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  %\usetheme{Bergen}%Montpellier,Madrid}
  % or ...Frankfurt, 
  \usetheme[secheader]{Montpellier}

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  % or whatever (possibly just delete it)
  \usefonttheme{progressbar}
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  %  imagename=/home/moi/Photos/Maths/prisoner
%}
}

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  \fbox{\tabular[b]{C{#1}} #2 \endtabular}}

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\newtheorem{exercice}{Exercice}


\setlength{\columnseprule}{0pt}

%\setlength{\parskip}{0pt}


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\setcounter{tocdepth}{2} %\setcounter{page}{0}


\newcommand{\triangleup}{\Delta}




%%%%%%%%%%%%
%%%
%% CASIO
%%
%%%%%%%%%%%%%

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\begin{document}


\title[]% (optional, use only with long paper titles)
{NUM3ERS}
\subtitle{Comprendre comment ça marche...}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Notre-Dame - 2$^{nde}$5}% (optional, but mostly needed)

\logo{\includegraphics[width=0.1\textwidth]{logondr}}

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{septembre 2018}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }



\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\AtBeginSubsection[]
{\scriptsize
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\tiny
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}




\newcommand{\TR}{\mathcal{T}}


\begin{frame}
%\ThisCenterWallPaper{1}{logoiremBigInv}
 \Large \titlepage 
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{Sommaire}
{\scriptsize
\begin{multicols}{2} 
 \tableofcontents
\end{multicols}
}

 
 \end{frame}

\normalsize


% début





\section{Et les 2\up{nde}5 créèrent les nombres}

\subsection{Arbre de calcul}



\begin{frame}
  $$9/2 +(-3) × 4 - (-5)$$

  \pause

  
$$9/ ((2+(-3)) × (4-(-5)))$$

\end{frame}


\begin{frame}[fragile]\frametitle{Python}
  

\begin{pythoncode}
In [1]: 9 / 2 + (-3) * 4 - (-5)
Out[1]: -2.5

In [2]: 9 / ((2 + (-3)) * (4 - (-5)))
Out[2]: -1.0
\end{pythoncode}

  \pause

  

\begin{pythoncode}
In [3]: from operator import add, mul, inv, neg, pow, sub, truediv, floordiv

In [4]: truediv(9, mul(add(2, neg(3)), sub(4, neg(5))))
Out[4]: -1.0
\end{pythoncode}




  
\end{frame}




\begin{frame}
  
{\small 
\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\times$}
       child{node{$+$}
       child{node[fill=white]{$2$}}
       child{node{$-$}
            child{node[fill=white]{$3$}}}
       }
       child{node{$-$}
       child{node[fill=white]{$4$}}
       child{node{$-$}
            child{node[fill=white]{$5$}}}
       }
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

}
\end{frame}



\begin{frame}
  

{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\times$}
       child{node{$+$}
       child{node[fill=white]{$2$}}
       child{node{$\lnot$}
            child{node[fill=white]{$3$}}}
       }
       child{node{$-$}
       child{node[fill=white]{$4$}}
       child{node{$\lnot$}
            child{node[fill=white]{$5$}}}
       }
};
\end{tikzpicture}
\end{center}

}

\end{frame}




\begin{frame}
  

{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\times$}
      child{node{$\lnot$}
        child{node[fill=white]{$1$}}
      }
      child{node[fill=white]{$9$}
      }
    };
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\end{frame}


\begin{frame}
  

{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$/$}
    child{node[fill=white]{$9$}}
    child{node{$\lnot$}
      child{node[fill=white]{$9$}}
    };
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\end{frame}




\begin{frame}
  $$\lnot 1$$
\end{frame}








\begin{frame}
  
{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$\wedge$}
    child{node[fill=white]{$x$}}
    child{node[fill=white]{$2$}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}
\end{frame}


\subsection{Identités remarquables}


\begin{frame}
  

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{calclit305exo05.4}
\end{center}
%\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{theorem}[Identité remarquable neumebeurre oine]
  $$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$
\end{theorem}

\end{frame}



\begin{frame}
  $$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$$
  \pause
  $$b=¬c$$
  \pause
  $$a²  + 2a(¬ c) + (¬ c)² = (a+(¬c))²$$
\end{frame}



\begin{frame}
  

\begin{theorem}[Identité remarquable neumebeurre tou (en fait la première suffit)]
  $$a^2 - 2ac + c^2 = (a-c)^2$$
\end{theorem}

\end{frame}





\begin{frame}
  $$(x+y)(x-y)=(x+y)\cdot{} (x+(¬y))=x\cdot{} x + x\cdot{} (¬y) +  y\cdot{} x +
y\cdot{} (¬ y)= x²+xy -xy -y²=x²-y²$$
\end{frame}





\begin{frame}
  
\begin{theorem}[Identité remarquable neumebeurre tri]
  $$x² - y² = (x+y)(x-y)$$
\end{theorem}

\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{itemize}
\item \textbf{développement}: produit devient somme
  \item \textbf{factorisation}: somme devient produit
\end{itemize}

\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item {\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$\cdot{} $}
    child{node[fill=white]{}}
    child{node[fill=white]{}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

\item 
devient



{\small 

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
[edge from parent fork down,
every node/.style={fill=blue!30,rounded corners},
edge from parent/.style={blue,thick,draw},level 1/.style={sibling distance=4.5cm},
level 2/.style={sibling distance=2.5cm},
level 3/.style={sibling distance=1.4cm}]
\node{$+$}
    child{node[fill=white]{}}
    child{node[fill=white]{}};
\end{tikzpicture}
\end{center}
}

  \end{itemize}
\end{frame}



\subsection{Opposé - Inverse: la recherche du neutre}


\subsubsection{Déplacement neutre}




\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=.9\linewidth]{neutral}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}




\begin{frame}
  
\begin{definition}[Élément neutre de l'addition]
  L'élément neutre de l'addition est ZÉRO:
  $$\text{nombre}+0=0+\text{nombre}=\text{nombre}$$
\end{definition}
\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{exercise}
  On  dit \textbf{L}'élément  neutre  mais  peut-il y  en  avoir plusieurs  pour
  l'addition?  Supposez par  exemple qu'il  en existe  un deuxième.  Appelons-le
  $\heartsuit$. Que se passe-t-il? Y a-t-il un problème? Menez l'enquête.
\end{exercise}


\end{frame}






\subsubsection{Retour à l'équilibre}




\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{yinyang}
\end{center}
% \end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{definition}[Opposé d'un nombre]

  L'opposé  d'un nombre  $n$ est  le nombre  qu'il faut  additionner à  $n$ pour
  revenir à 0 (l´équilibre).

  On le note $¬n$ ou $-n$. Sur les calculatrices on utilise la touche \key[scale=1.5]{opposite}
  
\end{definition}

\end{frame}




\subsubsection{Agrandissement-Réduction}


\begin{frame}
  
\begin{definition}[Élément neutre de la multiplication]
  L'élément neutre de la multiplication est UN:
  $$\text{nombre}\cdot{} 1=1\cdot{} \text{nombre}=\text{nombre}$$
\end{definition}

\end{frame}



\begin{frame}
  

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{drinkme}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}




\begin{frame}
  
\begin{definition}[Inverse d'un nombre]

  L'inverse  d'un nombre  $n$ est  le nombre  qu'il faut  multiplier à  $n$ pour
  revenir à 1 (l´équilibre).

  On le note $\frac{1}{n}$ ou $n^{-1}$.

  Sur les  calculatrices on  utilise les
  touches \key[scale=1.5]{SHIFT} \key[shift,scale=2.5]{closeparen}
  
\end{definition}

\end{frame}



\subsection{Équations: la recherche de l'équilibre}


\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{2001}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}


\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=3cm]{countbone}
\end{center}
% \end{figure}
\end{frame}




\begin{frame}

  
  \includegraphics[height=1cm]{mammouth}

  
\begin{definition}[Entiers naturels ]
  Les entiers naturels sont les nombres qui permettent de compter les mammouths.

  On note souvent \textbf{N} ou $\bbn$ l'ensemble de tous les nombres entiers Naturels.

  $$\bbn=\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,...\}$$
\end{definition}
\end{frame}






\begin{frame}
  

\begin{quote}
  {\itshape
Je viens  d'attraper 4 mammouths. J'en  ai maintenant 9. Combien  en avais-je au
départ?
  }
\end{quote}

\pause



\begin{quote}
  {\itshape
Soit $m$ le  nombre de mammouths au  départ. Alors je cherche  un entier naturel
$m$ tel que $m+4=9$.

En fait je cherche à résoudre dans $\bbn$ l'équation $m+4=9$ d'inconnue $m$.
  }
\end{quote}

\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{center}
    \includegraphics[height=.7\textheight]{tradeprehistoric}
  \end{center}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\includegraphics[height=1.5cm]{tradeprehistoric}

  
\begin{definition}[Entiers relatifs ]
  Les entiers relatifs sont les nombres qui permettent d'emprunter des mammouths.

  On note  souvent \textbf{Z} ou $\bbz$  l'ensemble de tous les  nombres entiers
  relatifs: les Zentiers.

  $$\bbz=\{...,¬5,¬4,¬3,¬2,¬1,0,1,2,3,4,5,6,...\}$$
\end{definition}

\end{frame}

\begin{frame}
  
\begin{quote}
  {\itshape
  J'ai attrapé 12 mammouths ce matin. Il ne m'en reste plus. Combien en avais-je
  emprunté au départ? Je
  cherche le nombre $m$ de mammouths qui vérifie $m+12 = 0$.
  }
\end{quote}
\pause

$$m+12=0 ⟺ m=¬12$$
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{center}
    \includegraphics[height=.7\textheight]{flinstonemeat}
  \end{center}
\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{definition}[Nombres rationnels]
  Les rationnels sont les nombres qui permettent de partager des mammouths
  \includegraphics[height=1.5cm]{flinstonemeat}.

  On note souvent \textbf{Q} ou $\bbq$ l'ensemble de tous les nombres rationnels
  qui sont en fait le Quotient de deux nombres zentiers.

  $$\bbq=\left\{\frac{z}{n} \  \text{ avec } \  z \in \bbz \text{  et } n \in  \bbn, \
  n\neq 0\right\}$$
\end{definition}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{quote}
    Si  j'ai 3
mammouths, comment les partager équitablement avec mes quatre copains?
\end{quote}

\pause

 $$3pm= 5⟺ pm=\frac{5}{3}$$
\end{frame}






\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=.7\textheight]{flinstonefarm}
\end{center}
%\end{figure}


\end{frame}


\begin{frame}
  

\begin{quote}
  {\itshape
Je veux enfermer mon mammouth dans un enclos en forme de triangle rectangle dont
les  deux côtés  orthogonaux ont  pour  longueur 1.  Quelle est  la longueur  du
troisième côté?
}
\end{quote}
\end{frame}


\begin{frame}
  
\begin{definition}[Racine carrée]
  L'unique solution  POSITIVE de l'équation $x²=a$  (qui n'a de sens  que si $a$
  est positif  car c'est  la longueur  d'un côté  de mon  enclos) est  le nombre
  appelé \textit{racine carrée de a} et noté $√a$.

  Sur les  calculatrices on  utilise les
  touches \key[scale=1.5]{SHIFT} \key[shift,scale=2.5]{square}
\end{definition}

\end{frame}





\begin{frame}
  
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{racine}
\end{center}
%\end{figure}


\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{quote}
  {\itshape

ALEXANDRINS

Proposition. La racine carrée de deux,\\
est un nombre irrationnel. Pour vous, c’est un jeu\\
de démontrer habilement cette assertion.\\
Si ce nombre mystérieux est une fraction,\\
p/q, p, q deux entiers premiers entre eux,\\
vous prenez le carré. En restant scrupuleux,\\
vous constatez après quelques cogitations\\
que p est pair, entrevoyez la solution :\\
q est pair aussi. Contradiction… Vous aimez\\
ces mathématiques antiques et vous rêvassez\\
lorsqu’Euclide d’Alexandrie fait irruption,\\
le regard pétillant, le sourire radieux.\\
Il relit votre texte avec application\\
et approuve l’argument d’un clignement d’yeux.\\
    }
  \end{quote}




  
\end{frame}




\begin{frame}
  
  \begin{recherche}
    Comment utiliser ce poème pour vous aider  à démontrer que $√2$ n'est pas un
    nombre rationnel?
  \end{recherche}
\end{frame}



\begin{frame}
  
  \begin{definition}[Nombres réels]

    On dispose déjà de tous les nombres  de l'ensemble $\bbq$. Quand on ajoute à
    ces nombres tous ceux que l'on peut construire dans des figures géométriques
    on forme l'ensemble $\bbr$ ou \textbf{R} des nombres R\'eels.
  \end{definition}
\end{frame}



  \section{Puissances}

\subsection{Et l'être humain créa la multiplication}



\begin{frame}
  

\begin{quote}
  {\itshape
  2 mammouths plus 2 mammouths plus 2 mammouths ça fait 3 fois 2 mammouths
}
\end{quote}

\pause


\begin{definition}[Multiplication]
  Multiplier un nombre $x$ par l'entier naturel $n$ c'est ajouter $x$ $n$ fois.

  $$x\times n=\underbrace{x+x+\cdots+x}_{n \ \text{termes}}$$
\end{definition}

\pause


     $$(x\cdot{} n)       +      (x\cdot{} p)=       \underbrace{x+x+\cdots+x}_{n      \
  \text{termes}}+\underbrace{x+x+\cdots+x}_{p                                  \
  \text{termes}}=\underbrace{x+x+\cdots+x}_{n+p \ \text{termes}} $$

\pause

 $$(x\cdot{} n) + (x\cdot{} p)=x\cdot{} (n+p)$$


\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{quote}
  {\itshape
  2 fermes fois 2 enclos fois 2 mammouths ça fait  $2³$ mammouths
}
\end{quote}

\pause

\begin{definition}[Puissance]
  Élever  un nombre  $x$ à  la puissance  entière positive  non nulle  $n$ c'est
  multiplier $x$ $n$ fois.

  $$xⁿ=\underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n \ \text{facteurs}}$$
\end{definition}


\pause

$$(xⁿ)          \cdot{}          (x^p)=          \underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n         \
  \text{facteurs}}\cdot{} \underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{p                                \
  \text{facteurs}}=\underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n+p \ \text{facteurs}}$$

\pause

 $$x^n\cdot{} x^p=x^{n+p}$$


\end{frame}




\begin{frame}
  

\begin{quote}
  {\itshape
  2 mammouths plus 2 mammouths plus 2 mammouths ça fait 3 fois 2 mammouths
}
\end{quote}


\begin{definition}[Multiplication]
  Multiplier un nombre $x$ par l'entier naturel $n$ c'est ajouter $x$ $n$ fois.

  $$x\times n=\underbrace{x+x+\cdots+x}_{n \ \text{termes}}$$
\end{definition}




  $$(x\cdot{} n)       +      (x\cdot{} p)=       \underbrace{x+x+\cdots+x}_{n      \
  \text{termes}}+\underbrace{x+x+\cdots+x}_{p                                  \
  \text{termes}}=\underbrace{x+x+\cdots+x}_{n+p \ \text{termes}} $$



 $$(x\cdot{} n) + (x\cdot{} p)=x\cdot{} (n+p)$$


\end{frame}



\begin{frame}
  
\begin{quote}
  {\itshape
  2 fermes fois 2 enclos fois 2 mammouths ça fait  $2³$ mammouths
}
\end{quote}



\begin{definition}[Puissance]
  Élever  un nombre  $x$ à  la puissance  entière positive  non nulle  $n$ c'est
  multiplier $x$ $n$ fois.

  $$xⁿ=\underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n \ \text{facteurs}}$$
\end{definition}




$$(xⁿ)          \cdot{}          (x^p)=          \underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n         \
  \text{facteurs}}\cdot{} \underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{p                                \
  \text{facteurs}}=\underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n+p \ \text{facteurs}}$$



 $$x^n\cdot{} x^p=x^{n+p}$$


\end{frame}








\begin{frame}
  
 $$(xⁿ)^p\pause= \underbrace{\underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n \ \text{facteurs}}\cdot{} \underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n \ \text{facteurs}}\cdot{} \cdots\cdot{} \underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n \ \text{facteurs}}}_{p \ \text{facteurs}}\pause=\underbrace{x\cdot{} x\cdot{} \cdots\cdot{} x}_{n\cdot{} p \ \text{facteurs}}$$


 \pause

 
\begin{theorem}[Puissance de puissances]
  

$$(x^n)^p=x^{n\cdot{} p}$$

\end{theorem}
 
\end{frame}







\begin{frame}
  
\begin{definition}[Puissance $¬1$]
  $$x^{¬1}=\frac{1}{x}$$
\end{definition}


\pause

$$1=x\cdot{} \frac{1}{x}=x^1\cdot{} x^{¬1}=x^{1-1}=x⁰$$

\pause


\begin{theorem}[Puissance nulle]
  $$x^0=1$$
\end{theorem}



\end{frame}





\begin{frame}
  
$$1=x\cdot{} \frac{1}{x}\pause\cdot{} 
x\cdot{} \frac{1}{x}\pause\cdot{} \cdots\pause=(x\cdot{} x\cdot{} \cdots)\cdot{} (\frac{1}{x}\cdot{} \frac{1}{x}\cdot{} \cdots)\pause=x^p\cdot{} \left(\frac{1}{x}\right)^p\pause=x^p\cdot{} (x^{¬1})^p\pause=x^p\cdot{} x^{¬p}\pause=x^{p-p}\pause=x^0$$

\pause


\begin{theorem}[Puissance négative]
  $$x^{¬p}=\frac{1}{x^p}$$
\end{theorem}




\end{frame}


\begin{frame}
  $$x=(x^p)²=x^{2p}$$
\pause
  $$1=\frac{x^{2p}}{x}=x^{2p-1}=x^0$$ 
\pause
$$2p-1=0$$

\pause

$$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$$


\end{frame}






\end{document}
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%%% End:
