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\entete{DS de mathématiques - samedi 25 avril 2009}{DS de
  mathématiques - samedi 25 avril 2009}{Lycée Jean \textsc{Perrin}
  2\up{nde} 12}%g,d,b
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}


\newcommand{\syst}[4]{\left\{ \begin{array}{rcl} #1 &=& #2\\#3 &=& #4 \end{array}\right.} %syst�me

\psshadowbox*[fillcolor=0.8white,framearc=.25]{%
\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
{\LARGE \begin{center} 2\up{nde} 12 - D.S.  de
    mathématiques - Samedi 25 avril 2009 - 2 heures\end{center}}
\smallskip
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}



\begin{multicols}{2}





\exot{}



    \begin{pspicture}(-5,-5)(5,5)
      \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=4,gridwidth=0.5pt](-5,-5)(5,5)
      \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
        \psline{->}(-5,0)(5,0)
        \psline{->}(0,-5)(0,5) 
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=.5pt,griddots=5](-5,-5)(5,5)
    %  \multido{\n=-5+1}{10}{\uput[d](\n,0){\n}}
    %  \multido{\n=-5+1}{10}{\uput[l](0,\n){\n}}
      \uput[d](5,0){$x$}
      \uput[l](0,5){$y$}
        \psplot{-5}{5}{x 2 mul 3 div}
      \psplot{0.2}{2.2}{x 5 mul 6 sub}
      \psplot{-5}{5}{x 4 div 3 add}
      \psdots(-3,-2)(1,-1)(2,4)(-4,2)(4,4)(0,0)
      \uput[ul](3,2){$d_2$}
      \uput[ul](2,4){$d_1$}
      \uput[ul](4,4){$d_3$}
    \end{pspicture}

 Les droites $d_1$, $d_2$ et $d_3$ ci-contre représentent
        respectivement les fonctions
      affines $f_1$, $f_2$ et $f_3$.\\
      Déterminer  les  expressions  de   chacune  de  ces  fonctions  en
      utilisant les coordonnées des points mis en évidence sur le graphique.
   


\exot{}

 Le ministère des Parkings a publié en 1997 la progression
 des dépenses de surveillance de 1990 à 1995. Ces données
 sont représentées graphiquement (tableau et graphique ci-dessous).
 
\begin{center}
 % \begin{pspicture}(7,9)
%  \psframe(7,9)
%  \psset{xunit=.5cm,yunit=.5cm}
% \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=.3pt,griddots=4](14,18)
 %
         \begin{pspicture}(7,9)
         \psset{xunit=.5cm,yunit=0.5cm}
 \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=.5pt,griddots=5](14,18)
         \psaxes[Ox=1989,Dx=1,dx=2,Oy=400,Dy=25,dy=2]{->}(0,0)(14,18)

        % \psgrid[gridlabels=6pt,subgriddiv=0,gridwidth=.5pt](0,0)(-2,-2)(5,2)
       
         \psdots*[dotstyle=+](2,3.648)(4,5.968)(6,8.384)(8,10.416)(10,13.456)%
 (12,15.08)
         %\psline[linewidth=0.3pt]{-}(2,3.648)(4,5.968)(6,8.384)(8,10.416)(10,13.456)(12,15.08)
         \rput(1.5,3.8){$A$}
         \rput(12.3,15.5){$B$}   
         \end{pspicture}
 %\end{pspicture}
\end{center}

$$\begin{array}{|p{3cm}|c|c|c|c|c|c|}
 \hline
 Année & 1990 & 1991 & 1992 & 1993 & 1994 & 1995 \\
 \hline
 Dépense en milliards de francs &
 445,5 & 474,5 & 504,8 & 530,2 & 568,2 & 588,5 \\
 \hline
 \end{array}$$
 \\


 On décide d'approcher la courbe représentant ces dépenses par
 la droite $\Delta$ passant par les points $A$ et $B$.
 \begin{enumerate}
 \item
 Donner les coordonnées des points $A$ et $B$ en utilisant le tableau.
 \item
 Calculer le coefficient directeur de la droite $\Delta$.
 \item
 On note $f$ la fonction affine représentée par la droite $\Delta$.
 Déterminer l'expression  $f(x)$.
\item Calculer les  coordonnées du point moyen G  ayant pour coordonnées
  les moyennes des coordonnées des 6 points. Appartient-il à $\Delta$ ? 
\item
 On suppose que cette évolution s'est maintenue les années suivantes.
 \'Evaluer la dépense globale de surveillance  en 2008.
 \end{enumerate}
 

\vspace{1cm}

\exot{}

On travaille dans un repère $\oij$. Déterminez les équations réduites des droites suivant :
\begin{enumerate}
\item $(D_1)$ qui passe par $A(1\pv 2)$ et qui a pour coefficient directeur $-2$;
\item $(D_2)$ qui passe par $B(-1\pv2)$ et $C(4\pv -3)$;
\item $(D_3)$ qui est parallèle à la droite d'équation $y=-3x+2$ et qui passe par A;
\item $(D_4)$ qui est parallèle à l'axe des ordonnées et qui passe par $E(37\pv-193\sqrt{\pi})$.
\end{enumerate}


\exot{}Résolvez les systèmes suivants~:
%\begin{enumerate}
\begin{multicols}{4}
	 $\syst{2x+3y}{7}{x-y}{5}$\vspace{0.5cm}
 $\syst{4x-6y}{2}{6x-9y}{3}$
	 $\syst{x}{2y-5}{3y}{7x-2}$\vspace{0.5cm}
 $\syst{x+2}{5}{3x+4y}{7}$
\end{multicols}
%\end{enumerate}



\exot{}On se place dans un repère \oij~d'unité 1 cm ou 1 carreau.
\begin{enumerate}
	\item Tracer les droites d'équations $2x-4y=1$ et $x+6y=-3$
	\item En déduire une approximation des solutions du système $\syst{2x-4y}{1}{x+6y}{-3}$
	\item Vérifier ces solutions, et si elles ne sont pas exactes, retrouver le résultat par le calcul.
\end{enumerate}



\exot{}
Six équations de droites sont données ci-dessous.
\begin{multicols}{3}
\begin{itemize}
\item $d_1$ : $3x-3y+3=0$ ;
%\item $d_2$ : $y=-5x+7$ ;
\item $d_2$ : $y-2=-6(x-\frac13)$ ;
\item $d_3$ : $\frac{x}{5}+\frac{y}{2}=1$ ;
\item $d_4$ : $-2x+5y+1=0$ ;
%\item $d_6$ : $y=6x-11$ ;
\item $d_5$ : $y+1=2(x+5)$ ;
\item $d_6$ : $\frac{x}{3}-\frac{y}{3}=1$.
\end{itemize}
\end{multicols}


Déterminez leurs  coefficients directeurs respectifs  et les coordonnées
de leurs intersections avec l'axe des abscisses. 








\exot{}

ABCD est  un carré de centre  O. I et  J sont les mimieux  respectifs de
[OD] et [AB].

\begin{enumerate}
\item Justifiez que $\pav{A,\ve{AB},\ve{AD}}$ est un repère orthonormé.
\item Calculez, dans ce  repère, les coordonnées de A, B, C,  D, O, I et
  J.
\item Démontrez que le triangle IJC est rectangle isocèle.
\end{enumerate}

\exot{}

Le périmètre d'un rectangle mesure 830 m. Si l'on augmente sa largeur de
20\% et si l'on diminue sa longueur de 25\%, alors son périmètre diminue
de 50 m.

Déterminez les dimensions de ce rectangle.


% \exot{Question subsidiaire}


% Soit  $(E_1)$ l'ensemble  des  points de  coordonnées  $(x,y)$ tels  que
% $(y-2)^2=5x+y^2+1$  et  $(E_2)$  l'ensemble  des points  de  coordonnées
% $(x,y)$ tels que $12+2y=-7x$.

% Étudiez leur intersection.
\end{multicols}
\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
