

\documentclass[11pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[latin1]{inputenc}          % les bons codes pour les bonnes lettres
\usepackage{listings}% pour les listings informatiques
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage{keystroke}% pour les touches du clavier
\usepackage{amsmath,amsfonts,amsthm,geometry,pst-all}
\usepackage{amssymb}
\geometry{a4paper,left=1cm,right=1cm,top=1cm,bottom=1cm,noheadfoot}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
%\usepackage{yhmath} %pour faire un arc de cercle $\wideparen{AB}$ 
\usepackage{eurosym} % pour avoir le symbole euro \euro
\pagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0cm}
\usepackage{multicol}
\usepackage{slashbox} %pour barrer une cellule d'un tableau
\usepackage{color}
\usepackage{mathrsfs, wasysym} % mathscfs donne accès aux lettres curvilignes
\usepackage{pstricks,pstricks-add,pst-math,pst-xkey} % packages utiles pour le pstricks
\usepackage{multirow,colortbl,tabularx} % packages utilisés dans un tableau (tabular)
\usepackage{array}
\usepackage{calc,fp}

\makeatletter
\define@key[psset]{}{transpalpha}{\pst@checknum{#1}\pstranspalpha}
\psset{transpalpha=1}
\def\psfs@transp{%
  \addto@pscode{/Normal .setblendmode \pstranspalpha .setshapealpha }%
  \psfs@solid}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Ceci sert lorsqu'on remplit une figure géométrique

\newcounter{numero}
\newcommand{\partie}{
\addtocounter{numero}{1}%
\textbf{\psframebox*[fillcolor=black!60]{\textbf{\white Partie \arabic{numero}:}}}\quad}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% incrémente le numéro de la partie

\setlength\leftmargini{0.73cm}
\renewcommand{\labelenumi}{\psframebox*[fillcolor=black!25]{\textbf{\white{\arabic{enumi}.}}}}
\setlength\leftmarginii{0.40cm}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\alph{enumii}.}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% définition des items

\newcounter{degradecadre}
\newcounter{ptinit}
\newcounter{ptfin}
\newcounter{ycadreinit}
\newcounter{ycadrefin}
\newcommand{\cadre}[2]{\begin{pspicture}(0,0)(19,1.4)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\multido{\n=1+1}{2}{
			\FPeval{\degradecadre}{90-\i*4}
			\FPeval{\ptinit}{1.1875*(\i-1)}
			\FPeval{\ptfin}{1.1875*(\i-1)+1.1875}
			\FPeval{\ycadreinit}{(\n-1)*1.4}
			\FPeval{\ycadrefin}{(\n-1)*1.4+0.1}
			\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degradecadre,linestyle=none](\ptinit,\ycadreinit)(\ptfin,\ycadrefin)}}
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!90,linestyle=none](0,0)(0.1,1.4)
	\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!26,linestyle=none](18.9,0)(19,1.4)
	\rput(9.5,1){#1} \rput(9.5,0.4){#2}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% cadre et titre

\newcounter{degrade}
\newcounter{ptdepart}
\newcounter{ptfinal}
\def\lignetirets{\begin{pspicture}(0,0)(19,0.2)
	\multido{\i=1+1}{16}{
		\FPeval{\degrade}{90-\i*4}
		\FPeval{\ptdepart}{1.2*(\i-1)}
		\FPeval{\ptfinal}{1.2*(\i-1)+1}
		\psframe[fillstyle=solid,fillcolor=black!\degrade,linestyle=none](\ptdepart,0)(\ptfinal,0.2)}
\end{pspicture}\par}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ligne tirets

\renewcommand\rmdefault{phv}

\newcommand{\procedure}[3]{
	\setlength{\arrayrulewidth}{1.8pt}
	\begin{tabularx}{#1}[t]{|X}
		\rowcolor[gray]{0.6}
		\textcolor{white}{#2}\\ 
		\cellcolor{gray!20}
		#3\\
	 \hline
	\end{tabularx}
	\setlength{\arrayrulewidth}{0.6pt}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% crée les cadres pour Procédure; en paramètre, on met le texte

\newcommand\R{{\mathbb R}} % les réels
\newcommand\Q{{\mathbb Q}} % les rationnels
\newcommand\Z{{\mathbb Z}} % les entiers relatifs
\newcommand\D{{\mathbb D}} % les décimaux
\newcommand\N{{\mathbb N}} % les entiers naturels
\newcommand\bC{{\mathbb C}} % les complexes
\newcommand\bc{{\mathscr C}} % pour les courbes
\newcommand\Pl{\mathscr{P}} % pour les plans
\newcommand\Oij{$\left(O;~\vec{i},~\vec{j}\right)$} % pour nommer un repère (O;i,j)
\newcommand\cad{c'est-à-dire}
\newcommand\e{\mathrm{e}} %pour écrire correctement le nombre e
\renewcommand\i{\mathrm{i}} %pour écrire correctement le nombre i
\renewcommand\d{\,\text{d}} % pour avoir un d droit dans l'intégrale

\newcommand{\ve}[1]{\overrightarrow{#1}} %pour les vecteurs
\newcommand{\Cnp}[2]{\displaystyle{{#1 \choose #2}}} % pour les p parmi n
\newcommand{\systeme}[2]{\left\{\begin{array}{l}
	#1\\
	#2\\
\end{array}\right.} % pour créer un système de deux équations

\makeatletter
\newlength{\@longarc}
\newcommand{\arc}[1]{\settowidth{\@longarc}{$#1$}
	\addtolength{\@longarc}{-0.2em}
	\unitlength \@longarc
	\ensuremath{
		\stackrel{\begin{picture}(1,0.2)
			\qbezier(0,0)(0.5,0.2)(1,0)
		\end{picture}}
		{#1}
	}}


\newcommand{\ds}{\displaystyle}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%   Pour les listings de code et les réponses du logiciel


\usepackage{bold-extra,fancyvrb}
\usepackage[scaled=0.85]{luximono}
\DefineVerbatimEnvironment{boxedverbatim}{Verbatim}{gobble=2,frame=single,framesep=4mm,label=\textit{\small
    Réponse du logiciel}}

\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}


\lstloadlanguages{XCAS}
\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\bfseries\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\itshape,%\small,
    backgroundcolor=\color{0.9white},breaklines=true}
   

\newcommand\Prog[1]{{\bfseries\ttfamily #1}}

\newcommand{\code}[1]{\texttt{#1}}


% %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% pour créer un arc de cercle
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% Début du document %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%



\begin{document}
\setlength{\unitlength}{1mm}

\cadre{\LARGE \emph{APPROXIMATION D'INTÉGRALES}}{\Large \emph{Méthodes des rectangles et des trapèzes}}



\textbf{Compétences mathématiques\::}\par
	\hspace{1cm}   $\bullet$  Définition  de   l'intégrale  d'une   fonction  continue   sur  un
        segment. Calcul de l'aire d'un rectangle et d'un trapèze, calcul de sommes discrètes...

\textbf{Compétences informatiques\::}\par
	\hspace{1cm}   $\bullet$   Calcul  de   somme.   Tracé   d'approximations  d'aires.   Calcul
        d'intégrale. Valeurs approchées. Procédures élémentaires.



\lignetirets


\partie \textbf{Méthode des rectangles}\\
\procedure{\linewidth}{Le problème}{On cherche à obtenir une approximation de l'aire sous une courbe
  à l'aide de rectangles. On compare avec le résultat exact. On trace la courbe et les rectangles.}

\begin{enumerate}
\item \textbf{ Calcul de $\ds\int_0^1x^2\d x$}\\

  \begin{enumerate}
 
\item Regardez ce qu'affiche~:

\begin{lstlisting}
plotarea(x^2,x=0..1,10,rectangle_droit)
\end{lstlisting}

 \item Calculez «~à la main~» l'aire totale de ces rectangles.

\item Exprimez ce résultat à l'aide du symbole $\ds\sum$.

\item     Vérifiez     votre     résultat     à     l'aide    de     la     fonction     \Prog{XCAS}
  \code{somme(expression(k),k=début..fin)}.

\item Au lieu de s'arrêter à 10, allons voir jusqu'à un \texttt{n} quelconque. Essayez de factoriser
  au maximum l'expression trouvée en ne laissant apparaître que des «~k~» sous le symbole $\ds\sum$.

\item Que vous inspire~:
  \begin{lstlisting}
    S(n):=(1/n^3)*somme(k^2,k=0..n-1);
    simplifier(S(n));
  \end{lstlisting}

\item Calculez la limite de l'expression précédente quand $n$ tend vers $+\infty$~:~des remarques~?

\item Vérifiez votre résultat avec~:
  \begin{lstlisting}
    limite(S(n),n=+infinity)
  \end{lstlisting}

 
  \end{enumerate}

\item \textbf{ Cas général}\\


Nous  voulons que  \Prog{XCAS} nous  affiche les  petits rectangles  avec \code{plotarea}  ainsi que
l'approximation  du calcul  de  la somme  des  aires des  rectangles que  nous  comparerons avec  le
\emph{véritable} résultat.  Pour cela,  nous aurons besoin  de la fonction  \code{evalf(nombre)} qui
donne une approximation d'un nombre et de \code{int(f(x),x=a..b)} qui calcule $\int_a^bf(x)\d x$.


Voici une  procédure qui,  lorsqu'on entre  la fonction à  étudier, le  nombre de  subdivisions, les
bornes de l'intervalle renvoie ce que l'on veut~:

\begin{lstlisting}
aireRec(f,a,b,N):={
print(evalf(somme((b-a)/N*f(a+k*(b-a)/N),k=0..N-1)),evalf(int(f(x),x=a..b)));
plotarea(f(x),x=a..b,N,rectangle_droit)
}:;
\end{lstlisting}


Faites un premier essai~:

\begin{lstlisting}
aireRec(x->x^2,0,1,10)
\end{lstlisting}

puis faites varier le nombre de rectangles~:~100, 10000,...

\end{enumerate}



\partie \textbf{Méthode des trapèzes}\\

\begin{enumerate}
\item Rappelez la formule donnant l'aire d'un trapèze\dots

\item Observez~:

  \begin{lstlisting}
couleur(plotarea(x^3,x=0..1,3,trapeze),vert+rempli),graphe(x^3,x=0..1,color=rouge+epaisseur_ligne_3)    
  \end{lstlisting}
\item Reprenez alors ce qui a été fait avec les rectangles avec cette nouvelle méthode.

\end{enumerate}


\partie \textbf{Comparaison des deux méthodes}\\

Quel nombre bien connu se cache derrière $\ds\int_{-1}^12\sqrt{1-x^2}\d x$~?

Utilisez chacune des deux méthodes précédentes pour en donner une approximation. Commentez.





\end{document}




%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 
