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  % or ...Frankfurt, 
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  %  imagename=/home/moi/Photos/Maths/prisoner
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}

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  \fbox{\tabular[b]{C{#1}} #2 \endtabular}}

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\newtheorem{exercice}{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}

%\setlength{\parskip}{0pt}


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\begin{document}


\title[]% (optional, use only with long paper titles)
{Vers l'infini et au-delà}

\subtitle{Les suites: la suite}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Notre-Dame - T$^{ale}$S3}% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{logondr}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{septembre 2018}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }



\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\AtBeginSubsection[]
{\scriptsize
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\tiny
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}




\newcommand{\TR}{\mathcal{T}}


\begin{frame}
%\ThisCenterWallPaper{1}{logoiremBigInv}
 \Large \titlepage 
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}

\normalsize


% début



\section{Souvenirs de Première}

\subsection{Définition}

\begin{frame}
  
  \begin{definition}[suite numérique]
    Une  suite (sous-entendue  numérique) est  une fonction  définie sur
    l'ensemble $\bbn$  des entiers naturels ou sur  une partie seulement
    de $\bbn$.

    Définir une suite, c'est donc associer un nombre réel à tout élément d'une partie de
    $\bbn$.
  \end{definition}
\end{frame}



\begin{frame}\frametitle{Notations}
  \begin{itemize}
  \item   Au lieu  d'utiliser la notation habituelle $d(n)$  pour désigner l'image
    de $n$, on utilise souvent $d_n$. 

  \item Dans notre exemple, $d_n=10n$, quelque soit l'entier naturel $n$.

  \item La suite $d$ est de \emph{terme général} $d_n$.

  \item Au  lieu de $d$,  on désigne
    aussi la suite par $(d_n)_{n\in\bbn}$ ou même plus simplement $(d_n)$.

  \item On appelle $d_n$  le \emph{terme d'indice $n$} ou  encore le \emph{terme
      de rang $n$}.
  \end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}
  
  \begin{alertblock}{DANGER!}
              Il ne faudra pas  confondre le \emph{nombre} $d_n$ avec la
              \emph{suite} (c'est-à-dire fonction) $(d_n)$...
            \end{alertblock}
            
\end{frame}



\subsection{Suite dont le terme général est donné explicitement}


\begin{frame}
  

  \begin{definition}[suite définie explicitement]
Soit  D une  partie  de $\bbn$  et  soit $f$  une  fonction définie  sur
$n$. Soit $u$ une suite telle  que $u_n=f(n)$ pour tout $n\in D$. On dit
alors que $u$ est définie explicitement.
    \end{definition}
\end{frame}



\begin{frame}
    \begin{example}[]
      Soit      $u$      la       suite      définie      pour      tout
      $n\in\bbn\setminus\big\{0\big\}$ par $u_n=2-\frac{1}{n^2}$.
      \end{example}


\pause
      
On        obtient        par        exemple        $u_1=${$2-1=1$},
$u_2=${$2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$}, $u_{10}=${$2-\frac{1}{100}=\frac{199}{100}$}

\end{frame}









  \subsection{Suite définie par une relation de récurrence}


  \begin{frame}
    \begin{definition}[suite définie par une relation de récurrence ]
      C'est une suite dont on connaît le(s) premier(s) terme(s) et dont un
      terme quelconque est défini en fonction des termes précédents.
    \end{definition}
  \end{frame}
  
  
  
  \begin{frame}[fragile]
    \begin{example}[]
      Soit $s$ la suite définie par~: 
      
      $s~:~\begin{cases}s_0=1\\ \text{pour
          tout \emph{}ntier } n \geqslant  1, \ s_n=1+\frac{1}{s_{n-1}}\end{cases}$
      
      Calculez les valeurs approchées à $10^{-4}$ près des 10 premiers termes de la suite.
    \end{example}
  \end{frame}
  
  
  
  \begin{frame}\frametitle{utilisation de la touche [Ans] de la calculatrice}
    \begin{itemize}
    \item On commence par entrer le premier terme: \CUn \CExe
    
    \item Ensuite, on  utilise la touche  [Ans] qui récupère le  dernier résultat
    donné par la machine, c'est-à-dire ici 1~:
    
    \pause \CUn \CPlus \CUn \CDiv [Ans] \CExe
    
  \item ensuite, on tape sur \CExe pour obtenir les termes suivants.
  \end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]\frametitle{Algo au Bac}
    \begin{algo}
          \ALGO{Suite récurrente version Bac :/}
          \VAR
          \DECLVAR{n, k}{entier}
          \DECLVAR{S}{flottant}
          \BEGIN
          \STATE{Afficher("valeur de n ?")}
          \STATE{Lire(n)}
          \STATE{S \recoit{} 1}
          \FOR{k}{1}{n}
          \STATE{S \recoit{} 1 + 1/S}
          \ENDFOR
          \STATE{Afficher(S)}
          \END
        \end{algo}

  \end{frame}


  



\begin{frame}[fragile]\frametitle{Algo au Bac}
       \begin{algo}
          \FUNC{s}{\pfarg{n}{entier}}{flottant}
          \VAR
          \DECLVAR{k}{entier}
          \DECLVAR{S}{flottant}
          \BEGIN
          \STATE{S \recoit{} 1}
          \FOR{k}{1}{n}
          \STATE{S \recoit{} 1 + 1/S}
          \ENDFOR
          \RETURN{S}
          \END
        \end{algo}
  \end{frame}

  \begin{frame}[fragile]{Python}
   \begin{pythoncode}
def s0(n):
    s = 1
    for k in range(1,n):
        s = 1 + 1/s
    return s
\end{pythoncode}
  \end{frame}


  \begin{frame}[fragile]
    \begin{pythoncode}
In [23]: [s(k) for k in range(1,10)]
Out[23]: 
[1,
 2.0,
 1.5,
 1.6666666666666665,
 1.6,
 1.625,
 1.6153846153846154,
 1.619047619047619,
 1.6176470588235294]
\end{pythoncode}
    
  \end{frame}
  

  \begin{frame}[fragile]
    \begin{pythoncode}
In [24]: [s(k) for k in range(100,110)]
Out[24]: 
[1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895,
 1.618033988749895]
\end{pythoncode}


  \end{frame}





\subsection{Suites arithmétiques}


\begin{frame}
  
  \begin{definition}[suite arithmétique]
    Une suite  $(u_n)$ est  arithmétique lorsqu'il  existe un réel  $b$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,

\[u_{n+1}=u_n+b\]

 On appelle $b$ la raison de la suite

    \end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
  
  \begin{theorem}[expression explicite du terme général d'une suite arithmétique]
    Une suite $(a_n)_{n\in\bbn}$ est arithmétique de premier terme $a_0$ et de raison $r$ si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$,
\[a_n=a_0+n\cdot r\]
    \end{theorem}
  \end{frame}


  \begin{frame}
     \begin{theorem}[somme des $n$ premiers entiers naturels]
    La somme des entiers de 1 à $n$, notée $\ds\sum_{k=1}^nk$, est égale
    à $\dfrac{n(n+1)}{2}$
    \end{theorem}
  \end{frame}

  \begin{frame}
    \begin{theorem}[somme des premiers termes d'une suite arithmétique]
     \'Etant donné une suite arithmétique $a$ de raison $r$
\[\ds\sum_{k=0}^{n}a_k=\fr{\text{nombre de termes}\times(\text{1er terme+dernier terme})}{2}=\fr{(n+1)(a_0+a_n)}{2}\]
 \end{theorem}
  \end{frame}


  
\subsection{Suites géométriques}


\begin{frame}
  


  \begin{definition}[suite géométrique]
Une  suite $(g_n)$  est géométrique  lorsqu'il existe  un réel  $q$ tel  que, pour  tout $n\in\bbn$,
$$g_{n+1}=q\cdot g_n$$ On appelle $q$ la raison de la suite.
    \end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
  


  \begin{theorem}[expression explicite du terme général d'une suite géométrique]
    Une suite $(g_n)_{n\in\bbn}$ est géométrique de premier terme $g_0$ et de raison $q$ si, et seulement si, pour tout entier naturel $n$,
\[g_n=g_0\cdot q^n\]
    \end{theorem}
 
\end{frame}






\begin{frame}
  
  \begin{theorem}[somme des premiers termes d'une suite géométrique]
     Si $q\neq 1$, $\ds\sum_{k=0}^{n}g_k=\text{premier terme}\times\fr{1-\text{raison}^{\text{nombre de termes}}}{1-\text{raison}}=g_0\fr{1-q^{n+1}}{1-q}$
    \end{theorem}
 

\end{frame}



\subsection{Sens de variation d'une suite}







\begin{frame}
  
\begin{definition}[]
  On dit que la suite $(u_n)_{n\geq0}$ est :
  \begin{itemize}
  \item strictement croissante si pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} > u_n$;
  \item strictement décroissante si pour tout $n\in\N$, $u_{n+1} < u_n$.
  \end{itemize}
\end{definition}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{exercise}
     On pose pour tout $n\in\N$, $u_n=(2n+1)^2$. Étudier les variations de $(u_n)_{n\geq0}$
  \end{exercise}
\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{exercise}
   Étudier le sens de variation de la suite $(v_n)_{n\geq0}$ définie par récurrence par : $\displaystyle{\left\{
  \begin{array}[c]{l}
    v_0 = 10\\
    v_{n+1}=\left(v_n\right)^2+3v_n+1\\
  \end{array}
\right.}$. 
  \end{exercise}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{theorem}
     Soit $u$ une suite à TERMES STRICTEMENT POSITIFS. Alors :
  \begin{itemize}
  \item la suite $u$ est strictement croissante si et seulement si pour tout $n\in\N$ on a $\frac{u_{n+1}}{u_n}>1$;
  \item la suite $u$ est strictement décroissante si et seulement si pour tout $n\in\N$ on a $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1$.
  \end{itemize}
  \end{theorem}
\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{definition}[]
  Une suite \textbf{u} est \textbf{majorée} si, et seulement si, pour tout entier $n$, il
  existe un réel M tel que $u_n \leqslant M$.

  Une suite \textbf{u} est \textbf{minorée} si, et seulement si, pour tout entier $n$, il
  existe un réel m tel que $u_n \geqslant  m$.

  Une  suite \textbf{u}  est \textbf{bornée}  si, et  seulement si,  elle est  à la  fois
  minorée et majorée.
\end{definition}
\end{frame}


\section{Comportement asymptotique d'une suite}



\subsection{Comment traduire qu'une suite diverge vers l'infini ?}


\begin{frame}
  
\begin{definition}[Suite divergeant vers l'infini]
Soit $\un$ une suite réelle. On  dit que $\un$ diverge vers $+\infty$ si
et  seulement si ,  pour tout  réel positif  $A$, il  existe \textbf{un}
entier $N$ tel  que \textbf{pour tout} entier $n$ supérieur  à $N$, on a
$u_n>A$.
On note $$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty
$$
\end{definition}
\end{frame}


\begin{frame}
  

\begin{center}
\includegraphics[height=.8\textheight]{limfonc.59}
\end{center}


\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercise}
    Étudier le comportement asymptotique de la   suite  $(u_n)_{n\in\bbn}$   de   terme  général
$u_n=5n^2$.
  \end{exercise}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercise}
    Quelle pourrait être la définition d'une suite divergeant vers $-\infty$?...Il
  y a plusieurs possibilités.
  \end{exercise}
\end{frame}




\subsection{Comment traduire qu'une suite converge ?}

\begin{frame}
  
\begin{definition}[Suite convergente]
On dit qu'une  suite $\un$ converge vers le réel  $\ell$ si et seulement
si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient aussi \textbf{tous
  les termes de la suite à partir d'un certain rang}.
On note $$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell
$$
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{center}
\includegraphics[width=\linewidth]{limfonc.60}
\end{center}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercise}
    
Étudier le comportement asymptotique de la suite de terme général $v_n=\fr{n+1}{n}$.

  \end{exercise}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercise}
     Est-ce que toutes les suites admettent une limite, finie ou infinie?

  \end{exercise}
\end{frame}



\subsection{Croyable mais faux !}

\begin{frame}
  
Mathémator  combat les  idées  reçues  sur les  suites  : une  interview
exclusive.

\pause

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=.7\textheight]{vaderLeia}
\end{center}
%\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{exercise}
    
\tsx Est-il  vrai qu'une suite strictement  croissante diverge forcément
vers $+\infty$~?

\pause

\pro On pourrait le penser en effet  : une suite qui ne fait que croître
va forcément monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est FAUX~!

\pause

Je vous laisse trouver un contre-exemple.

  \end{exercise}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{exercise}
    
\tsx Est-il vrai  qu'une suite qui diverge vers  $+\infty$ est forcément
croissante à partir d'un certain rang~?

\pause

\pro On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers l'infini
et au-delà, il va bien  falloir monter sans s'arrêter. Et pourtant c'est
FAUX~!

\pause

Je vous laisse trouver un contre-exemple.
  \end{exercise}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{exercise}
    \tsx Est-il vrai qu'une suite bornée converge forcément vers un réel~?

\pause

\pro On pourrait le penser en  effet : puisque la suite est bornée, elle
ne pourra aller vers l'infini, donc il faut qu'elle se stabilise quelque
part. Et pourtant c'est FAUX~!

\pause

Je vous laisse trouver un contre-exemple.

  \end{exercise}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{exercise}
    \tsx Est-il  vrai qu'une suite ne  prenant qu'un nombre  fini de valeurs
converge forcément~?

\pause

\pro On  pourrait le penser en effet  : puisque la suite  ne prend qu'un
nombre  fini de  valeurs, elle  va se  stabiliser sur  l'une  d'elle. Et
pourtant c'est FAUX~!

\pause

Je vous laisse trouver le \textit{contre-exemple}.

  \end{exercise}
\end{frame}



\section{Les théorèmes}



\subsection{Théorème de comparaison}


\begin{frame}
  
\begin{center}
  \includegraphics[height=.9\textheight]{limfonc.8}
\end{center}

\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{theorem}[Théorème de comparaison (ROC)]
  Soit $\mathbf{u}$ et $\mathbf{v}$ deux suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=+\infty$
  \item Il existe un entier $N_0$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N_0$ on
    a $v_n \geqslant u_n$
   
  \end{itemize}
\pause
  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=+\infty$
\end{theorem}

\end{frame}



\subsection{Théorème des gendarmes}



\begin{frame}
  
\begin{center}
  \includegraphics[height=.9\textheight]{limfonc.9}
\end{center}

\end{frame}




\begin{frame}
  
\begin{theorem}[Théorème des gendarmes]
  Soit $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$ et $\mathbf{w}$ trois suites définies sur $\bbn$ vérifiant:

  \begin{itemize}
  \item $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}v_n=\lim_{n\to +\infty}w_n=\ell$
  \item Il existe un entier $N$ tel  que pour tout entier $n \geqslant N$ on
    a $v_n \leqslant u_n \leqslant w_n$
   
  \end{itemize}
\pause
  alors $
    \displaystyle\lim_{n\to +\infty}u_n=\ell$
\end{theorem}

\end{frame}




\subsection{Suite croissante convergente}


\end{document}
%%% Local Variables:
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