\input{/home/moi/Lycee/makalice}\setlength{\parindent}{0pt}
\entete{\NomLecon}{\textsc{LES AVENTURES DE T\'EHESSIN LE REZ\'EN}}{Lyc�e Jean Perrin}
\begin{document}

\setlength{\parindent}{0pt}
\LECOND{I}{Premi�re}{}{LIMITE \\  D'UNE  FONCTION \\ NUM\'ERIQUE}{LIMITE D'UNE FONCTION NUM\'ERIQUE}{/home/moi/ts/ts/Buzz.eps}




\begin{Abstract}
Aujourd'hui, notre h�ros d�bute sa formation de chevalier Mata�e
aupr�s de son ma�tre Dark Mathemator en abordant la d�licate �tude
des fonctions num�riques...
\end{Abstract}




\SECTION{PR\'EAMBULE : DE QUOI PARLONS-NOUS ?}{Pr�ambule : de quoi parlons-nous ?}


\SUBSECTION{Qu'est-ce qu'une fonction~?}


\pro Question idiote n'est-ce pas~?

\textbf{T�hessin}\footnote{Si notre h�ros est un gar�on, c'est
pour faciliter les accords des adjectifs et participe pass�.} :
Ben c'est une formule comme par exemple $f(x)=(x+1)^2$

\sm

\pro C'est tout~? Je vois...L'ann�e de formation qui nous attend
ne sera pas superflue. Si vous avez �prouv� des difficult�s l'an
pass�, c'est peut-�tre que vous n'avez pas fait l'effort d'avoir
en t�te une d�finition claire, pr�cise, rigoureuse. Peut-�tre
n'avez-vous pas compris comment cette d�finition pouvait �tre li�e
aux diverses propri�t�s, � quoi tout le tralala pouvait servir,
comment cette partie du programme pouvait �tre reli�e � d'autres
notions d�j� �tudi�es. Vous ne semblez pas avoir une vision
intuitive de la notion susceptible de vous aider � comprendre
comment tout s'imbrique si merveilleusement dans notre magnifique
univers math�matique � l'esth�tique si parfaite. Pourquoi cette
notion est-elle apparue~? Quelle est sa place dans l'histoire de
l'esprit humain~? Quelles sont ses applications concr�tes~? C'est
avec ces questions en t�te que nous essaierons d'aborder toutes
les notions qu'un(e) jeune Mata�e se doit de ma�triser � l'issue
de sa formation terminale.


\MATA{{� ce rythme l�, dans deux ans on y est encore, et moi j'ai
d'autres projets.}}

\sm

\pro Vous d�tes~?

\tsx J'ai h�te d'�tancher ma soif de connaissance, � c�leste
ma�tre.

\pro � la bonne heure~! Disons qu'une fonction associe � TOUT �l�ment d'un ensemble de d�part un UNIQUE �l�ment d'un ensemble d'arriv�e. Cela correspond typiquement au diagramme en patates suivant

\des{limfonc.13}{3}

%\begin{center}
%\includegraphics[height=3cm]{DiaFonction.1}
%\end{center}

Nous nous restreindrons aux fonctions dont les ensembles de d�part et d'arriv�e sont des parties de $\bbr$.

\tsx Parce qu'il en existe d'autres ?

\pro Nous verrons cette ann�e quelques exemples de fonctions � valeurs complexes, de fonctions vectorielles, de fonctions de plusieurs variables, sans toutefois rentrer dans le d�tail, mais sachez au moins qu'elles existent.

\tsx Donc ce que j'ai appel� \textit{fonction} depuis le coll�ge n'est qu'un cas particulier de fonction.

\pro Oui mais, jusqu'� nouvel ordre, par abus de langage, \textit{fonction} sous-entendra pour nous \textit{fonction d'une variable r�elle � valeurs dans} $\bbr$. 

\medskip

 Il reste un probl�me � r�soudre pour notre confort intellectuel : nous travaillons avec des nombres r�els, mais qu'est-ce que l'ensemble $\bbr$ des nombres r�els ?
  
\tsx Ben c'est tous les nombres qui existent.

\pro C'est faux et beaucoup trop vague ! Faux car nous allons rencontrer cette ann�e de nouveaux nombres qui ne seront pas des r�els (les complexes) et vague car cela ne nous permet pas d'avoir des propri�t�s sur $\bbr$  exploitables.

Malheureusement, la construction de l'ensemble $\bbr$ est hors de notre port�e pour le moment.


\SUBSECTION{Probl�me local - Probl�me global - Voisinage}

\pro Posez votre stylo sur votre table et observez-le : il a l'air solide et immobile. Maintenant, imaginez que vous observez ce m�me stylo, mais avec une loupe assez puissante pour voir ce qui s'y passe au niveau atomique : votre stylo vous apparait alors plein de  vide, avec  des �lectrons qui tournent dans tous les sens. C'est pourtant le m�me stylo. Mais une propri�t� locale - un atome est pratiquement vide de mati�re - n'est pas <<~exportable~>> au niveau global - le stylo nous appara�t solide, sans la moindre trace de vide.

Pour l'�tude d'une fonction, il faudra prendre le m�me type de pr�cautions, � savoir distinguer un probl�me local d'un probl�me global.

\tsx Je comprends votre exemple physique, mais je ne vois pas bien ce que �a peut donner en math�matique.

\pro Il faut commencer par acqu�rir une bonne vision de cet ensemble $\bbr$, � la fois connu et myst�rieux. Pour cela fermez les yeux.

\MATA{ C'est le gourou d'une secte ou un prof de maths ?! Je vais quand m�me garder un \oe il ouvert au cas o�.}

\pro Vous voyez la droite des r�els ?

\MATA{ Avec des �l�phants roses courrant dessus}  \textbf{tout haut : } je ne vois qu'elle.

\pro Bien, alors rep�rez le nombre 32 et zoomez dessus, disons en vous pla�ant dans l'intervalle [31,33]. Puis rezoomez, cette fois-ci en vous pla�ant dans l'intervalle [31,9\ ; 32,1] : vous �tes plus proche de 32. Mettez-vous maintenant  dans la peau de $32-10^{-32}$.

\MATA{\c Ca devient grave, il a peut-�tre besoin d'une piqure...}

\pro Pour lui, 31,9 est � l'autre bout du monde et il se sent tr�s proche de 32. Mettez-vous alors � la place de $32-10^{-10^{10^{10}}}$ : vous vous sentez voisin de 32 et pour vous $32-10^{-32}$ est sur une autre plan�te.

\tsx Je commence � voir, les yeux ferm�s, o� vous voulez en venir : on aura beau chercher, on ne trouvera pas de nombre r�el plus proche de 32 que tous les autres.

\pro La notion de <<~proximit�~>> devient alors toute relative. Il faudra garder ces sch�mas en t�te quand nous travaillerons dans $\bbr$.

\medskip

Revenons � pr�sent � notre distingo local - global. Nous serons souvent amen�s � parler d'une assertion vraie ou fausse <<~au voisinage~>> d'un point. Par exemple, pensez-vous que $x^2\ie1$ au voisinage de 0 ?

\tsx En fait, c'est faux pour $x=2$, par exemple, mais �a devient vrai si $x$ est compris entre $-1$ et 1, donc <<~localement~>>, autour de 0, c'est vrai.

\pro On peut dire en fait que pour tout $x$ appartenant � l'intervalle $[0-1,0+1]$, l'assertion est vraie. Nous verrons que ce r�sultat nous permettra de dire que l'assertion est vraie au voisinage de 0.

\medskip

Maintenant, pensez-vous que $1/x^2\se 16$ au voisinage de 0 ?

\tsx Je vous arr�te tout de suite : l'assertion est fausse car elle n'est m�me pas vraie en 0 puisque $1/x^2$ n'est pas d�fini en 0.

\pro Cela aurait pu �tre un argument, mais cela se serait av�r� tr�s r�ducteur, car  nous serons amen�s � �tudier des propri�t�s au voisinage de points o� la fonction n'est pas d�finie, notamment au moment de l'�tude des limites. Ici, nous pouvons dire que l'assertion est vraie pour tout $x$ appartenant � $[0-4,0+4]$ ET � l'ensemble de d�finition $\bbr^*$.

 On peut utiliser le symbole $\cap$ de l'intersection pour noter l'ensemble $[0-4,0+4]\cap\bbr^*$, ce qui peut encore s'�crire sous la forme $[-4,0[\ \cup\ ]0,4]$. Ainsi, n'oubliez pas de consid�rer l'intersection de l'intervalle englobant le point avec l'ensemble de d�finition

\medskip

Encore un petit exemple : croyez-vous que $x^3$ soit positif au voisinage de 0 ?

\tsx En fait, $x$ et $x^3$ ont le m�me signe, donc il suffit de dire que pour $x=10^{-32}$ par exemple, l'assertion est fausse.
 
\pro Mouais, le probl�me, c'est qu'un contre-exemple ne suffit pas : qui nous dit que $x^3$ ne devient pas positif pour des valeurs de $x$ plus petite ? Il faut donc donner une d�monstration et pas seulement un cas particulier. Ce sera l'occasion de d�couvrir un \textit{raisonnement par l'absurde} qui nous rendra service tout au long de l'ann�e.

\medskip

Supposons donc que l'assertion soit vraie \textit{(on suppose ce qui nous semble absurde...)}

Cela est �quivalent � dire qu'il existe  un r�el $\e>0$ tel que $x^3$ soit positif pour tout $x\in[0-\e,0+\e]$

Ainsi, par exemple, $(-\e)^3$ est positif, or $(-\e)^3<0$ comme $-\e$, on arrive donc � une \textit{contradiction}.

Il y a donc quelque chose qui cloche dans notre raisonnement et �a ne peut �tre que le point de d�part car nous sommes s�rs du reste, donc l'assertion est fausse.


\medskip

Retenez donc bien qu'il faut que le point critique appartienne � l'intervalle.

Nous pouvons donc proposer l'assertion suivante :



\ENC{\Def}{Soit $f$ une fonction d�finie sur un ensemble $\DR$ et $x_0$ un r�el. Une assertion est vraie \textbf{au voisinage} de $x_0$ s'il existe un intervalle $I$ contenant $x_0$ tel que l'assertion soit vraie pour tout $x$ de $I\cap \DR$}

\smallskip

Nous serons �galement amen�s � �tudier des assertions au voisinage de l'infini.

\tsx \c Ca me parait un peu difficile � atteindre.

\pro Mais ce n'est pas impossible : nous allons un peu modifier notre d�finition. Par exemple, est-ce que la fonction inverse

$$f\ :\ \begin{array}{lll} \bbr^* &\to &\bbr\\ x& \mapsto &1/x \end{array}$$


 est major�e sur son ensemble de d�finition ?

\tsx Je sens que c'est faux au voisinage de 0.

\pro Je vous laisse le montrer. Modifions alors le probl�me : vous �tes d'accord que $f(x)\ie 1$ d�s que $x\in[1,+\infty[$. On dira alors que $f$ est major�e par 1 au voisinage de $+\infty$ : on ne peut pas mettre l'infini dans notre intervalle, certes, mais on peut le placer � l'une de ses extr�mit�s 

\ENC{\Def}{Soit $f$ une fonction d�finie sur un ensemble $\DR$. Une assertion est vraie \textbf{au voisinage} de $+\infty$ s'il existe un r�el $a$ tel que l'assertion soit vraie pour tous les $x$ de $[a,+\infty[$}

\tsx Toutes ces propri�t�s me semblent pourtant plus globales que locales : elles sont vraies sur de grands intervalles.

\pro Je comprends ce que vous voulez dire : en fait, une propri�t� est locale d�s qu'elle n'est pas vraie $partout$. Il y a ensuite des propri�t�s plus locales que d'autres, je vous l'accorde. Pour vous en rendre compte, nous allons (re)d�couvrir un concept vraiment tr�s local, celui de limite. Retenez �galement, au point de vue m�thodologique, qu'un raisonnement par l'absurde nous aide souvent � montrer qu'une assertion est fausse localement.

\SECTION{NOTION DE LIMITE}{Notion de limite}

\SUBSECTION{Limite finie en un r�el, limite � gauche, limite � droite}

\tsx Si la limite est finie en un r�el, je ne vois pas trop le probl�me : je me rappelle que l'ann�e derni�re, les limites faisaient toujours appel � un infini.

\pro La notion de limite finie en un r�el peut para�tre tir�e par les cheveux, mais elle constitue la base de la notion de continuit� que nous d�couvrirons au chapitre suivant.

Vous connaissez la notation $$\Lim{a}=\ell$$

qui se lit \textit{la limite de $f(x)$ quand $x$ tend vers $a$ vaut $\ell$} et qui signifie <<~� mesure que $x$ se rapproche infiniment de $a$, son image $f(x)$ se rapproche infiniment de $\ell$~>>

Cela peut para�tre assez �vident, mais regardons quand m�me un petit exemple


Consid�rons les fonctions $$\fonc{f_1}{[0,2]}{\bbr}{\cos x}$$ 
dont voici le graphe 
\begin{center}
\includegraphics[height=4cm]{/home/moi/Alice/figures/limfonc.2}
\end{center}


et $$\fonc{f_2}{[0,2]}{\bbr}{\begin{cases}
\cos x&{\rm si}\ x\in[0,1]\\
\cos(x-1)&{\rm si}\ x\in]1,2]\\
\end{cases}}$$




\begin{center}
\includegraphics[height=3cm]{/home/moi/Alice/figures/limfonc.3}
\end{center}


%� mettre plus loin ?

On voit sur le graphe de $f_1$  que,
 � mesure que $x$ se rapproche infiniment de 1, son image
$f_1(x)$ se rapproche infiniment de $f_1(1)=\cos 1\simeq 0,540$.

\c Ca peut se voir aussi sur  un tableau de valeurs approch�es. Pour mettre en �vidence un rapprochement de 1 par la gauche et par la droite, on a fait figurer les images de $1+h$ et $1-h$  pour des valeurs de
$h$ de plus en plus petites.
$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline
h & 1 & 0,5 & 0,1 & 0,01 & 0,001\\
\hline\hline
f_1(1+h) & -0,416 & 0,071 & 0,454 & 0,532 & 0,539\\
\hline
f_1(1-h) & 1 & 0,878 & 0,622 & 0,549 & 0,541\\
\hline
\end{array}
$$



En revanche, on voit sur le graphe de $f_2$ que, � mesure que $x$
se rapproche de 1 par valeurs inf�rieures (par la gauche), c'est � dire en �tant
strictement inf�rieur � 1, son image $f_2(x)$ se rapproche
infiniment de $\cos 1\simeq0,540$. Alors que, � mesure que $x$
se rapproche de 1 par valeurs sup�rieures (par la droite), $f_2(x)$ se rapproche
infiniment de $\cos (1-1)=1$. Et ce tableau de valeurs  approch�es
le confirme.

$$
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|}
\hline
h & 1 & 0,5 & 0,1 & 0,01 & 0,001\\
\hline\hline
f_2(1+h) & 0,540 & 0,878 & 0,999 & 0,999 & 0,999\\
\hline
f_2(1-h) & 1 & 0,878 & 0,622 & 0,549 & 0,541\\
\hline
\end{array}
$$

Qu'en pensez-vous ?

\tsx Dans le premier cas il n'y a pas de probl�me : $\Lim{1}f_1(x)=\cos 1$, alors que dans le deuxi�me cas, �a d�pend de notre sens de parcours : si on vient de la gauche, la limite vaut $\cos 1$, si on vient de la droite, c'est $\cos 0$.

\pro Bonne remarque ! Mais quand vous verrez la d�finition rigoureuse de la limite d'une fonction l'ann�e prochaine, vous d�montrerez que la limite est unique : elle ne peut pas prendre deux valeurs en m�me temps. Mais pour garder ces pr�cieux renseignements sur les comportements � gauche et � droite, on parlera de \textbf{limite � gauche} et de \textbf{limite � droite}.

On notera ainsi $\limg{1} f_2(x)=\cos 1\quad $ et $\limd{1} f_2(x)=\cos 0=1$



\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\noindent \framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{\small 
\centerline{\bf Pour les curieux : une d�finition rigoureuse de la limite en un r�el}
L'id�e vient du dessin suivant : 

\des{limfonc.4}{4}

qui nous donne une id�e de d�finition : on peut �tre aussi pr�s que l'on veut de la limite $\ell$ sur l'axe des ordonn�es ( c'est � dire qu'on peut choisir n'importe quelle valeur positive de $\e$), il suffit pour cela d'�tre assez pr�s de $a$ sur l'axe des abscisses (c'est � dire qu'il suffit de choisir un $\al$ d�pendant du $\e$ choisi).

Cela se traduit par la d�finition suivante : 

Soit $I$ un intervalle de $\bbr$, soit $f$ une fonction de $I$ vers $\bbr$, soit $\ell$ un r�el et soit $a$ un �l�ment ou une extr�mit� finie de $\bbr$. On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$ lorsque, pour tout $\e>0$, il existe $\al>0$ tel que, pour tout r�el $x$ de $I$ v�rifiant $|x-a| \ie \al$, on a $|f(x)-\ell|\ie \e$.

\c Ca parait bien compliqu�, notez tout de m�me qu'il existe des notations logiques simplifiant l'�criture


$$\forall \e>0\ \exists \al>0\ \forall x\in I\cap[a-\al,a+\al] \quad f(x)\in[\ell-\e,\ell+\e]$$


Heureusement, vous avez encore un an avant d'affronter ces horribles symboles...  Sachez tout de m�me que cette d�finition permet de prouver les th�or�mes op�ratoires usuels, de r�soudre un certain nombre de probl�mes et qu'elle est  la base d'une bonne compr�hension de l'analyse. 


 
}} \normalsize
\end{center}
\end{figure}


\SUBSECTION{Les limites et l'infini}

\SUBSUBSECTION{Comment exprimer que $\mathbf {\Lim{a}f(x)=+\infty}$~ ?}

\pro Vous avez rencontr� ce type de situation l'ann�e derni�re : pouvez-vous nous proposer un exemple ?

\tsx Je me souviens que  $\limd{0}\fr{1}{x}=+\infty$

\pro \`A la bonne heure  : tra�ons la repr�sentation graphique de la fonction $\fonc{f}{]0,1]}{\bbr}{\fr{1}{x}}$

\des{limfonc.5}{4}

On sait d'o� on part, mais o� arrive-t-on ?

\tsx Un c�l�bre h�ros de la pens�e contemporaine aurait dit <<~vers l'infini et au-del�~>>, mais de l� � l'exprimer math�matiquement...

\pro <<~To infinity and beyond, Buzz Lightyear to the rescue~>> est la v�ritable citation. On fixe une barre au vaillant Buzz : <<~m�me pas cap de d�passer la hauteur 100 !~>>

\MATA{A�e A�e A�e, j'aurais pas d� le brancher la-dessus...}


\pro <<~ Ah, ah~>> dit-il. Puisque  $1/x\se 100 \Longleftrightarrow x\ie 1/100$, il suffit donc pour $x$ de se trouver dans l'intervalle $]0,1/100]$ pour que $1/x$ d�passe cette barre.

\tsx Oui, oui, oui, je vois. Et si on lui fixe une barre plus haute, il la d�passera si $x$ se trouve suffisamment pr�s de 0. Mais je ne distingue pas encore la formulation d'une d�finition.

\pro En fait, je dois avouer qu'elle n'est pas au programme cette ann�e. Nous nous contenterons de cette approche intuitive.






\begin{figure}[!ht]
\begin{center}
\noindent \framebox{
\parbox{0.9\textwidth}{\small 
\centerline{\bf  La d�finition secr�te}

Allez, je sais que vous en mourez d'envie, alors la voici

Quelque soit le r�el $A$ strictement positif (notre barre), il existe un r�el $\e$ strictement positif (qui d�pendra du choix de $A$) tel que, pour tout $x\in]a,a+\al]\cup I$ (si $x$ est � moins de $\al$ m�tres de $a$) on a $f(x)\se A$  ($f(x)$ d�passe la barre).

L'id�e est donc : quelque soit la hauteur choisie, on pourra toujours la d�passer en se pla�ant suffisamment pr�s de $a$, qui se traduit plus prosa�quement par $$\forall A>0\ \exists \al>0 \ \forall x\in]a,a+\al]\ f(x)\se A$$
 
}} \normalsize
\end{center}
\end{figure}

Vous pourrez sans difficult�  r�fl�chir au probl�me sym�trique de la limite � gauche.

\tsx Je n'en doute pas, mais avant, une question me taraude l'esprit : vous m'avez pr�sent� la distinction local/global comme un pr�alable indispensable � l'�tude des limites, mais je ne vois pas trop le rapport avec ce que nous venons de voir

\pro Plusieurs remarques : d'abord j'apr�cie que vous ne laissiez pas une question sans r�ponse, c'est comme �a que vous progresserez Ensuite, on peut traduire la d�finition de la limite en termes de voisinage. Par exemple, $\limd{0}\fr{1}{x}=+\infty$ veut dire que, quelque soit le voisinage $\VR$ de $+\infty$, on peut trouver un voisinage $\WR$ de 0 tel que pour tout $x\in\WR$, on a $f(x)\in\VR$, mais bon, c'est un d�tail � notre niveau. 

Ce qu'il faut plut�t retenir, c'est que la limite ne nous donne de renseignement qu'au voisinage de z�ro. Nous ne pouvons rien en d�duire pour le comportement de $f$ ailleurs. 

\tsx Ce que je ne comprends pas, c'est que tout ce qui  englobe z�ro correspond au voisinage de z�ro, donc $\bbr^*$ en particulier. Donc une propri�t� vraie au voisinage de z�ro est vraie sur $\bbr^*$.

\pro Vous vous doutez bien que c'est faux, sinon il suffirait de savoir ce qui se passe en z�ro pour savoir ce qui se passe partout (c'est pourtant une erreur classique qui envahie les copies de Bac...). Mais cela met en �vidence qu'avec des id�es floues, on arrive � dire n'importe quoi.  Il faut bien comprendre que \textit{quelque soit le voisinage de la limite} (ici $+\infty$), il existe UN voisinage de 0 o� la propri�t� est vraie. Un et pas tous. Mais attention, un ne veut pas dire un seul, mais au moins un. En effet, si c'est vrai pour un voisinage de 0, c'est aussi vrai pour un voisinage de z�ro <<~plus petit~>>.

\MATA{Pourquoi je suis revenu de vacances : c'est pourtant si simple de vivre d'amour et d'eau fraiche...}





\SUBSUBSECTION{Comment exprimer que $\mathbf{\Lim{+\infty}f(x)=\ell}$~ ?}



\tsx �tes-vous s�r de devoir encore m'embrouiller la t�te pour me dire � la fin que la d�finition est hors programme ?

\pro D'abord, je comprends que vous soyez un peu d�rout� alors que vous avez encore du sable de plage dans les oreilles, mais j'esp�re que vous comprendrez qu'acqu�rir une certaine libert� intellectuelle (qui vous permettra de d�jouer de nombreux pi�ges) demande malheureusement quelques efforts. Et puis je suis d�sol�, mais les deux d�finitions qui suivent sont au programme...


Alors retournons � la mine. Avez-vous en t�te une fonction qui r�pondrait au probl�me ?

\tsx Ben toujours la m�me, la fonction inverse car je me souviens que $\Lim{+\infty}\fr{1}{x}=0 $.

\pro Par exemple. Mais pour varier les plaisirs, nous allons plut�t consid�rer  $$\fonc{g}{]0,+\infty[}{\bbr}{1-\fr{1}{x}}$$


\tsx On pourrait commencer par regarder un tableau de valeurs

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
$x$&1&10&100&$1\,000$\\
\hline
$f(x)$&0&0,9&0,99&0,999\\
\hline
\end{tabular} 
\end{center}

On sent que la limite est 1.

\pro Je ne doute pas de votre flair, mais il faudrait en �tre s�r : qui vous dit que la fonction ne se mette pas � faire n'importe quoi apr�s 1000 ?
En fait, une id�e serait de dire que pour �tre s�r que $g(x)$ se rapproche de 1, il suffit de v�rifier qu'il ne s'en �loigne pas.

Illustrons notre propos par ce petit dessin

\des{limfonc.6}{6}

On se place aussi pr�s que l'on veut de la limite pr�sum�e 1 en fabriquant le tube bleu autour de 1. Vous <<~sentez~>> qu'� partir d'un certain moment, la courbe restera toujours dans le tube bleu.  

Quel est ce <<~moment~>> ?

\tsx D'apr�s le dessin, c'est � partir du moment o� $g(x)=1/\e$, c'est � dire $1-1/x=1-\e$, ce qui signifie finalement d�s que $x=1/\e$. \c Ca se voit sur le dessin, mais est-ce vraiment une preuve ?

\pro Pour l'instant non, car cela ne correspond � aucun r�sultat �tabli. Il va donc falloir se mettre d'accord sur une d�finition qui paraisse naturelle suite � notre petite exp�rimentation sur la fonction $g$.

Je vous propose donc la d�finition suivante

\ENC{\Def}{On dit que $f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $+\infty$  lorsque, pour tout r�el $\e>0$, tout intervalle $]\ell-\e,\ell+\e[$ contient    toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand}

Je vous laisse bien s�r adapter cet �nonc� au cas d'une limite en $-\infty$.

Cette d�finition a l'avantage de nous proposer une m�thode concr�te pour �tudier la limite d'une fonction au voisinage de $+\infty$.


Essayer ainsi de prouver que la fonction inverse que vous aviez �voqu� tend vers 0 en $+\infty$.

\tsx Soit $\e$ un r�el strictement positif quelconque. On voudrait savoir s'il existe un seuil � partir duquel toutes les valeurs prises par la fonction restent dans l'intervalle $]0-\e,0+\e[$. On cherche donc $x$ tel que 

$$(I)~:~ -\e<\fr{1}{x}<\e $$
Or $x>0$, donc 
$$(I)\ssi 0<\fr{1}{x}<\e$$
$$(I)\ssi x>\fr{1}{\e}$$

Donc, quelque soit l'intervalle ouvert centr� en 1 du type $]1-\e,1+\e[$, celui-ci contient toutes les valeurs prises par la fonction inverse d�s que $x$ est sup�rieur � $1/\e$.

\pro Impressionnant ! Le m�tier commence donc � rentrer. 

\break

\SUBSUBSECTION{Comment exprimer que $\mathbf{ \Lim{+\infty}f(x)=+\infty}$~ ?}


\pro Je suis s�r que vous allez pouvoir prendre un peu plus d'initiative � pr�sent. Pour avoir un graphique assez lisible, nous allons prendre une fonction que vous connaissez bien mais qui ne tend pas trop vite vers l'infini, la fonction racine carr�e.

\tsx Laissez-moi la tracer

\des{limfonc.7}{7}

Pour reprendre une illustration pr�c�dente, d�s que l'abscisse de Buzz est suffisamment grande, il restera dans la zone bleue au-dessus du seuil fix�.

Je vous propose donc la d�finition suivante

\ENC{\Def}{On dit que $f(x)$ tend vers $+\infty$ quand $x$ tend  $+\infty$ lorsque, pour tout r�el $A$ strictement positif, l'intervalle $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ assez grand}


\pro Je dois avouer que vous assurez un maximum. Puisque vous �tes en forme, essayez maintenant de prouver que la fonction $$\fonc{f}{\bbr}{\bbr}{x^2}$$ tend vers $+\infty$ en $+\infty$.

\tsx Soit $A$ un r�el strictement positif quelconque qui sera notre seuil. Regardons � quel moment $f(x)$ le d�passera

$$
(J) ~:~f(x)>A\ssi x^2>A\ssi x>\sqrt{A}
 $$

Donc, quelque soit $A$, l'intervalle $]A,+\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x>\sqrt{A}$ donc, par d�finition

$$\Lim{+\infty}\sqrt{x}=+\infty$$

\pro C'est parfait.

\SECTION{LES TH\'EOR\`EMES}{Les th�or�mes}

\tsx Je commence � m'habituer � ces d�finitions, mais serons-nous toujours oblig�s d'y revenir pour calculer des limites ?

\pro Rassurez-vous, dans la plupart des cas, nous pourrons utiliser les th�or�mes que vous avez en fait d�couvert l'an pass�.

Mais avant toute chose, voici le principal th�or�me du cours 

\ENC{\Thm}{En analyse,  un dessin avant de r�soudre l'exercice tu feras} 


\SUBSECTION{Th�or�mes de comparaison}

\pro Ce th�or�me est r�sum� par le dessin suivant 

\des{limfonc.8}{7}

� savoir 

\ENC{\Thm}{Si pour tout $x\se m$ on a $g(x)\se f(x)$ et si $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, alors $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$}

\tsx En fait, �a veut dire que si on est plus grand que quelque chose qui tend vers $+\infty$, on tend soi-m�me vers $+\infty$.

\pro C'est cela, oui, et il existe le pendant en $-\infty$ que je vous laisse imaginer. Maintenant, le dessin est bien beau, mais il s'agirait de d�montrer ce r�sultat. Or nous n'avons que la d�finition de la limite en magasin, donc utilisons-l�.

 
On veut prouver que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$, donc on consid�re un r�el positif $A$ quelconque. 

Puisque $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$, il existe un r�el $M$ tel que, pour tout $x\se M$, on a $f(x)\se A$

De plus, pour tout $x\se m$, on a $g(x)\se f(x)$

Donc, si on appelle $\mu$ le plus grand des r�els $m$ et $M$, pour tout $x\se \mu$, on a $g(x)\se A$, ce qui exprime que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$.

\medskip

Par exemple $\Lim{+\infty}\sqrt{x}=+\infty$ et $g(x)=\sqrt{x}+|\sin x|\se \sqrt{x}$ pour tout r�el $x$, donc par comparaison des limites on obtient que $\Lim{+\infty}g(x)=+\infty$.



\break
\SUBSECTION{Th�or�mes des gendarmes}

\pro Un nom qui fait un peut peur et qui laisse imaginer le pauvre prisonnier entour� de deux fiers � bras en uniforme. On aurait pu aussi l'appeler th�or�me des portes d'ascenseur, th�or�me de la mouche �cras�e, th�or�me du rouleau compresseur, et j'en passe et des meilleures.

Comme d'habitude, l'id�e vient du petit dessin suivant


\des{limfonc.9}{7}

Une fonction $f$ est coinc�e entre deux fonctions $g$ et $h$ qui tendent vers $\ell$ en $+\infty$, alors $f$ elle-m�me va tendre vers $\ell$ en $+\infty$. Il ne reste plus qu'� trouver un �noc� et une d�monstration.

\tsx Je veux bien donner l'�nonc�

\ENC{\Thm  TTh�or�me des gendarmes en l'infini}{Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions et $\ell$ et $A$ deux  r�els.

Si $\Lim{+\infty}g(x)=\Lim{+\infty}h(x)=\ell$ et que $g(x)\ie f(x)\ie h(x)$ pour tout $x\se A$, alors $\Lim{+\infty}f(x)=\ell$}


\pro La d�monstration se d�duit du dessin : on fixe un r�el $\e>0$ quelconque. 

Comme $\Lim{+\infty}g(x)=\ell$, il existe un r�el $A_g$ tel que, pour tout $x>A_g$ on a $g(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$, i.e. $\ell-\e<g(x)<\ell+\e$ 

Comme $\Lim{+\infty}h(x)=\ell$, il existe un r�el $A_h$ tel que, pour tout $x>A_h$ on a $h(x)\in]\ell-\e,\ell+\e[$, i.e. $\ell-\e<h(x)<\ell+\e$

Soit $M$ le plus grand des r�els $A_g$, $A_h$ et $A$, alors on on a simultan�ment pour tout $x>M$  $$\ell-\e<g(x)\ie f(x)\ie h(x)<\ell+\e$$ ce qui traduit que $\Lim{+\infty}f(x)=+\infty$.



\medskip 

On admettra en terminale que ce th�or�me s'applique aussi pour des limites en des valeurs finies (il suffirait pour le prouver de conna�tre les d�finitions des limites en des valeurs finies)

\ENC{\Thm  TTh�or�me des gendarmes}{Soient $f$, $g$ et $h$ des fonctions, $\ell$ et $A$ deux  r�els et $\omega$ un r�el ou l'infini.

Si $\Lim{\omega}g(x)=\Lim{\omega}h(x)=\ell$ et que $g(x)\ie f(x)\ie h(x)$ pour tout $x\se A$, alors $\Lim{\omega}f(x)=\ell$}



Par exemple, nous pouvons maintenant �tudier la limite de $f~:~x\mapsto \fr{\sin x}{x}$ en $+\infty$.

En effet, vous savez que, pour tout $x\in\bbr$, on a $-1\ie\sin x\ie 1$. Pour $x>0$, on obtient donc $$-\fr{1}{x}\ie\fr{\sin x}{x}\ie\fr{1}{x}$$
Or $\Lim{+\infty}-\fr{1}{x}=\Lim{+\infty}\fr{1}{x}=0$, donc, d'apr�s le th�or�me des gendarmes on obtient 
$$\Lim{+\infty}\fr{\sin x}{x}=0$$

\SUBSECTION{Op�rations sur les limites}

\pro Il suffit d'ouvrir votre livre � la page 20 : toutes ces propri�t�s sont admises m�me si elles sont d�montrables � l'aide des d�finitions.


\SUBSECTION{Limites de fonctions compos�es}

\pro J'esp�re que vous �tes � l'aise dans la composition - d�composition de fonctions. Par exemple, pouvez-vous d�composer la fonction $\f~:~ x\mapsto \sqrt{-3x+1}$ en deux fonctions �l�mentaires ?

\tsx J'y arrive encore $$x\xrightarrow{t\mapsto  -3t+1}-3x+1\xrightarrow{t\mapsto\sqrt{t}}\sqrt{-3x+1}$$

\definecolor{vert}{rgb}{0,0.392193,0}

\pro Bien. supposons maintenant que vous vouliez �tudier la limite de $\f$ en $-\infty$. Nous allons �tre amen�s � d�composer le calcul de limite. Pour nous guider, nous aurons besoin de la propri�t� (admise) suivante :

\ENC{\Prop}{Soient $\omega$, $\Omega$ et $\ell$ des r�els ou l'infini et $f$ et $g$ deux fonctions, alors
$$ \left.\begin{array}{l} \Lim{\textcolor{red}{\omega}}f(x)=\textcolor{magenta}{\Omega}\\ \ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{\Omega}}g(T)=\textcolor{vert}{\ell}\end{array}\right\rbrace\Longrightarrow\Lim{\textcolor{red}{\omega}}g\circ f(x)=\textcolor{vert}{\ell}$$}


Appliquez cette propri�t� au cas �tudi�.

\tsx Avec les couleurs, cela donne
$$ \left.\begin{array}{l} \Lim{\textcolor{red}{-\infty}}-3x+1=\textcolor{magenta}{+\infty}\\ \ds\lim_{T\to\textcolor{magenta}{+\infty}}\sqrt{T}=\textcolor{vert}{+\infty}\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par composition}}{\Longrightarrow}\Lim{\textcolor{red}{-\infty}}\f(x)=\textcolor{vert}{+\infty}$$

\SECTION{COMPORTEMENT ASYMPTOTIQUE}{Comportement asymptotique}

\SUBSECTION{Comment d�montrer qu'une courbe admet une asymptote au voisinage de l'infini~?}

\pro Le mot asymptote �voque s�rement quelque chose pour vous.


\tsx C'est quand la courbe ressemble � une droite et il y a un rapport avec les limites, mais j'avoue avoir quelque peu oubli� le reste.


\pro Et bien reprenons depuis le d�but. Et pour commencer, bien s�r, un petit dessin. 


\des{limfonc.11}{8}


Pour traduire num�riquement le fait que la courbe vient <<~se coucher~>> sur la droite, il faudrait mettre en �vidence que $e(x)$ devient de plus en plus petit � mesure que $x$ augmente.

\tsx \c Ca sent la limite : il doit falloir dire que $\Lim{+\infty}e(x)=0$

\pro Exactement. Or $e(x)=f(x)-(ax+b)$, donc


\ENC{\Thm}{La courbe d'�quation $y=f(x)$ admet la droite d'�quation $y=ax+b$ comme asymptote au voisinage de $+\infty$ si et seulement si $$\Lim{+\infty}\cro{f(x)-(ax+b)}=0$$}

On obtient un th�or�me similaire en $-\infty$.  



\SUBSECTION{Si $\Lim{+\infty}=+\infty$, alors $\CR_f$ admet -elle
forc�ment une asymptote au voisinage de $+\infty$~?}

\MATA{ Je sens le pi�ge} \textbf{(tout haut)} Non, bien s�r !

\pro Alors, donnez-moi un contre-exemple.

\MAT{ Si j'ai bien compris, la courbe doit <<~ressembler~>> � une
droite au voisinage de l'infini, or une droite est la
repr�sentation graphique d'une fonction affine. Ainsi, pour que la
courbe admette une asymptote en l'infini, il faut qu'elle soit la
repr�sentation d'une fonction du style
$$x\mapsto ax+b+e(x)$$
avec $e(x)$ qui tend vers 0 en l'infini, c'est � dire une partie
affine plus une partie qui compte pour du beurre.}

\pro Votre esprit d'analyse m'impressionne, mais vous ne m'avez
pas donn� de contre-exemple.

\MAT{ Il suffit de prendre une partie non affine plus un bout
n�gligeable. Disons $x\mapsto x^2+1/x$. Je rentre �galement la
courbe d'�quation $y=x^2$ et j'obtiens sur l'�cran de ma calto :

\bigskip

\includegraphics{/home/moi/ts/ts/tsx2.4}

\bigskip}

\pro Vous obtenez ce que vous appellerez peut-�tre un jour une
branche parabolique. Mais il existe des comportements beaucoup plus
irr�guliers. N�anmoins vous avez bien compris que l'on peut
reconna�tre des termes dominants dans une expression. Attention,
c'est un probl�me local. Dans votre exemple, $x^2$ est dominant en
$+\infty$, mais au voisinage de z�ro, c'est $1/x$ qui domine.

\MATA{�a va, j'ai compris : global vs local. Il commence �
radoter.}

\pro Il ne vous reste plus qu'� vous entra�ner sur une petite
centaine d'exercices pendant ma pause m�ditation. Que la force
soit avec vous~!


\SUBSECTION{Dominants et domin�s}

\tsx Votre intitul� fait un peu peur.

\pro \'Evitons tout anthropomorphisme et contentons-nous de flotter dans l'�ther math�matique.

Comme nous venons de le remarquer, il faudra cette ann�e le plus souvent rep�rer � l'\oe il nu la limite en rep�rant les dominants et les domin�s. Dans l'exemple pr�c�dant, $1/x$ �tait le terme dominant et $x^2$ le terme domin� au voisinage de 0, donc c'est $1/x$ qui <<~portera~>> la limite. Mais au voisinage de l'infini, les r�les s'�changent. 


C'est parfois moins visible.

Prenez par exemple $3x^2-132x+27$ au voisinage de $+\infty$. Nous sommes confront�s � une forme ind�termin�e $\infty-\infty$. Mais fermez les yeux et regardez les graphes des fonctions $x\mapsto x$ et $x\mapsto x^2$ :vous voyez bien que $x^2$ est bien plus fort que $x$ au voisinage de l'infini, et donc que c'est $x^2$ qui porte la limite qui sera donc $+\infty$.


\tsx Je pourrai �crire �a sur mes copies ?

\pro Et non : ce n'est qu'un support � l'intuition, qui peut parfois �tre dangereuse comme nous le verrons dans les <<~ vrai ou faux~>>. Pour le prouver par le calcul, on peut par exemple mettre le plus fort en facteur :

Pour tout $x\neq 0$, $3x^2-132x+27=x^2\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}$

Or $$\left.\begin{array}{r}\left.\begin{array}{l}\Lim{+\infty}\fr{132}{x}=0\\\Lim{+\infty}\fr{27}{x^2}=0\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par somme}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}\pa{3-\fr{132}{x}+\fr{27}{x^2}}=3\\\Lim{+\infty}x^2=+\infty\end{array}\right\rbrace\stackrel{\text{par produit}}{\Longrightarrow}\Lim{+\infty}3x^2-132x+27=+\infty$$


\break




\SECTION{CROYABLE MAIS FAUX !}{Croyable mais faux !}

Math�mator combat les id�es re�ues sur les limites : une interview
exclusive.

\sm

\tsx Est-il vrai qu'une fonction strictement croissante tend
forc�ment vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$~?

\pro On pourrait le penser en effet : une fonction qui ne fait que
cro�tre va forc�ment monter vers $+\infty$. Et pourtant c'est
FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.


\sm

\tsx Est-il vrai qu'une fonction qui tend vers $+\infty$ quand $x$ tend vers $+\infty$ est
forc�ment croissante pour $x$ assez grand~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisqu'il faut aller vers
l'infini et au-del�, il va bien falloir monter sans s'arr�ter. Et
pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.

\sm


%Consid�rez par exemple la suite de la berg�re allant au march� de
%terme g�n�ral $u_n=n+(-1)^{n+1}+1$.

\tsx Est-il vrai qu'une fonction born�e tend forc�ment vers un
r�el en $+\infty$~?

\pro On pourrait le penser en effet : puisque la fonction est born�e,
elle ne pourra aller vers l'infini, donc il faut qu'elle se
stabilise quelque part. Et pourtant c'est FAUX~!

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.

\sm


%Consid�rez par exemple les suites de termes g�n�raux
%$u_n=(-323)^n$ et $v_n=\sin n$.

%\tsx Est-il vrai qu'une suite ne prenant qu'un nombre fini de
%valeurs converge forc�ment~?

%\pro On pourrait le penser en effet : puisque la suite ne prend
%qu'un nombre fini de valeurs, elle va se stabiliser sur l'une
%d'elle. Et pourtant c'est FAUX~!
\tsx Est-il vrai qu'une fonction tendant vers $M$ en $+\infty$ est major�e par $M$

\pro J'avoue que c'est difficile � croire, et pourtant la moiti� des �l�ves sont tomb�s dans le panneau lors de l'�preuve du bac 2003.

Je vous laisse trouver un \textit{contre-exemple}.


\sm
\SECTION{EXERCICES}{Exercices}

\SUBSECTION{Avec les d�finitions}

\exo On consid�re la fonction $f$ d�finie sur $]0,+\infty[$ par
$f(x)=\fr{2x^2+1}{x^2}$

\been

 \item Donner des valeurs approch�es �  $10^{-3}$ pr�s de $f(1)$,
 $f(32)$, $f(320)$ et $f(3232)$.



\item Observer la repr�sentation graphique de $f$ donn�e par une
calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur
la limite de $f$ en $+\infty$ ?

\item On consid�re l'intervalle ouvert de centre 2 et de rayon
0,01 , c'est-�-dire $]1,99 ; 2,01[$ .

 D�montrer que pour $x > 10$ ,
$f(x)\in ]1,99 ; 2,01[$ (On pourra �crire $f(x)$ sous la forme
$f(x)=2+1/x^2$ )

\item On consid�re l'intervalle $]2-r, 2+r[$ avec $r>0$.


Montrer que pour $x$ sup�rieur � un certain $x_0$ � d�terminer en
fonction de $r$ , tous les $f(x)$ appartiennent � l'intervalle
$]2-r,2+r[$.

 \item D�montrer que $\Lim{+\infty} f(x)=2$


\een


 \exo

On consid�re la fonction $g$ d�finie sur $\bbr$ par $3x^3+x^2$

\been

\item Donner les valeurs de $g(32)$, $g(320)$ et $g(3232)$.

\item Observer la repr�sentation graphique de $g$ donn�e par une
calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur
la limite de $g$ en $+\infty$ ?

 \item On consid�re l'intervalle $]100; +\infty[$ . D�montrer que pour $x > 10$, $f(x)\in\ ]100,+\infty[$.

 \item On consid�re un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 0. Montrer que
pour $x$ sup�rieur � $\sqrt{A}$ , tous les $f(x)$ appartiennent �
l'intervalle $]A ; +\infty[$ .


\een


\exo

Soit $h$ d�finie sur $\bbr$ par $h(x)=-2x+3$

D�montrez que $\Lim{+\infty}f(x)=-\infty$


 \exo

On consid�re la fonction $h$ d�finie sur $]1,+\infty[$ par
$h(x)=2+\fr{3}{(x-1)^2}$

\been

\item Justifiez que $h$ est bien d�finie sur 
$]1,+\infty[$.

\item Observer la repr�sentation graphique de $h$ donn�e par une
calculatrice ou un ordinateur. Quelle conjecture peut-on faire sur
la limite de $h$ en $1$ ?

 \item On consid�re l'intervalle $]1000; +\infty[$ . Donnez une condition suffisante portant sur $x$ pour que  $h(x)\in\ ]1000,+\infty[$.

 \item On consid�re un intervalle $]A,+\infty[$ , avec A > 2.  Donnez une condition suffisante portant sur $x$ pour que  $h(x)\in ]A ; +\infty[$ .

\item Justifiez que $\Lim{1} h(x)=+\infty$.


\een



\SUBSECTION{Avec les th�or�mes}

\exot{Limite en z�ro}

Soit $f~:~x\mapsto \fr{|x|}{x}$. \'Etudiez sa limite en z�ro.

\exot{De la g�om�trie pour calculer une limite}

Voici une premi�re m�thode de calcul de $\Lim{0}\fr{\sin x}{x}$.
Pourquoi suffit-il d'�tudier la limite pour des valeurs de $x>0$ ?

\des{limfonc.12}{5}

Utilisez la figure pour obtenir que, pour tout $x\in]0,\pi/2[$, $$\sin x<x<\tan x$$

D�duisez-en un encadrement de $\fr{\sin x}{x}$ pour tout $x\in]0,\pi/2[$ et concluez apr�s avoir �tudi� la parit� de la fonction.

\exot{Limites trigonom�triques}

En supposant connu le r�sultat de l'exercice pr�c�dent, calculez $\Lim{0}\fr{\tan x}{x}$ et $\Lim{0}\fr{1-\cos x}{x^2}$

\env{Pour la 2�me, utilisez la formule bien connue $\cos(2a)=1-2\sin^2(a)$}

\exot{Limite et radicaux}

Calculez $\Lim{0}\fr{\sqrt{1+x}-1}{x} \qquad \Lim{+\infty}\pa{\sqrt{x^2+1}-x} \qquad \Lim{0}\fr{x^2}{1-\sqrt{1-x^2}}$



\SUBSECTION{\`A la d�couverte du logiciel XCAS}

Le logiciel XCAS va �tre notre compagnon tout au long de l'ann�e. Il a l'avantage de renfermer un logiciel de calcul formel, un tableur facilement programmable, un logiciel de g�ometrie int�ractive, et j'en passe et des meilleures, et tout �a gratuitement, c'est � dire que vous allez vous empresser de le t�l�charger (et oui, un ordinateur ne sert pas seulement de super play station) � l'adresse suivante
\begin{center}
\texttt{http://www-fourier.ujf-grenoble.fr/\%7Eparisse/irem.html}
\end{center}

Nous allons tout d'abord reprendre l'exercice 1.

On tape 

\cas{f:=x->(2*x\p 2+1)/x\p 2}

On obtient ensuite les valeurs particuli�res demand�es

\cas{f(1)}
\cas{f(32)}

Pour obtenir une valeur approch�e, on tape

\cas{evalf(f(32))}

Pour obtenir le graphique, 

\cas{plot(f(x))}

Pour obtenir le graphe seul, on clique sur geo jaune. Pour obtenir simultan�ment l'historique et le graphe, on clique sur le menu Edit - fen�tres - 2 fen�tres.

Pour obtenir un tableau de valeurs, on clique sur \texttt{mtrw}

Pour obtenir un tableau avec un pas de 1, on tape \texttt{1} en A0 puis \texttt{=A0+1} en A1 puis on clique sur \texttt{remplir} - \texttt{vers le bas}.

 En B0, on tape \texttt{=f(A0)} et on �tire pour avoir les valeurs exactes.

En C0, on tape \texttt{=evalf(B0)} pour avoir les valeurs approch�es.

On tape \cas{limit(f(x),x,+infinity)} pour calculer la limite


Nous verrons bien d'autres applications. Nous apprendrons notamment � programmer XCAS pour ne pas s'en servir seulement comme une super calculatrice.




\SUBSECTION{De l'autre c�t� du miroir...}

\exot{\'Etude exp�rimentale des branches infinies}
On vous donnera g�n�ralement cette ann�e une �quation de l'asymptote et il vous suffira de v�rifier qu'il s'agit bien d'une asymptote � l'aide d'un calcul de limite.

Mais comment obtient-on cette �quation : c'est l'objet de cet exercice.

\medskip

Comme l'a dit T�hessin, on obtiendra une asymptote au voisinage de l'infini si $f(x)$ peut s'�crire sous la forme

$$f(x)=ax+b+e(x)\qquad \text{avec}\quad \Lim{\infty}e(x)=0$$

mais comment trouver $a$ et $b$ s'ils existent ?

\been

\item Que pensez-vous de $\Lim{\infty}\fr{f(x)}{x}$ ?

\item Que pensez-vous de $\Lim{\infty}\pa{f(x)-ax}$ ?

\item \'Etudiez les branches infinies des courbes dont on donne une �quation. Donnez une �quation des asymptotes lorsqu'elles existent.

\been
\item $y=\fr{x^2-x+2}{x-2}$
\item $y=\fr{x^3}{x-1}$
\item $y=\sqrt{x^2+x+1}$
\item $y=x+\sqrt{x^2-1}$
\item $y=\fr{\sin x}{x}$
\item $y=2x-\cos x$
\een
\een

\exot{D�veloppements limit�s}

\textbf{Pr�ambule} : Nous n'allons bien s�r pas nous lancer dans la th�orie des d�veloppements limit�s que vous d�couvrirez l'an prochain. Nous allons juste jeter un petit coup d'\oe il exp�rimental sur une notion fondamentale de l'analyse : comment <<~approcher~>> localement des fonctions compliqu�es par des polyn�mes.

Nous aurons besoin d'un r�sultat <<~�l�mentaire~>> sur les limites qui constitue une application directe de la d�finition de la limite en un r�el et qui se comprend assez bien
$$\text{Si } \ \Lim{0}\fr{f}{g}=1\quad \text{et si }g \text{ est born�e au voisinage de 0, alors }\quad \Lim{0}\fr{f-g}{g}=0$$
Nous admettrons ce r�sultat.


\been
\item En utilisant les r�sultats des exercices 6 et 7, montrez que, au voisinage de 0, on a les r�sulats suivant avec $\Lim{0} e(x)=0$

\bel
\item $\sin x=x+x\cdot e(x)$
\item $\cos x=1-\fr{x^2}{2}+x^2\cdot e(x)$
\item $\tan x=x+x\cdot e(x)$
\item $\sqrt{1+x}=1+\fr{x}{2}+x\cdot e(x)$
\el

\item Sur XCAS ou votre calculatrice, tapez 

\cas{plot([x,sin(x)],color=[red,green])}

Regardez ce qui se passe pour $x\in[-1/2,1/2]$ puis sur $[-10,10]$. Faites de m�me pour les autres fonctions. Qu'en pensez-vous ?

\item Toujours plus fort : calculez $\Lim{0}\fr{\sqrt{1+x}-(1+x/2)}{x^2}$. D�duisez-en que $$\sqrt{1+x}=1+\fr{x}{2}-\fr{x^2}{8}+x^2\cdot e(x)$$
Observez alors le graphique 

\cas{plot([sqrt(1+x),1+0.5*x,1+0.5*x-0.125*x\p2],color=[red,blue,green])}

Commentaires ?
 
\item Avec deux chapitres d'avance, parlons tangente : donnez une �quation de la tangente � la courbe d'�quation $y=\sqrt{1+x}$ au point d'abscisse 0. Des remarques ?

Quelle est la position de la courbe par rapport � la tangente ? Des remarques ? 

\een


\end{document}