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\newcommand\nand{\mid}


\newcommand\blanc{ \square{} }



\newcommand\vide{\mathds{1}}



\newtheorem{exercice}{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}


\graphicspath{{/home/moi/Lycee/TDmaple/2006_7/}{/home/moi/Figures/Arbres_Graphes/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigMaple/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSTI/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Lycee/Informatique/XCAS/2008_9/}{/home/moi/Lycee/TDmaple/2008_9/}{/home/moi/IUT/Thierry/Conversions/}{/home/moi/Photos/informathix/}{/home/moi/Lycee/Informatique/PafAlgo/}}




\lstset{numbers=none,language=caml,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\small\color{blue!40}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\small\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape\color{black!50!white},breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!90!blue},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}



\DeclareMathOperator*{\boxsum}{\raisebox{-0.6ex}{\scalebox{2.5}{$\boxplus$}}}





\setcounter{tocdepth}{2} %\setcounter{page}{0}


\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}


\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}



\begin{document}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Mathématiques discrètes VI \\ Calcul matriciel}

\subtitle{INFO2 - Semaines 43 à 2}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{\textsc{IUT} de Nantes - Dpt d'informatique }% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[scale=0.15]{logo_iut}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{Dernière mise à jour: \today}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

\AtBeginSubsubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}




\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}







\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}
\section{Histoire}


 \begin{frame}
   
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=0.7\linewidth]{fang_cheng_noir}
\end{center}
%\end{figure}

 \end{frame}



 \begin{frame}
   
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=\textheight]{leibniz2}
\end{center}
%\end{figure}

 \end{frame}


 \begin{frame}
   
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{cramer}
\end{center}
%\end{figure}

 \end{frame}



 \begin{frame}
   
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{gauss}
\end{center}
%\end{figure}

 \end{frame}





 \begin{frame}
   
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=0.7\textheight]{jordan2}
\end{center}
%\end{figure}

 \end{frame}


 \begin{frame}
   
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=\textheight]{sylvester}
\end{center}
%\end{figure}

 \end{frame}

 \begin{frame}
   
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=\textheight]{cayley}
\end{center}
%\end{figure}

 \end{frame}










\section{Vecteur et anneau}


  


\begin{frame}

Nous  appellerons \textit{vecteur}  une liste  d'éléments  d'un ensemble
$\bba$. Cet  ensemble  $\bba$  est   muni  de  deux  opérations,  $\boxplus$  et
$\boxdot$, qui lui confèrent une structure d'\textbf{anneau}:

\pause

\begin{itemize}
\item $(\bba,\boxplus)$ a une structure de groupe commutatif;
\item $(\bba,\boxdot)$ a une structure de monoïde;
\item $\boxdot$ est distributive sur $\boxplus$.
\end{itemize}


\pause

On désigne souvent  par $0_{\bba}$ l'élément neutre de  $\boxplus$ et par
$1_{\bba}$ l'élément neutre de $\boxdot$.

\pause

$(\bba,\boxdot)$ n'étant pas forcément  un groupe, tout le monde n'admet
pas forcément un inverse par $\boxdot$. 

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{exercice}
    Quels sont les éléments inversibles de $(\bbz,\cdot)$?
  \end{exercice}
\end{frame}









\begin{frame}[fragile]



\begin{lstlisting}[caption={}]
type 'a anneau =
  {zero      : 'a;
   un        : 'a;
   som       : 'a -> 'a -> 'a;
   prod      : 'a -> 'a -> 'a;
   sous      : 'a -> 'a -> 'a;
   div       : 'a -> 'a -> 'a;
   to_string : 'a -> string;
   egal      : 'a -> 'a -> bool;
   ordre     : 'a -> 'a -> bool;
  };;
\end{lstlisting}
  
\end{frame}




\begin{frame}[fragile]
  \begin{lstlisting}[caption={}]
let reel =
  {zero      = 0.;
   un        = 1.;
   som       = ( +. );
   prod      = ( *. );
   sous      = ( -. );
   to_string = string_of_float;
   div       = ( /. );
   egal      = (=);
   ordre     = (>=);
  };;
  \end{lstlisting}
\end{frame}


\begin{frame}

On notera $\bba^p$ l'ensemble des vecteurs à coefficients dans $\bba$ de
\textit{taille} $p$.

\end{frame}



\begin{frame}


On notera $\bba^p$ l'ensemble des vecteurs à coefficients dans $\bba$ de
\textit{taille} $p$.


\pause

$$u\boxplus v=[a_1\boxplus b_1,a_2\boxplus b_2,...,a_n\boxplus b_n]$$

\pause

$$k u =[k\boxdot a_1,k \boxdot a_2,...,k\boxdot a_p]$$


\pause

$$u\boxdot v = [a_1\boxdot b_1,a_2 \boxdot b_2,...,a_p\boxdot b_p]$$




\end{frame}






\begin{frame}[fragile]

\begin{verbatim}
val map : ('a -> 'b) -> 'a list -> 'b list
     List.map f [a1; ...; an] applies function f to a1, ..., an,
     and builds the list [f a1; ...; f an] with the results 
     returned by f. Not tail-recursive.

val mapi : (int -> 'a -> 'b) -> 'a list -> 'b list
     Same as List.map, but the function is applied to the index of 
     the element as first argument (counting from 0), and the element 
     itself as second argument. Not tail-recursive.
\end{verbatim}

\pause



\begin{lstlisting}[caption={}]
let map_vec = fun op vec ->
  map (fun x -> op x) vec;;

let vecs_op = fun op v1 v2 ->
    mapi ( fun i x -> op (nth v1 i) x ) v2;;
\end{lstlisting}


  
\end{frame}


\subsection{Matrice}



\begin{frame}


 $\bba^{n\times p}$: ensemble des matrices de $n$
lignes et $p$ colonnes à coefficients dans $\bba$. 

\pause

$$
\bordermatrix{
  &        &        &        &  j     &        &        \cr
  & a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,j} & \cdots & a_{1,p} \cr
  & \vdots & \vdots &        & \vdots &        &  \vdots \cr
i & a_{i,1} & a_{i,2} & \cdots & a_{i,j} & \cdots & a_{i,p} \cr
  & \vdots & \vdots &        & \vdots &        &  \vdots \cr
  & a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,j} & \cdots & a_{n,p} \cr
}
$$
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]

  \begin{lstlisting}[caption={}]
let mats_op = fun op m1 m2 ->
  vecs_op (vecs_op op) m1 m2;;

let rec make_vec long x =
  match long with
  |0 -> []
  |_ -> x::(make_vec (long-1) x);;

let rec make_mat row col x =
  match row with
  |0 -> []
  |_ -> (make_vec col x)::(make_mat (row -1) col x);;
  \end{lstlisting}
  
\end{frame}



\subsection{Opérations sur les matrices}




\begin{frame}
$$S_{ij} = A_{ij}\boxplus N_{ij}$$


\pause

$$P_{ij} = k\boxdot M_{ij}$$



\end{frame}

\begin{frame}
  $$p_{ij}=\displaystyle\boxsum_{k=1}^{m}a_{ik}\boxdot b_{kj}$$
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
  \scriptsize
\newcommand\myunit{0.8cm}

\begin{center}
\begin{tikzpicture}[>=latex]
% unit

% the styles
\tikzset{node style sp/.style={draw,circle,minimum size=\myunit}}  
\tikzset{node style ge/.style={circle,minimum size=\myunit}}
\tikzset{arrow style mul/.style={draw,sloped,midway,fill=white}}
\tikzset{arrow style plus/.style={midway,sloped,fill=white}}
% defintion of matrices
\matrix (A) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (0,0)
{%
  a_{11} & a_{12}  & a_{13}  \\ 
  \node[node style sp] {a_{21}};& \node[node style sp] {a_{22}};& \node[node style sp] {a_{23}}; \\ 
  a_{31}& a_{32} & a_{33} \\ 
   a_{41}& a_{42}  & a_{43}  \\ 
}; 
\node [draw,below] at (A.south) { $A$ : \textcolor{yellow}{$4$ lignes} $3$ colonnes};
\matrix (B) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter =)] at (5*\myunit,5*\myunit)
{% 
  b_{11} & \node[node style sp] {b_{12}};& b_{13} & b_{14} & b_{15}\\ 
  b_{21} & \node[node style sp] {b_{22}}; & b_{23}& b_{24} & b_{25} \\ 
  b_{31} & \node[node style sp] {b_{32}}; & b_{33} & b_{34} & b_{35} \\ 
};
\node [draw,above] at (B.north) { $B$ : $3$ lignes \textcolor{yellow}{$5$ colonnes}}; 
% matrice résultat
\matrix (C) [matrix of math nodes,%
             nodes = {node style ge},%
             left delimiter  = (,%
             right delimiter = )] at (5*\myunit,0)
{% 
  p_{11} & p_{12} & p_{13} & p_{14} & p_{15}\\ 
  p_{21}&  \node[node style sp,yellow] {p_{22}};& p_{23} & p_{24} & p_{25}\\ 
  p_{31}& p_{32} & p_{33} & p_{34} & p_{35}\\ 
  p_{41}&  p_{42} &  p_{43} & p_{44} & p_{45}\\
}; 
\node [draw,below] at (C.south) {$ P=A\times B$ : \textcolor{yellow}{$4$ lignes}  \textcolor{yellow}{$5$ colonnes}};
% arrows
\draw[blue!50] (A-2-1.north) -- (C-2-2.north);
\draw[blue!50] (A-2-1.south) -- (C-2-2.south);
\draw[blue!50] (B-1-2.west)  -- (C-2-2.west);
\draw[blue!50] (B-1-2.east)  -- (C-2-2.east);
 \draw[<->,yellow](A-2-1) to[in=180,out=90] (B-1-2);%
%       node[arrow style mul] (x) {$a_{21}\times b_{12}$};
 \draw[<->,yellow](A-2-2) to[in=180,out=90](B-2-2);%
%       node[arrow style mul] (y) {$a_{22}\times b_{22}$};
 \draw[<->,yellow](A-2-3) to[in=180,out=90](B-3-2);%
%       node[arrow style mul] (z) {$a_{23}\times b_{32}$};
% \draw[yellow,->] (x) to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (y)%
%                   to node[arrow style plus] {${\Large +}$} (z);
%                   %
%                   % to (C-3-3.north west);
% \draw[->,yellow,decorate,decoration=zigzag] (z) -- (C-2-2.north west);
\end{tikzpicture} 
\end{center}

\end{frame}







\begin{frame}[fragile]


\begin{lstlisting}[caption={}]
# let a = [[1;2;3];[4;5;6]];;
val a : int list list = [[1; 2; 3]; [4; 5; 6]]
# printm entier a;;
 |     1      2      3  | 
 |     4      5      6  | 

# let b = [[0;10;20;30];[-10;0;10;20];[-20;-10;0;10]];;
val b : int list list =
  [[0; 10; 20; 30]; [-10; 0; 10; 20]; [-20; -10; 0; 10]]
# printm entier b;;
 |     0     10     20     30  | 
 |   -10      0     10     20  | 
 |   -20    -10      0     10  | 

# printm entier (prod_mat entier a b);;
 |   -80    -20     40    100  | 
 |  -170    -20    130    280  | 
\end{lstlisting}

  
\end{frame}







\begin{frame}
  \begin{exercice}
     Montrez que $(\bba^{n\times n},+,\times)$ est un anneau. Est-il commutatif? 

On notera $\bbi_n$ l'élément neutre de $(\bba^{n\times n},\times)$: quelle est sa tête?
  \end{exercice}
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
 
$$T_{ij}=A_{ji}$$


\pause


\begin{lstlisting}[caption={}]
# printm entier a;;
 |     1      2      3  | 
 |     4      5      6  | 
- : unit = ()
# printm entier (transpose a);;
 |     1      4  | 
 |     2      5  | 
 |     3      6  | 
- : unit = ()
\end{lstlisting}



\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{exercice}
      Démontrez que $\tr (A\times B) = \tr A \times \tr B$.
  \end{exercice}
\end{frame}










\subsection{Matrice carrée inversible}



\begin{frame}
$$M\times N = N \times M = \bbi_n$$

\pause

$$N=M^{-1}$$



\begin{exercice}
  Si   A  et  B  sont  régulières   et  de  taille  $n$,
  alors comment calculer  $(A\times B)^{-1}$ à partir des  inverses de A
  te B?
\end{exercice}


\end{frame}





\subsection{Opérations sur les lignes}




\begin{frame}[fragile] \frametitle{Matrices élémentaires}
   $E_n^{ij}$ la  matrice carrée de  $\bba^{n\times n}$
dont tous  les coefficients  sont nuls sauf  le coefficient  $(i,j)$ qui
vaut $1_{\bba}$.

\medskip

\pause

$E_3^{12}=\left(
\begin{smallmatrix}
  0&1&0\\
  0&0&0\\
  0&0&0\\
\end{smallmatrix}\right)
$ dans $\bbz^{3\times 3}$.


\medskip



\pause


\begin{lstlisting}[caption={}]
# printm entier (elem entier 2 3 4);;
 |     0      0      0      0  | 
 |     0      0      0      0  | 
 |     0      0      0      1  | 
 |     0      0      0      0  | 
\end{lstlisting}


\end{frame}


\begin{frame}

  \begin{center}
     \includegraphics[height=0.3\textheight]{kronecker}
  \end{center}

\pause

  \begin{center}
     \og \textit{Die ganzen Zahlen
hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk}\fg{}
  \end{center}

\pause


 $$\delta\colon\begin{array}{rll} \bbn\times\bbn  &\to & \bigl\{0;1\bigr\}
\\ (i,j) & \mapsto & 1 \text{ si } i=j, \ 0 \text{ sinon}\end{array}$$




\pause


$$\bbi_n=(\delta_{ij})_{\substack{1  \leqslant i  \leqslant n\\ 1  \leqslant j
\leqslant n}}$$


\end{frame}




\begin{frame}
  \begin{exercice}
     Étudiez le  produit $E_n^{ij}\times E_n^{\ell k}$ et  exprimez-le à l'aide
  du symbole de \textsc{Kronecker}.


\pause

Simplifiez ensuite  le produit $(\bbi_n+\lambda E_n^{ij})\times(\bbi_n-\lambda E_n^{ij})$:
qu'en concluez-vous?
  \end{exercice}
\end{frame}







\begin{frame} \frametitle{Transvections de lignes}
  
$$T^{ij}_\lambda \colon\begin{array}{rll}\bba^{n\times p} &\to &\bba^{n\times p}
\\ M & \mapsto & (\bbi_n+\lambda E_n^{ij})\times M \end{array}$$


\pause


\begin{exercice}
  
Calculez par exemple l'image par $T_\lambda ^{23}$ de $\left(
\begin{smallmatrix}
  a_1&b_1&c_1&d_1\\
  a_2&b_2&c_2&d_2\\
  a_3&b_3&c_3&d_3\\
\end{smallmatrix}\right)$
\end{exercice}

\pause


$$L_i  \leftarrow
L_i\boxplus (\lambda \boxdot L_j)$$



\pause



$$(\bbi_n+\lambda E_n^{ij})^{-1} = \bbi_n-\lambda E_n^{ij}$$

\end{frame}



\begin{frame}[fragile]



\begin{lstlisting}[caption={}]
# printm entier (transvec entier 0 3 (-2) (unite entier 4));;
\end{lstlisting}

\pause


\begin{lstlisting}[caption={}]
 |     1      0      0     -2  | 
 |     0      1      0      0  | 
 |     0      0      1      0  | 
 |     0      0      0      1  | 
\end{lstlisting}

  
\end{frame}



\begin{frame}[fragile]\frametitle{Dilatations de lignes}
$$L_i\leftarrow \lambda \boxdot  L_i$$

\pause

$$\Delta_n^{i,\lambda }= \bbi_n+(\lambda \boxplus (-1_{\bba}))E_n^{ii}$$

\pause

$$\Delta_3^{2,\lambda}\times \left(
\begin{smallmatrix}
  a_1&b_1&c_1&d_1\\
  a_2&b_2&c_2&d_2\\
  a_3&b_3&c_3&d_3\\
\end{smallmatrix}\right)$$


\pause


\begin{lstlisting}[caption={}]
# printm entier (dilat entier 1 7 (attila entier (3,4)));;
 |     1      1      1      1  | 
 |     7      7      7      7  | 
 |     1      1      1      1  | 
\end{lstlisting}





\end{frame}







\begin{frame}[fragile] \frametitle{Échange de lignes}

$$S^{ij}_n=\Delta_n^{j,-1_{\bba}}\times
(\bbi_n+E_n^{ij})\times (\bbi_n-E_n^{ji})\times (\bbi_n+E_n^{ij})$$


\pause


\begin{exercice}
   Que vaut  le produit de $S_3^{23}$ par $\left(
\begin{smallmatrix}
  a_1&b_1&c_1&d_1\\
  a_2&b_2&c_2&d_2\\
  a_3&b_3&c_3&d_3\\
\end{smallmatrix}\right)$?
\end{exercice}


\pause

$$L_i\leftrightarrow L_j$$


\pause

\begin{lstlisting}[caption={}]
# printm entier (swap entier 0 1 [[11;12;13];[21;22;23];[31;32;33]]);;
 |    21     22     23  | 
 |    11     12     13  | 
 |    31     32     33  | 
\end{lstlisting}

  
\end{frame}


\subsubsection{Opérations sur les lignes}




\begin{frame}
Une fonction $\varphi$  de $\bba^{n\times p}$
dans  lui-même est  une \textbf{opération  sur les  lignes} si  c'est la
composée finie de transvections et de dilatations de lignes.

\bigskip

$$\varphi : M\mapsto ( F_k \times F_{k-1}\cdots \times F_1)\times M$$


\pause

$$\varphi^{-1}  :  N\mapsto (  F_1^{-1}  \times F_{2}^{-1}\cdots  \times
F_k^{-1})\times N$$


\pause


Inverse de la matrice $\varphi \left( \bbi_{n}\right) $:\pause  $\varphi ^{-1}\left( \bbi_{n}\right)$.



\end{frame}





\begin{frame}

\begin{theorem}
$\varphi $ étant une opération élémentaire sur les lignes,%

$$
M\text{ inversible}\lequiv \varphi (M)\text{ inversible}
$$

\end{theorem}


\pause



\begin{theorem}
Si $\varphi _{1},\varphi _{2},....,\varphi _{k}$ est une suite d'opé%
rations sur les lignes de $M$ qui transforme $M$ en $\bbi_n$ alors $M$ est
inversible et 
$$
M^{-1}=\varphi _{k}(\bbi_n)\times \varphi _{k-1}(\bbi_n)\times ....\times
\varphi _{1}(\bbi_n)=\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ \varphi
_{1}(\bbi_n)
$$
\end{theorem}



\end{frame}





\section{Rang d'une matrice}

\subsection{Matrices ligne-équivalentes}

\begin{frame}
  $$M\overset{\ell}{\equiv }N\lequiv N=\varphi _{k}\circ \varphi _{k-1}\circ ...\circ \varphi_{1}(M)$$

\pause

$$
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
opérations\textbf{\ }$\varphi $ & Partie gauche & Partie droite & 
Remarques \\ \hline
& $M$ & $\bbi_n $ & initialisation du tableau \\ \hline
$\varphi _{1}$ & $M_{1}$ & $R_{1}$ & $M_{1}=\varphi _{1}(M),$ $R_{1}=\varphi
_{1}(\bbi_n )$ \\ \hline
$\varphi _{2}$ & $M_{2}$ & $R_{2}$ & $M_{2}=\varphi _{2}(M_{1}),$ $%
R_{2}=\varphi _{2}(R_{1})$ \\ \hline
$\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
$\varphi _{i}$ & $M_{i}$ & $R_{i}$ & $M_{i}=R_{i}\times M$ \\ \hline
$\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ & $\vdots $ \\ \hline
$\varphi _{k}$ & $N$ & $R$ & $N=R\times M$ \\ \hline
\end{tabular}%
$$



\end{frame}


\subsection{L réduite échelonnée}


\begin{frame}\frametitle{L réduite échelonnée}
  
\begin{enumerate}
\item Toutes les lignes nulles (une ligne est nulle si elle ne comporte que
des zéros) sont au-dessous des lignes non nulles.

\item Dans chaque ligne non nulle le premier élément non nul est $ 1_{\bba}$
(on lit une ligne de la gauche vers la droite), ce $ 1_{\bba}$ est appelé\textbf{ pivot} ou 
élément pivot. La colonne où se trouve ce $ 1_{\bba}$ est appelée
colonne pivot et c'est le seul élément non nul de cette colonne.

\item Si, \textbf{de plus}, les pivots apparaissent en ordre croissant par
numéro de ligne \textbf{et} numéro de colonne, on dit que $M$ est 
\textbf{$\bm \ell$-réduite échelonnée }(en abrégé lré ou LR%
é).
\end{enumerate}
\end{frame}





\begin{frame}
  

\begin{eqnarray*}
&&\left( 
\begin{array}{cccc}
0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 2 & 0 \\ 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 & 3 & -1 \\ 
0 & 0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \text{ est $ \ell$-réduite non échelonnée} \\
&&\left( 
\begin{array}{ccc}
0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& 0 \\ 
0 & 2 & 0 \\ 
0 & 0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}%
\end{array}%
\right) \text{ n'est pas $ \ell$-réduite} \\
&&\left( 
\begin{array}{ccc}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
& -2 & 0 \\ 
0 & 0 & 
\begin{tabular}{|l|}
\hline
1 \\ \hline
\end{tabular}
\\ 
0 & 0 & 0 \\ 
0 & 0 & 0%
\end{array}%
\right) \text{ est $ \ell$-réduite échelonnée}
\end{eqnarray*}
\end{frame}






\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
