%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{TabVar.mp}

input tableauVariation;
%input couleur;
%input geometriesyr16;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% TVI 3 solutions

  beginTableau(10)

  newLigneVariables(btex $x$ etex);
  val(btex  $-\infty$ etex);
  val(btex $\alpha_1$ etex);
  val(btex  $-1$ etex);
  val(btex $\alpha_2$ etex);
  val(btex  $1$ etex);
  val(btex $\alpha_3$ etex);
  val(btex  $+\infty$ etex);
 newLigneSignes(btex $\hbox{ Signe de }\atop{\displaystyle f'(x)}$ etex);
 plus;valBarre("");plus; valBarre("0"); moins;valBarre("");moins; valBarre("0"); plus;valBarre("");plus;

 newLigneVariations(btex  $\hbox{Variations  de }\atop{\displaystyle  f(x)}$  etex);
  valPos(btex $-\infty$ etex,0);
  %valPos(btex 0 etex,0.5);
valBarre("0");
  valPos(btex 3 etex,1);
%  valPos(btex 0 etex,0.5);
valBarre("0");
  valPos(btex $-1$ etex,0);
%  valPos(btex 0 etex,0.5);
valBarre("0");
  valPos(btex $+\infty$ etex,1);
 endTableau;





beginTableau(11)

newLigneVariables(btex $x$ etex);
val(btex  $-\infty$ etex);
  val(btex $0$ etex);
  val(btex  $+\infty$ etex);
 newLigneSignes(btex $\hbox{ Signe de }\atop{\displaystyle f'(x)}$ etex);
 moins; nonDefBarre; plus;
  newLigneVariations(btex  $\hbox{Variations  de }\atop{\displaystyle  f(x)}$  etex);
 valPos(btex $+\infty$ etex,1);
  valPos(btex 0 etex,0);   
  valPos(btex $+\infty$ etex,1);
  endTableau;

end


\end{filecontents*}








%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{analyse20078.mp}
input newcourbes;
input couleur;
%input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex






%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%
%
%       Fonction Cube : coorigé
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



 
beginfig(12);


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
                    t**3          % c'est la seule ligne à changer
		  enddef;


vardef gy(expr t)=
                    3*t-1          % c'est la seule ligne à changer
enddef;		  
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-3,3,-10,10,1cm,.25cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
%quad_xy(0.1,0.7white);
quadu_xy(0.3white);
grad_x(1,1,0.4white);
%grad_y(1,1,0.4white);

draw f_courbe(fx,fy,-3,3,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;
draw f_courbe(fx,gy,-3,3,100)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor 0.6white;
label.rt(btex \textcolor{red}{$\Mathbold{y=x^3}$} etex,r_p(2,fy(2)) );
label.lrt(btex \textcolor{0.6white}{$\Mathbold{y=3x-1}$} etex,r_p(-1.5,gy(-1.5)) );

r_fin;
endfig;



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%
% DS1 oct2007       papier milli + courbe sqrt(x^2+abs(x))
%
%





 
beginfig(13);

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
                    sqrt(t**2+abs(t))         % c'est la seule ligne à changer
		  enddef;

  

repere(0,0,-4.2,4.2,-1,5,1cm,1cm);
r_axes;
r_origine;
r_unites;
r_labelxy;
quad_xy(0.1,0.7white);
quadu_xy(0.3white);
grad_x(1,1,0.4white);
grad_y(1,1,0.4white);



draw f_courbe(fx,fy,-4,4,1000)withpen pencircle scaled 1.5bp withcolor red;

draw r_p(-4,4.5)--r_p(0,0.5)--r_p(4,4.5) withpen pencircle scaled 1.3bp withcolor 0.4white dashed evenly;

drawarrow r_p(0,0)--r_p(0,0.8) withpen pencircle scaled 1.7bp withcolor 0.4white;

r_fin;
endfig;






end
\end{filecontents*}








\documentclass[10pt,a4paper,landscape,notitlepage]{report}
\usepackage[height=183mm,width=250mm,bottom=3cm,top=2.5cm,landscape,dvips]{geometry}
\usepackage{preambule}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/figuresTS/}{/home/moi/Figures/TabVar/}}
%\entete{DS n°1}{Jeudi 4 octobre 2007}{Jean Perrin - T\textsuperscript{ale}S 5}%g,d,b
\begin{document}




\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{fancy}
\lhead{\small\textsc{Le 04/10/2007}}
\chead{\Large\shadowbox{\textbf{Corrigé DS 1 - TS5}}  }
\rhead{Page \thepage/\pageref{LastPage} } \cfoot{}
\renewcommand{\headrulewidth}{0.1pt}
\renewcommand{\footrulewidth}{0pt}

\begin{multicols}{2}


\exot{Résolution d'une équation}

\begin{enumerate}
\item  $(E)\Longleftrightarrow x^3=3x-1$. Les solutions de $(E)$ sont donc les abscisses des points communs à la courbe d'équation $y=x^3$ et à la droite d'équation $y=3x-1$.\\ $(E)$ semble admettre trois solutions.



\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.12}
\end{center}

\item \begin{enumerate}
  \item  En tant que fonction polynôme, $f$ est dérivable sur $\bbr$ et pour tout
  $x\in\bbr$ $$f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)$$ Le trinôme $f'(x)$ est du signe de 3 à l'extérieur de
  l'intervalle des racines.

 Pour tout $x\in ]-\infty;-1[\cup ]1;+\infty[$,
  $f'(x)>0$ et pour tout $x\in]-1;1[,\;f'(x)<0$.


Donc $f$ est strictement croissante sur $]-\infty;-1]$ \textbf{et sur} $ [1;+\infty[$.

De plus $f$ est strictement décroissante sur $[-1;1]$. 

  
  \item 
Par lecture du tableau de variation, on obtient que l'équation (E) admet exactement 3 solutions sur
$\bbr$

\HorsListe{
\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{TabVar.10}
\end{center}
}
\item  En utilisant la touche \texttt{Solve} de la calculatrice, on obtient :\\
$\alpha_1\approx -1,879$ à $10^{-3}$ près par excès.\\
$\alpha_2\approx \;\, 0,347$ à $10^{-3}$ près par défaut.\\
$\alpha_3\approx \;\, 1,532$ à $10^{-3}$ près par défaut.

  \end{enumerate}




\end{enumerate}




\exot{Étude d'une fonction}


\begin{center}
  \textbf{Partie A~:~étude de $\Mathbold{f}$}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$, $f(-x)=\sqrt{(-x)^2+|-x|}=\sqrt{x^2+|x|}=f(x)$, donc $f$ est impaire et $\CR_f$
admet l'axe \oj comme axe de symétrie. 

Il suffit donc d'étudier la courbe sur $[0\pv+\infty[$
\item $\Lim{+\infty}x^2=+\infty$, $\Lim{+\infty}|x|=+\infty$, $\Lim[T]{+\infty}\sqrt{T}=+\infty$, donc, par
  composition des limites \[\Lim{+\infty}f(x)=+\infty\]
\item Pour $h>0$, $\frac{f(h)-f(0)}{h}=\frac{\sqrt{h^2+h}}{h}=\sqrt{1+\frac{1}{h}}$. Or
  $\Lim[h]{0}\left(1+\frac{1}{h}\right)=+\infty$, donc $\Lim[h]{0}\frac{f(h)-f(0)}{h}=+\infty$.

On en déduit que $f$ n'est pas dérivable en 0 et que $\CR_f$ admet une tangente verticale au point
d'abscisse 0.

\item Sur $]0\pv +\infty[$, $f(x)=\sqrt{x^2+x}$, donc $f'(x)=(2x+1)\frac{1}{2\sqrt{x^2+x}}$ qui est
  strictement positif sur $]0\pv +\infty[$.

\item On en déduit le tableau suivant~:

\begin{center}
  \includegraphics{TabVar.11}
\end{center}

\end{enumerate}




\begin{center}
  \textbf{Partie B~:~asymptotes à $\Mathbold{\CR_f}$}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item  Pour tout $x>0$,

\begin{arrayl}

 f(x)-x-\frac{1}{2}&=&\sqrt{x^2+x}-x-\frac{1}{2}=\sqrt{x^2+x}-x-\frac{1}{2}\times
    \frac{\sqrt{x^2+x}+x+\frac{1}{2}}{\sqrt{x^2+x}+x+\frac{1}{2}}=\frac{x^2+x-x^2-x-\frac{1}{4}}{\sqrt{x^2+x}+x+\frac{1}{2}}\\
&=&\frac{-1}{4
      \left(\sqrt{x^2+x}+x+\frac{1}{2}\right)}

\end{arrayl}

On en déduit que $\Lim{+\infty}\left(f(x)-(x+\frac{1}{2})\right)=0$ et donc que $\CR_f$ admet la
droite $\DR$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$.

\item Pour tout $x>0$,  $f(x)-\left(x+\frac{1}{2}\right)=\frac{-1}{4
      \left(\sqrt{x^2+x}+x+\frac{1}{2}\right)}<0$, donc $\CR_f$ est en-dessous de $\DR$ sur $[0\pv +\infty[$
  \end{enumerate}

\item Par symétrie, on en déduit que $\CR_f$ admet la droite d'équation $y=-x+\frac{1}{2}$ au
  voisinage de $-\infty$.

\item Et voilà le travail~:

\begin{center}
  \includegraphics{analyse20078.13}
\end{center}


\end{enumerate}


\exot{Un peu de trigo}

\begin{arrayl}
\cos(3t)&=&\cos(2t+t)\\
&=&\cos 2t \cos t-\sin 2t\sin t\\ 
 &=& (2\cos^2t-1)\cos t-2\sin^2t\cos t\\
&=& 2\cos^3 t-\cos t-2(1-\cos^2 t)\cos t\\
 &=& 2\cos^3 t-\cos t -2\cos t+2\cos^3 t
  \end{arrayl}

  
  \[  \boxed{\cos(3t)=4\,\cos^3t-3\,\cos t}\]
  

\exot{Question subsidiaire}

En base 2, 10 signifie   2....

\end{multicols}

\end{document}





%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
