonnées...

\end{frame}






\begin{frame}
\frt{Coordonnées du milieu d'un segment}


Soit I le  milieu d'un segment $[A\pv B]$.  Supposons que nous connaissions les coordonnées  de A et
B. Comment en déduire les coordonnées de I~? 

\pause

Qui  dit coordonnées  de  I  dans $(O,\ve{i},\ve{j})$  dit  coordonnées de  $\ve{OI}$  dans la  base
$(\ve{i},\ve{j})$. 

\pause

Il faudrait donc essayer de relier $\ve{OI}$ avec $\ve{OA}$ et $\ve{OB}$... 

\pause

Que connaissez-vous comme relation vectorielle entre I, A et B~? 

\end{frame}







\begin{frame}
\frt{Coordonnées du milieu d'un segment}
Par exemple $\ve{AI}=\ve{IB}$

\pause

Il nous manque O...comment faire~? 

\pause

La relation de \textsc{Chasles} of course... 

\pause


\[\ve{AO}+\ve{OI}=\ve{IO}+\ve{OB}\]


\pause


\[\ve{OI}-\ve{IO}=-\ve{AO}+\ve{OB}\]

\pause

\[\ve{OI}+\ve{OI}=\ve{OA}+\ve{OB}\]

\pause

\[2\ve{OI}=\ve{OA}+\ve{OB}\]



\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Coordonnées du milieu d'un segment}


\[\ve{OI}=\fr{1}{2}\pav{\ve{OA}+\ve{OB}}\]


\pause

et donc

\begin{theorem}

Le milieu I de $[A\pv B]$ a pour coordonnées $\left(\fr{x_A+x_B}{2},\fr{y_A+y_B}{2}\right)$

\end{theorem}


\end{frame}





\section{Colinéarité et conséquences}


\begin{frame}

Rappelez-vous : si deux vecteurs $\ve{u}\begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix}$ et  $\ve{u'}\begin{pmatrix} x'\\y' \end{pmatrix}$ sont colinéaires, cela veut dire qu'il existe
un réel k tel que... 


\pause


\[\dots \ve{u'}=k \ve{u}\]

\pause 

Point de vue coordonnées, ça donne... 

\pause

... $x'=kx$ et $y'=ky$

\pause

Que pensez-vous de $x'y-y'x$~? 

\pause

Et oui, c'est...


\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Théorème de Némo: déterinant de deux vecteurs}


...nul


\pause

\begin{theorem}[Théorème de Némo]

$\ve{u}\begin{pmatrix}  x\\y \end{pmatrix}$  et $\ve{u'}\begin{pmatrix}  x'\\y'  \end{pmatrix}$ sont
colinéaires si, et seulement si, \[x'y-yx'=0\]

\end{theorem}





\end{frame}


\begin{frame}
\frt{Théorème de Némo: déterminant de deux vecteurs}


\begin{definition}[Déterminant de deux vecteurs]
Le  nombre $x'y-yx'$  est  appelé \emph{déterminant}  des  vecteurs $\ve{u}$  et
$\ve{u'}$

\pause


\[\det(\ve{u},\ve{u'}) = x'y-yx'\]

\end{definition}



Le théorème de Némo devient:


\begin{theorem}[Théorème de Némo]

$\ve{u}$  et $\ve{u'}$ sont
colinéaires si, et seulement si, leur déterminant est nul.

\end{theorem}


\pause

Pourquoi l'ai-je appelé Némo~?

\end{frame}









\begin{frame}
\frt{Montrer que 3 points sont alignés}

Est-ce que les points $A(2\pv 3)$, $B(5\pv 7)$ et $C(-6\pv -8)$ sont alignés~? 

\pause

Le théorème de Némo devrait vous aider à trouver... 


\pause


Regardez $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$...

\end{frame}








\begin{frame}
\frt{Est-ce que des droites sont parallèles~?} 

$A(-4\pv -1)$, $B(4\pv 5)$, $C(3\pv -2)$ et $D(7\pv 1)$.


Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont paralèles~?




\end{frame}

\section{Repère orthonormé}





\begin{frame}
  \begin{definition}
    Un  repère $(O,\ve{i},\ve{j})$  est dit  \emph{orthogonal} lorsque  les droites  $(O,\ve{i})$ et
    $(O,\ve{j})$ sont perpendiculaires. \\
\smallskip
\pause
 Un  repère $(O,\ve{i},\ve{j})$  est  dit \emph{orthonormé}  lorsqu'il  est orthogonal  et que  les
 vecteurs $\ve{i}$ et $\ve{ j}$ sont tous deux de norme 1.

  \end{definition}
\end{frame}




\begin{frame} \frametitle{Distance dans un R.O.N.}
Observez cette magnifique figure

\begin{center}
  \includegraphics[width=0.8\linewidth]{Vecteurs20}
\end{center}

\pause

Pouvez-vous calculer la distance AB en fonction des coordonnées de A et de B~?

\end{frame}



\begin{frame} \frametitle{Distance dans un R.O.N.}
  Bon sang mais c'est bien sûr~! Grâce à notre bon vieux théorème de Pythagore~! 

\pause

  Effectuez la démonstration et précisez pourquoi ce calcul n'est valable que dans un R.O.N.

\end{frame}




\begin{frame} \frametitle{Montrer qu'un quadrilatère est un rectangle }
 Dans un R.O.N. $(O,\ve{i},\ve{j})$, on considère les quatre points

\[A(-1\pv 3)\quad B(3\pv\sqrt{5})\quad C(2\pv -3)\quad D(-2\pv -\sqrt{5})\]

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD~?

\end{frame}
 






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{frame}
  
\begin{exercice}[\og Voir \fg des égalités vectorielles]
  
Considérez avec  la plus grande  attention un parallèlogramme  ABCD de centre O:~donnez  un maximum
d'égalités  vectorielles. En  particulier,  trouvez  des égalités  vectorielles  qui permettront  de
caractériser\footnote{C'est-à-dire qui permettent de conclure  que le point étudié est à coup sûr le
  milieu du segment étudié.} le milieu d'un segment. 

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.16}
\end{center}
\end{exercice}

\end{frame}










\begin{frame}
  
\begin{exercice}[Parallèlogrammes et milieux]
  
$ABCD$ est un parallélogramme de centre $O$. Les points $M$, $N$, $P$ et $Q$ sont tels que :
\[ \overrightarrow{AM}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB} \quad
\overrightarrow{BN}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{BC} \quad
\overrightarrow{CP}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{CD} \quad
\overrightarrow{DQ}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{DA} \]

\begin{itemize}
\item Démontrez que $\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{DP}$.
\item Déduisez-en que $O$ est le milieu de $[MP]$.
\item Démontrez de même que $O$ est milieu de $[QN]$.
\item Déduisez des questions précédentes la nature du quadrilatère $MNPQ$.
\end{itemize}



\begin{center}
  \includegraphics[scale=0.5]{Vecteurs.17}
\end{center}



\end{exercice}


\end{frame}





















\begin{frame}
  

\begin{exercice}[Construction de point]
  

$A$ et $B$ sont deux points distincts du plan.\\
On définit le point $M$ par la relation vectorielle : $3\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=\overrightarrow{0}$.\\

Exprimez $\overrightarrow{AM}$ en fonction de $\overrightarrow{AB}$. Placez $M$.

\end{exercice}

\begin{alertblock}{Idee}
  
M \og apparaît\fg  deux fois dans l'égalité~:~pour pouvoir le  construire, il faudrait \og
  partir\fg d'un point  connu et \og suivre la  flèche\fg jusqu'en M grâce à  des \og indications\fg
  utilisant des mouvements entre points connus...

\end{alertblock}
\end{frame}





\begin{frame}
  
\begin{exercice}[Une base pour démontrer un alignement...]
  
$ABCD$ est un parallélogramme.\\
$I$ est le milieu de $[AB]$.\\
$E$ est le point tel que $\overrightarrow{DE}=\dfrac{2}{3}\overrightarrow{DI}$.
\begin{itemize}
\item Compléter la figure suivante. 

\end{itemize}


\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.18}
\end{center}


\end{exercice}

\end{frame}



















\begin{frame}
  
\begin{alertblock}{Idee}
\begin{itemize}
\item Il  \emph{semble} que A,  E et C  soient alignés. Nous voudrions  le prouver. Pour  cela, nous
  allons essayer  de montrer  que les vecteurs  $\ve{AE}$ et  $\ve{AC}$ sont colinéaires.  Oui, mais
  comment~? 
\begin{itemize}
\item Pensons base ! Il est assez  naturel dans un parallélogramme de choisir $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$
  comme vecteurs de  base~:~ils sont bien connus et \og  représentent\fg les directions privilégiées
  du  parallélogramme.  Le  problème, c'est  que  E  est  \og  au  milieu\fg... Réglons  ce  premier
  problème~:~à l'aide de la relation de \textsc{Chasles} et des données du texte, exprimez $\ve{AE}$
  en n'utilisant que des points \og sur les bords\fg du parallélogramme.
  \item Déduisez-en une expression de $\ve{AE}$  uniquement en fonction de $\ve{AB}$ et $\ve{AD}$, nos
  vecteurs de base. 
\item Exprimez également $\ve{AC}$ en fonction de $\ve{AB}$ et $\ve{AD}$.
\end{itemize}
\item  Vous pouvez maintenant  comparer $\ve{AE}$  et $\ve{AC}$  en fonction  de vecteurs  dignes de
  confiance et conclure...
\end{itemize}


\end{alertblock}

\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.19}
\end{center}
\end{frame}






















\begin{frame}
  
\begin{exercice}[...et pour montrer que des droites sont parallèles]
  
$ABC$ est un triangle et $I$ est le milieu du segment $[AC]$.\\
$O$ est un point quelconque.
\begin{itemize}
\item On se propose de construire le point $P$ tel que :
$$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OB}.$$
\begin{itemize}
\item Justifier que $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OI}$.
\item Quelle relation lie alors $\overrightarrow{OP}$ et $\overrightarrow{IB}$ ?
\item Construire $P$.
\end{itemize}
\item En déduire que $(BI)$ et $(OP)$ sont parallèles.
\end{itemize}
\end{exercice}

\end{frame}















\begin{frame}
  

\begin{center}
  \includegraphics[width=.8\linewidth]{Vecteurs.20}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{exercice}[Dessin]
  

\begin{itemize}
\item Placer le point $E$ tel que $\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AC}$.
\item Placer le point $F$ tel que $\overrightarrow{BF}=-\overrightarrow{AC}$.
\item Placer le point $G$ tel que $\overrightarrow{BG}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BA}$.
\end{itemize}


\begin{center}
  \includegraphics[scale=.9]{Vecteurs.21}
\end{center}
\end{exercice}

\end{frame}




























\begin{frame}
  
\begin{exercice}[Calcul vectoriel dans un parallélogramme.]
  

Soit $ABCD$ un parallélogramme.\\
Soit $E$ le milieu de $[BC]$ et $F$ le milieu de $[DC]$.
\begin{itemize}
\item Montrer que $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BC}.$
\item Montrer que $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AF}=\dfrac{3}{2}~\overrightarrow{AC}.$
\end{itemize}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.22}
\end{center}
\end{exercice}


\end{frame}











\begin{frame}
  

\begin{exercice}[Calcul \og en aveugle\fg]
  
Dans chacun des cas suivants, démontrer que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires :
\begin{itemize}
\item $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{DC}=\overrightarrow{BD}.$
\item $2\overrightarrow{CB}-9\overrightarrow{CA}-7\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{0}.$
\item $7\overrightarrow{AB}=3\overrightarrow{CB}+5\overrightarrow{AD}+2\overrightarrow{CA}.$
\end{itemize}

\end{exercice}
\end{frame}




\begin{frame}
  
\begin{exercice}[Avec ou sans vecteurs]
  

Soit $ABC$ un triangle.\\

\begin{itemize}
\item Construire les points $M$, $N$ et $P$ tels que : \\

$\overrightarrow{AM}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, \quad 
$\overrightarrow{CN}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{CA}$, \quad 
$\overrightarrow{CP}=\dfrac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.\\


\item Montrer que
  $\overrightarrow{MN}=-\dfrac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\dfrac{2}{3}\overrightarrow{AC}$. On détaillera soigneusement les calculs.
\item Montrer que $\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{MN}$. On
  détaillera soigneusement les calculs.\\
Que peut-on en conclure ?
\item Retrouver ce résultat, sans les vecteurs, en utilisant les
  propriétés de géométrie plane.
\end{itemize}
\end{exercice}

\end{frame}

\begin{frame}

\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.23}
\end{center}

\end{frame}









\begin{frame}
  
\begin{exercice}[Être ou ne pas être alignés...]
  
Les points P, Q et R sont-ils alignés~? 
<
\begin{center}
  \includegraphics{Vecteurs.24}
\end{center}
\end{exercice}
\end{frame}










\begin{frame}

\begin{exercice}[Médianes]
  
{\sffamily \textbf{Préliminaire}~:~P,Q  et R sont  trois points  non alignés et  I est le  milieu de
  [Q,R]. Exprimez $\ve{PR}+\ve{PQ}$ en fonction de $\ve{PI}$.}



$ABC$ est un triangle quelconque. $A'$, $B'$ et $C'$ sont les milieux
respectifs de $[BC]$, $CA]$ et $[AB]$.

\begin{itemize}
\item Calculer la somme : $\overrightarrow{AA'}+\overrightarrow{BB'}+\overrightarrow{CC'}$.
\item $M$ est un point quelconque du plan. Montrer que :
$$\overrightarrow{MA'}+\overrightarrow{MB'}+\overrightarrow{MC'}=\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}.$$
%\item $G$ est le centre de gravité du triangle $ABC$. Calculer la
 % somme
 % $\overrightarrow{GA'}+\overrightarrow{GB'}+\overrightarrow{GC'}$. Que peut-on en déduire ?
\end{itemize}

\end{exercice}

\end{frame}

















\begin{frame}
  
\begin{exercice}[Montrer que 3 points sont alignés]
  
Est-ce que les points $A(2\pv 3)$, $B(5\pv 7)$ et $C(-6\pv -8)$ sont alignés~? 
\end{exercice}



\begin{alertblock}{Idee}
Le théorème de Némo devrait vous aider à trouver... 
  
  
Regardez $\ve{AB}$ et $\ve{AC}$...

\end{alertblock}
\end{frame}












\begin{frame}
  
\begin{exercice}[Est-ce que des droites sont parallèles~?]
  
$A(-4\pv -1)$, $B(4\pv 5)$, $C(3\pv -2)$ et $D(7\pv 1)$.


Est-ce que les droites (AB) et (CD) sont paralèles~?


\end{exercice}

\end{frame}




















\begin{frame}
  

\begin{exercice}[Montrer qu'un quadrilatère est un rectangle ]
  Dans un R.O.N. $(O,\ve{i},\ve{j})$, on considère les quatre points

\[A(-1\pv 3)\quad B(3\pv\sqrt{5})\quad C(2\pv -3)\quad D(-2\pv -\sqrt{5})\]

Quelle est la nature du quadrilatère ABCD~?

\end{exercice}

\end{frame}



\end{document}
%%% Local Variables:
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End:
