
\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,asymptote}
\usepackage[upright]{fourier}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/}}
\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\pagestyle{empty}


\begin{center}
  {\LARGE {\bfseries 2\textsuperscript{nde}8 - DS du mercredi 19 décembre 2007 - Durée : 1h18 }}
\end{center}

\hrule


\vspace{0.5cm}





\exot{}


\begin{center}

\begin{asy}
size(0,5cm);
import geometry_dev;
import graph;

void graphicrules(picture pic=currentpicture, string prefix=defaultfilename, real unit=1cm,
                  real xunit=unit != 0 ? unit : 0,
                  real yunit=unit != 0 ? unit : 0,
                  real xmin, real xmax, real ymin, real ymax)
{
  xlimits(xmin, xmax);  
  ylimits(ymin, ymax);
  unitsize(x=xunit, y=yunit);
}

void grid(picture pic=currentpicture,
          real xmin=pic.userMin.x, real xmax=pic.userMax.x,
          real ymin=pic.userMin.y, real ymax=pic.userMax.y,
          real Step=1, real step=.5,
          pen pTick=nullpen, pen ptick=grey, bool put=Below)
{
  xaxis(pic, BottomTop, xmin, xmax, Ticks("%",extend=true,Step=Step,step=step,pTick=pTick,ptick=ptick), put=put);
  yaxis(pic, LeftRight, ymin, ymax, Ticks("%",extend=true,Step=Step,step=step,pTick=pTick,ptick=ptick), put=put);  
}


//The figure starts here 
graphicrules(yunit=1.5cm, xmin=-3.5, xmax=6, ymin=-2, ymax=3.5);
grid();
//cartesianaxis(arrow=None);
//Labeloij(UnFill);


coordsys R=defaultcoordsys;
show("$M$", "$\vec{\imath}$", "$\vec{\jmath}$", R, ipen=0.1*white, xpen=invisible,linewidth(bp));


coordsys Rp=cartesiansystem((3,0.5), i=(1,0), j=(0,1));
show("$R$", "$\vec{\imath}$", "$\vec{\jmath}$", Rp, ipen=blue, xpen=invisible,linewidth(bp));


pair m=(-2.5,-1.5);
pair n=(2,2.5);


dot("$P_1$",point(R,m),red); 
dot("$P_2$",point(Rp,m),blue);
dot("$P_3$",point(R,n),blue);
\end{asy}

\end{center}

\begin{enumerate}
\item Lire les coordonnées de chacun des points $P_1$,  $P_2$, $P_3$, M et R et les traduire par une
  égalité vectorielle~:
  \begin{enumerate}
  \item dans le repère \oij[M]
  \item dans le repère \oij[R]
  \end{enumerate}

\item Faire de même avec les vecteurs $\ve{P_1P_2}$ et $\ve{P_3R}$.

\item  Soit  $P_4$  le  point de  coordonnées  $\left(\frac{15}{13},-\frac{1515}{1313}\right)$  dans
  \oij[R]. Quelles sont ses coordonnées dans \oij[M]~?

\end{enumerate}


\exot{}


Voici un magnifique hexagone régulier de centre O~:

\begin{center}
  
\begin{asy}


size(0,5cm);

import geometry_dev;

point O=(0,0); dot("$O$",O,S+S);
circle C=circle(O,1);

for(int i=0; i<360; i+=60){
point M=relpoint(C,i/360);
point P=relpoint(C,(i+60)/360);
dot(format("$M_%f$",i/60),M,unit(M-O));
draw (P--M, gray+1.5bp);
draw (O--M,gray+1.5bp);
}

\end{asy}

\end{center}


En utilisant uniquement les  points de la figure ci-dessus, exprimez les  vecteurs suivants à l'aide
d'un seul vecteur~:

\begin{nliste}{3}
\item $\ve{OM_1}+\ve{M_5M_4}$
\item $\ve{M_0M_1}+\ve{M_2M_3}$
\item $\ve{M_0M_1}-\ve{M_1M_2}$
\item $25\ve{M_1M_0}+12 \ve{M_2M_5}+\ve{M_3M_4}$
\item $\ve{M_4O}+\ve{M_1M_0}+\ve{M_4M_5}$
\item $\ve{M_3M_1}-\ve{M_4M_5}$
\end{nliste}


\exot{}

A et B sont deux points du plan. M est défini par $3\ve{MA}+\ve{MB}=\ve{0}$.

% \begin{center}
% \begin{asy}

% size(0,5cm);
% import geometry_dev;

% point A=(0,0); dot("$A$",A,S);
% point B=(6,4); dot("$B$",B,N);

% \end{asy}
% \end{center}


Exprimez $\ve{AM}$  en fonction de $\ve{AB}$. Placez  A et B au hasard sur une figure puis ajoutez
le point M, mais pas au hasard.




\exot{}

Le plan est muni d'un repère \oij. On considère les points~:

\[A\left(\sqrt{2},-\sqrt{2}\right)\quad B \left(2\sqrt{2},3 \sqrt{2}\right)\quad C \left(1-\sqrt{2},
\sqrt{2}\right)\]

\begin{enumerate}
\item Déterminez les coordonnées du point M défini par~:

\[ \ve{AM}=3 \ve{AB}\]
\item Déterminez les coordonnées du milieu I de [AC].

\item Déterminez les coordonnées du point N tel que le quadrilatère AMCN soit un parallélogramme.

\item Déterminez l'ordonnée du point P d'abscisse 0 qui appartient à la droite (MN).



\end{enumerate}






\exot{Un cadeau}

Un arbre de Noël mathématique~:

\begin{center}
  
\begin{asy}

size(0,6cm);

transform scale(pair center, real k)
{
  return shift(center)*scale(k)*shift(-center);
}

path trk=(0,0)--(0,1);

void tree(path p, int n, real a=30, real b=40, real r=.75)
{
  if (n!=0)
    {
  pair h=point(p,length(p));
  transform tb=rotate(180-b,h)*scale(h,r);
  transform ta=rotate(-180+a,h)*scale(h,r);
  draw(p,n/3+1/(n+1)*green+n/(n+1)*brown);
  tree(tb*reverse(p),n-1,a,b,r); 
  tree(ta*reverse(p),n-1,a,b,r);
    }
}

tree(trk,12,a=25,b=40,r=.75);


\end{asy}

\end{center}

et le code pour l'obtenir : 

\begin{lstlisting}
size(10cm,0);
transform scale(pair center, real k)
{
  return shift(center)*scale(k)*shift(-center);
}
path trk=(0,0)--(0,1);
void tree(path p, int n, real a=30, real b=40, real r=.75)
{
  if (n!=0)
    {
  pair h=point(p,length(p));
  transform tb=rotate(180-b,h)*scale(h,r);
  transform ta=rotate(-180+a,h)*scale(h,r);
  draw(p,n/3+1/(n+1)*green+n/(n+1)*brown);
  tree(tb*reverse(p),n-1,a,b,r); 
  tree(ta*reverse(p),n-1,a,b,r);
    }
}
tree(trk,12,a=25,b=40,r=.75);
\end{lstlisting}


\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
