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\documentclass[10pt,landscape]{report}
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\begin{document}
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\thispagestyle{empty}









\begin{center}
{\Huge Ajustement affine}
\end{center}

\vspace{1cm}

\begin{multicols}{2}





\exot{Nucléaire}
En 1990, une centrale atomique  a été créée. Le 
but de cet exercice est d'étudier l'évolution du pourcentage des salariés
 ayant quatre oreilles  par rapport au total des salariés de 
 la centrale.\\
Le tableau suivant donne, pour les années indiquées, le nombre $x$ 
d'années écoulées depuis 1990 et le pourcentage $y$ de salariés à quatre oreilles 
correspondant.

\begin{center}\begin{tabular}{|*{9}{c|}}\hline
Année&1992&	1994& 1995& 1998 & 1999 & 2001 & 2002 & 2003\\ \hline
$x$& 2& 4& 5 & 8 & 9 & 11 & 12 & 13\\ \hline
$y$ (en $\:\%$)& 8,9& 10,2 &  10,5& 12,2 & 12,3 & 13,2 & 13,8 & 14,9\\ \hline
\end{tabular} \end{center}

\begin{enumerate} \item	Dans un repère orthogonal \Oij~ d'unité graphique 1 cm, 
représenter le nuage des points $M$ de coordonnées $(x~;~ y)$.
\item \begin{enumerate} \item Déterminer les coordonnées du point moyen G 
de ce nuage, c'est à dire le point de coordonnées (moyenne des abscisses,moyenne 
des ordonnées)

\item Placer le point G sur le graphique précédent.

\end{enumerate}

\item Soit $\mathcal{D}$ la droite passant par le point G et de coefficient 
directeur 0,5.

\begin{enumerate} \item Tracer la droite $\mathcal{D}$ sur le graphique 
précédent.

\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.

\end{enumerate}

\item On réalise, â l'aide de la droite $\mathcal{D}$  un ajustement affine du 
nuage représenté à la question \textbf{1.}, c'est à dire qu'on suppose que 
l'évolution du pourcentage 
de salarié à quatre oreilles peut être modélisé par la fonction affine 
correspondant à la droite $\mathcal{D}$.
À l'aide de cet ajustement, déterminer graphiquement :

\begin{enumerate} \item le pourcentage de salariés à quatre oreilles dans 
l'entreprise 
en 2000 ;

\item en quelle année le pourcentage des salariés à quatre oreilles dans 
l'entreprise 
atteindra $16\:\%$.

\textsl{Pour ces deux questions, les traits nécessaires à la lecture 
devront figurer sur le graphique.}

\end{enumerate}

\item Retrouver par le calcul les résultats de la question précédente 
à l'aide de l'équation de $\mathcal{D}$ obtenue à la question \textbf{3. 
b.}.

\end{enumerate}










\exot{Brochets}
Données scientifiques concernant le brochet

\noindent La croissance observée en centimètres suivant l'âge est indiquée dans
 le tableau ci-dessous :
 
 \vspace{0,5cm}

\begin{center}\begin{tabular}{|l| *{5}{c |}}\hline 
âge du brochet en années& 1& 2& 3& 4& 5\\ \hline
taille en centimètres& ~23~&~ 36~&~	43~&~ 55~&~	62~\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\noindent La longévité de l'espèce (âge maximal) est évaluée à neuf années.

\noindent Très nombreux à la naissance, les brochets se font plus rares à
 l'âge adulte, les spécimens très âgés devenant exceptionnels. Ainsi sur
 1000 brochets qui viennent de naître, seuls 10 parviendront à l'âge de 8 ans. 

Le graphique  suivant représente le nuage de points correspondant
 aux données du tableau. 

\begin{enumerate} \item Un ajustement linéaire du nuage semble-t-il justifié? 

\item On désigne par G$_1$ le point moyen du trois premiers
 points du nuage et par G$_2$ celui des deux derniers

\begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées de G$_1$ et de G$_2$ et tracer la droite
 (G$_1$G$_2$) sur le graphique.

\item Montrer que la droite (G$_1$G$_2$) admet pour équation 
réduite : $y = 9,8 x +14,4$.

\item Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage et montrer qu'il
 appartient bien à la droite (G$_1$G$_2$).

Placer le point G sur le graphique.

\end{enumerate}

\item On admet que cette droite constitue une bonne modélisation
 de la taille du brochet en fonction de son âge.

\begin{enumerate} \item Résoudre algébriquement l'inéquation $9,8 x + 14,4 > 200$. Est-il 
vraisemblable qu'un brochet dont la taille dépasse 200 centimètres 
puisse être observé ? 

\item Résoudre graphiquement l'équation $9,8 x + 14,4 = 100$.

En déduire l'âge d'un brochet mesurant 100 centimètres . (On donnera
 la valeur entière la plus proche et on laissera apparents les traits de
 construction ).
 
\end{enumerate} 
\een

\'Evolution de la taille d'un brochet en fonction de son âge

\vspace{1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(9,10)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1]    
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(9,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(0,10)
\uput[d](0,0){0} \uput[d](1,0){1} \uput[d](2,0){2} \uput[d](3,0){3} 
\uput[d](4,0){4} \uput[d](5,0){5} \uput[d](6,0){6} 
\uput[d](7,0){7} \uput[d](8,0){8} \uput[d](9,0){9}
\uput[l](0,0){0} \uput[l](0,1){20} \uput[l](0,2){40} \uput[l](0,3){60} 
\uput[l](0,4){80} \uput[l](0,5){100} \uput[l](0,6){120} \uput[l](0,7){140} 
\uput[l](0,8){160} \uput[l](0,9){180} \uput[l](0,10){200}
\rput(1,1.15){$\bullet$} \rput(2,1.8){$\bullet$} \rput(3,2.15){$\bullet$} 
\rput(4,2.75){$\bullet$} \rput(5,3.1){$\bullet$}
\rput(3.5,-1){âge en années}
\rput{90}(-1,9){Taille en cm}    
\end{pspicture}
\end{center}

% \vfill

% .

% \newpage

\exot{Microbes}



On met en contact des bactéries avec un agent antimicrobien.

\noindent Dans le tableau ci-dessous,

$t_i$ désigne le temps (en minutes) d'exposition des bactéries à l'agent 
antimicrobien,

$y_i$ désigne le nombre de survivants sur $10^6$ bactéries.

\[\begin{array}{|l|*{8}{c|}}\hline
t_i &  ~15~& ~20~& ~25~& ~30~& ~35~&~40~ & ~45~ &~50~\\ \hline
y_i & 120 & 	67 &  49& 27& 20& 9& 7&	3\\ \hline
z_i = \ln y_i& & & & & & & & \\ \hline
\end{array}\]

\begin{enumerate} \item Recopier le tableau en complétant la dernière ligne
 $z = \ln y_i$, où ln désigne la fonction logarithme népérien : vous vous contenterez d'utiliser la touche \texttt{ln} de votre calculatrice.

Donner les résultats arrondis à $10^{-1}$ près.

\item Représenter graphiquement le nuage de points de coordonnées $(t_i~; 
z_i)$ dans un repère orthogonal (\textsl{unités graphiques 2 cm pour 10 
minutes en abscisse et 2 cm pour une unité en ordonnée}).

\item \begin{enumerate} \item Calculer les coordonnées du point moyen G$_1$
 associé aux quatre premiers points du tableau, puis celles du point moyen
 G$_2$ associé aux quatre derniers points du tableau.

\item Tracer la droite (G$_1$G$_2$).

\item Une équation de la droite (G$_1$G$_2$) est de la forme $z = a t + b$.
 Calculer les nombres réels $a$ et $b$.

\end{enumerate}
\end{enumerate}


% \exot{Arbres}


% \noindent \textbf{Des résultats expérimentaux}

% On peut estimer l'âge de très vieux troncs d'arbres de deux façons :

% $\bullet~$  d'une part, en étudiant les anneaux de croissance;

% $\bullet~$ d'autre part, en mesurant la radioactivité résiduelle du carbone 14.

% \noindent On a ainsi analysé d'anciens morceaux de séquoias et de pins par les deux
%  méthodes.

% \noindent Voici le tableau des résultats obtenus : 

% $t$, est l'âge, en milliers d'années, donné par la méthode des anneaux de 
% croissance ;

%  $A_i$ est la radioactivité résiduelle exprimée en unité de radioactivité.

% \[\begin{array}{|*{9}{c |}}\hline
% t_i&~~0,5~~&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~6,3~~&~~7,8~~\\ \hline
% A_i&14,5&13,5&12&10,8&9,9&8,9&8&6,8\\ \hline
% \end{array}\]

% \begin{enumerate} \item  Recopier et compléter le tableau suivant où $\ln A_i$, est le logarithme 
% népérien de $A_i$. On arrondira les valeurs trouvées au centième le plus proche.

% \[\begin{array}{|*{9}{c |}}\hline
% t_i&~~0,5~~&~~1~~&~~2~~&~~3~~&~~4~~&~~5~~&~~6,3~~&~~7,8~~\\ \hline
% y_{i} = \ln A_{i}&2,67&&&&&&&1,92\\ \hline
% \end{array}\]

% \item Tracer le nuage de points $M_i(t_{i}~ ;~y_i)$

% \noindent On prendra	en abscisses : 1 cm pour 500 ans ; en ordonnées : 5 cm pour une unité.

% \item \begin{enumerate} \item Déterminer une équation de la droite $D$ passant par le 
% premier et le dernier point de ce nuage.

% \item Calculer les coordonnées du point moyen $G$ de ce nuage.

% \item Le point $G$ appartient-il à $D$ ?

% \item Placer $G$ et $D$ sur le dessin precedent.

% \end{enumerate}
% \een




\end{multicols}
\end{document}

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%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
