
%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 
\begin{filecontents*}{SuitesRecuDec.mp}


input newcourbes;
input couleur;
%input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex


numeric uo;
uo:=0.2;
%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
         2/(1+t)                     % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

beginfig(0);
  repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;

r_fin;
endfig;


beginfig(1);
 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
r_fin;
endfig;


beginfig(2);
 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(uo,0) );
r_fin;
endfig;


beginfig(3);
 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(uo,0) );
drawarrow r_p(uo,0)--r_p(uo,0.5*fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,0)--r_p(uo,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
r_fin;
endfig;


beginfig(4);
 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(uo,0) );
drawarrow r_p(uo,0)--r_p(uo,0.5*fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,0)--r_p(uo,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(uo,fy(uo))--r_p((uo)/2,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,fy(uo))--r_p(0,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
r_fin;
endfig;


beginfig(5);
 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(uo,0) );
drawarrow r_p(uo,0)--r_p(uo,0.5*fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,0)--r_p(uo,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(uo,fy(uo))--r_p(uo/2,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,fy(uo))--r_p(0,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
dotlabel.ulft(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(uo)) );
r_fin;
endfig;


beginfig(6);
 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,-10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(uo,0) );
drawarrow r_p(uo,0)--r_p(uo,0.5*fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,0)--r_p(uo,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(uo,fy(uo))--r_p(uo/2,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,fy(uo))--r_p(0,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;

dotlabel.ulft(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(uo)) );

r_fin;
endfig;


beginfig(7);
 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
  r_axes;
  %r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-0.99,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,-10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(uo,0) );
drawarrow r_p(uo,0)--r_p(uo,0.5*fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,0)--r_p(uo,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(uo,fy(uo))--r_p(uo/2,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,fy(uo))--r_p(0,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(uo,fy(uo))--r_p((fy(uo))/2,fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(uo,fy(uo))--r_p(fy(uo),fy(uo)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
dotlabel.ulft(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(uo)) );

r_fin;
endfig;










 for k:=8 upto 13 :
   
beginfig( k)

 repere(0,0,-.5,2.3,-0.3,2.5,4cm,4cm);
%%%%%%%%%%%
r_axes;
%r_origine;

u_reccourbe(fx,fy,uo,0,k-7,-0.99,2,1);

dotlabel.ulft(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(uo)) );

r_fin;
endfig;

endfor;



end
\end{filecontents*}






\begin{filecontents*}{SuitesRecu.mp}

input newcourbes;
input couleur;
%input geometriesyr16;
%input TEX;

verbatimtex
%&latex
\documentclass{article}
\usepackage[upright]{fourier}
\usepackage{preambule}
\begin{document}
etex

%%%%%%%%%%%%
vardef fx(expr t)=
t
enddef;

vardef fy(expr t)=
         sqrt(1+t)                     % c'est la seule ligne à changer
enddef;
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

beginfig(0);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;

r_fin;
endfig;


beginfig(1);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
r_fin;
endfig;


beginfig(2);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(-0.5,0) );
r_fin;
endfig;


beginfig(3);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(-0.5,0) );
drawarrow r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,0.5*fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
r_fin;
endfig;


beginfig(4);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(-0.5,0) );
drawarrow r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,0.5*fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(-0.25,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(0,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
r_fin;
endfig;


beginfig(5);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(-0.5,0) );
drawarrow r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,0.5*fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(-0.25,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(0,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
dotlabel.urt(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(-0.5)) );
r_fin;
endfig;


beginfig(6);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,-10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(-0.5,0) );
drawarrow r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,0.5*fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(-0.25,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(0,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;

dotlabel.urt(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(-0.5)) );

r_fin;
endfig;


beginfig(7);
  repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
  r_axes;
  r_origine;
draw  f_courbe(fx,fy,-1,2,100)withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-10,-10)--r_p(10,10);
label.bot(btex $u_0$ etex,r_p(-0.5,0) );
drawarrow r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,0.5*fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,0)--r_p(-0.5,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(-0.25,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(0,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
drawarrow r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(0.25,fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
draw r_p(-0.5,fy(-0.5))--r_p(fy(-0.5),fy(-0.5)) withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.5bp;
dotlabel.urt(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(-0.5)) );

r_fin;
endfig;










 for k:=8 upto 12 :
   
beginfig( k)


%%%%%%%%%%%
repere(0,0,-1.5,2,-0.5,2,4cm,3cm);
r_axes;
r_origine;

u_reccourbe(fx,fy,-0.5,0,k-7,-1,2,1);

dotlabel.urt(btex $u_1$ etex,r_p(0,fy(-0.5)) );

r_fin;
endfig;

endfor;



end
\end{filecontents*}








\documentclass[xcolor={hyperref,dvips,ps2pdf},dvips]{beamer} 
\usepackage[baw]{fvrb-ex}
\usepackage{BeamerPolymaths,multido,filecontents}

\fvset{xrightmargin=0cm,gobble=2}
\graphicspath{{/home/moi/Figures/FigSeconde/}}


\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}

\definecolor{0.6white}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
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\newcommand{\tsxb}[2]{\only<#1->{\begin{minipage}[t]{0.75\textwidth}\vspace{0cm}\textcolor{0.4white} {#2} \end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.2\textwidth}\vspace{-0.5cm}
\hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[height=1.5cm]{/home/moi/Photos/Tehessin/tsx.eps}\end{flushright}\end{minipage}
}}


\newcommand{\prob}[2]{\only<#1->{\begin{minipage}[t]{0.2\textwidth}\vspace{0cm}\begin{flushleft}
\includegraphics[height=1.5cm]{/home/moi/Photos/Tehessin/Conan.eps} \end{flushleft}\end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.75\textwidth}\vspace{0.1cm}
\hspace{-1.5cm} \textcolor{0.2white}{#2} \end{minipage}}
}







\mode<presentation>
{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Suites récurrentes $u_{n+1}=f(u_n)$}

\subtitle{}

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{Lycée Jean PERRIN}% (optional, but mostly needed)


\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{}

\AtBeginSubsection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
     
    \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
       
  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}


\begin{document}

\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
  \frametitle{Sommaire}
  \tableofcontents
  % You might wish to add the option [pausesections]
\end{frame}


\section{Une relation $u_{n+1}=f(u_n)$ définit-elle toujours une suite ?}


\begin{frame}

\prob{1}{Précisons d'abord un peu les choses. On considère une
fonction $f$ définie sur une partie $I$ de $\bbr$ et à valeurs
réelles, ainsi qu'un élément $a$ de $I$. Et la question est de
savoir s'il existe
 une suite $(u_n)_{n\in\bbn}$ telle que
$$u_0=a\ \ {\rm et}\ \ \text{pour tout } n\in\bbn\ \ u_{n+1}=f(u_n).$$}



\tsxb{2}{Il me semble que oui ! Il suffit de définir $u_1$ comme égal
à $f(a)$, et ainsi de suite.}

\end{frame}

\begin{frame}


\prob{1}{C'est tout ce que cela vous inspire, \mat\ ? Vous êtes sûr de
pouvoir continuer ?}


\tsxb{2}{Ben, oui, je pose $u_2=f(u_1)$, puis... !? Ah, je vois le
problème : il faudrait que $f$ soit définie en $u_1$ !}



\end{frame}




\begin{frame}
  
\prob{1}{ Ce qui n'a en effet aucune raison de se produire. Par
exemple, il n'existe pas de suite $(u_n)_{n\in\bbn}$ telle que
$$u_0=-1\ \ {\rm et}\ \ \text{pour tout } n\in\bbn\ \ u_{n+1}=u_n-\frac{1}{u_n}.$$}

\only<2->{\textcolor{0.2white}{Car, avec $\ds g:\bbr^*\to\bbr,\, x\mapsto x-\frac{1}{x}$, on a $g(-1)=0$, donc $g$ n'est pas définie en $g(-1)$.
Il faut également s'assurer qu'aucun des termes suivants ne va
être égal à $-1$.}}


\tsxb{3}{D'accord, mais si on avait pris une valeur strictement
positive pour $u_0$, alors on aurait eu $g(u_0)>0$, donc on
pourrait définir $g(g(u_0))$ qui serait lui-même strictement
positif, etc. On pourrait donc définir tous les termes de la
suite.}


\end{frame}



\begin{frame}
  \prob{1}{ Tout à fait ! Et le point clé dans ce que vous venez de dire est que $g\bigl(]0,1[\bigr)\subset]0,1[$, ce qui, avec la définition
suivante, se traduit par <<~$]0,1[$ est stable par $g$~>>.}


\only<2->{\textcolor{0.2white}{
Cela veut donc dire que si on prend $u_0$ dans $]0,1[$, on est sûr que tous les termes \textsl{resteront} dans cet intervalle.
}}



\end{frame}






\begin{frame}
\frt{Partie stable}
  \begin{definition}
Soit $f$ une fonction définie sur une partie $I$
de $\bbr$ et à valeurs réelles. On dit qu'une partie $S$ de $I$
est \textbf{stable par $f$} lorsque
$$\text{pour tout }  x\in S\ \ f(x)\in S.$$
\end{definition}

\end{frame}



\begin{frame}
  \tsxb{1}{Euh.....Eh bien euh...}

\prob{2}{Je vois. Voyons le début d'un petit exercice de Bac sur les suites.}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{Exercice}
Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0\pv 2]$ par 
\[f(x)=\frac{2x+1}{x+1}\]
\begin{itemize}
\item Étudiez les variations de $f$ sur l'intervalle $[0\pv 2]$.
\item Montrez que si $x\in[1\pv 2]$, alors $f(x)\in[1\pv 2]$.
\item Les suites $(u_n)$ et $(v_n)$ sont définies sur $\bbn$ par 
  \begin{itemize}
  \item $u_0=1$ et $u_{n+1}=f(u_n)$
\item $v_0=2$ et $v_{n+1}=f(v_n)$
  \end{itemize}
Montrez que pour tout entier naturel $n$, $1\ie u_n\ie2$ et $1\ie v_n\ie 2$
\end{itemize}
\end{Exercice}
\end{frame}

\begin{frame}
  \prob{1}{
Maintenant, si $a$ est élément d'une partie $S$ de $I$ stable par
$f$, alors on pourra définir $f(f(a))$ puisque $f(a)\in S$, puis
$f(f(f(a)))$ puisque $f(f(a))\in S$, etc. Il suffit donc de
choisir $u_0$ dans $S$.}
\end{frame}

\begin{frame}
    \begin{definition}
      Soit $f$ une fonction définie sur une partie $D$ de $\bbr$, un intervalle $I$ stable par $f$ et un réel $a\in I$.\\
On peut alors construire une suite $(u_n)$ définie par $$\begin{cases} u_0=a\\ \text{pour tout } n\in\bbn,\ u_{n+1}=f(u_n)\end{cases}$$
Une telle suite ainsi définie est appelée une suite récurrente.
    \end{definition}
\end{frame}

\section{Quelles sont les limites possibles d'une suite récurrente ?}
\begin{frame}
\prob{1}{Quelles sont les limites possibles d'une suite récurrente ?...}

\tsxb{2}{Ben, $u_{n+1}=f(u_n)$, et  donc $\lin u_{n+1}=\lin f(u_n)$. Si on  appelle $\ell$ la limite
  de $(u_n)$, on a donc $\ell=f(\ell)$}
  \only<3->{\textcolor{0.4white}{Il suffit donc de résoudre l'équation $x=f(x)$.}}
\end{frame}




\begin{frame}
  \prob{1}{\^Etes-vous sûr que $\bigl(f(u_n)\bigr)$
converge vers  $f(\ell)$ ?  Et même  en supposant  que cela soit  vrai, la  limite $\ell$  n'est pas
nécessairement une solution de
$f(x)=x$ ! }

\tsxb{2}{Ah bon !? Alors là, je ne vois vraiment pas pourquoi.}

\prob{3}{ La subtilité sort vraiment du cadre de la terminale. Retenez
seulement que $f$ doit être \textbf{continue} sur un intervalle $I$ qui doit lui-même être \textbf{un intervalle fermé.}}



\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{theoreme}
    Soit $I$ un intervalle fermé de $\bbr$, soit $f$
une fonction continue de $I$ vers $I$, et soit $(u_n)$ une suite
d'éléments de $I$ telle que $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n$. Si
$(u_n)$ est convergente, alors sa limite est un point fixe de
$f$.
  \end{theoreme}
\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{alertblock}{Attention}
   \prob{1}{ Vous aurez bien noté  le «~\textit{\textbf{SI} $(u_n)$ est convergente, alors sa  limite est...}~». Il faudra donc
    bien commencer par montrer que la suite est convergente.}
  \end{alertblock}




\end{frame}


\begin{frame}


\prob{1}{Mettons ça en pratique dans un autre petit extrait d'un exercice de Bac.}



  \begin{Exercice}
    Soit $(u_n)$ la suite numérique définie sur $\bbn$ par :
\[u_0=0\quad \text{et} \quad u_{n+1}=\sqrt{3u_n+4}\]
\begin{itemize}
\item Montrez que $(u_n)$ est majorée par 4.
\item Montrez que $(u_n)$ est strictement croissante.
\item Montrez que $(u_n)$ converge.
\item Déterminez la limte de $(u_n)$
\end{itemize}
  \end{Exercice}
\end{frame}


\begin{frame}
  \tsxb{1}{Mais s'il n'y a qu'une solution à l'équation $f(x)=x$, est-ce que
$(u_n)$ ne va pas toujours converger vers cette solution ?}

\prob{2}{Non ! Prenez par exemple la
suite définie par
$$u_0=1 \quad \text{et, pour tout } n\in\bbn \quad u_{n+1}=32u_n$$}

\only<3->{La fonction $f\ :\ x\mapsto 32x$ admet un unique point fixe qui est...}


\tsxb{4}{Zéro !}



\end{frame}



\begin{frame}
  \prob{1}{... et pourtant la suite ne converge pas vers 0, n'est-ce pas~?}

\tsxb{2}{Si vous le dites...}

\prob{3}{Observez bien le terme général $u_{n+1}=32u_n$...}

\tsxb{4}{Bon sang  ! Mais c'est bien  sûr ! C'est une  suite géométrique de raison  32. Elle diverge
  vers l'infini.}

\end{frame}



\section{Le secret de l'étude des suites du type $u_{n+1}=f(u_n)$}

\begin{frame}

\prob{1}{Il faudrait rajouter «~en Terminale~», car au  Bac, dans 257 exercices sur 258, la fonction
  $f$ est croissante. Voyons un exemple.}

 \only<2->{ \begin{example}
    Soit $(u_n)$ la suite définie par $$\begin{cases}u_0=-1/2\\ u_{n+1}=\sqrt{1+u_n}\end{cases}$$
Déterminez tout d'abord les points fixes éventueles de $f$.
  \end{example}}


\only<3->{ On montre que le seul point fixe est
$\f=(1+\sqrt{5})/2$}


\end{frame}

\multido{\i=0+1}{12}{
\begin{frame}
  \centering\includegraphics[width=\textwidth]{/home/moi/Figures/Divers/Animations/SuitesRecu.\i}
\end{frame}
}




\begin{frame}
  L'inégalité $a_0<\f$, avec $\f=(1+\sqrt{5})/2$, se conserve.

\pause

 En
effet, si $a_n<\f$ pour un certain $n$,

\pause


 alors
$\sqrt{1+a_n}<\sqrt{1+\f}$,

\pause

 c'est-à-dire $a_{n+1}<\f$.


\pause


 On a donc
montré que $a_n<\f$ pour tout $n$.
\end{frame}



\begin{frame}
  
Ceci prouve que l'intervalle $[-1,\f[$ est stable par $f$.

\pause

 Donc $u_{n+1}-u_n=\sqrt{1+u_n}-u_n>0$

\pause

 et donc que $(u_n)$ est croissante et majorée par $\f$.

\pause


 Elle est donc convergente.

\pause


 Enfin, la fonction $f$ étant continue sur $[-1,\f]$, la suite converge vers un point fixe de $f$,


\pause

 à savoir ici $\f$.



\pause


On en déduit que $\lin u_n=\f$

\end{frame}






\begin{frame}
  
Plus généralement, on peut aussi parfois déterminer le sens
de variation de la suite $(u_n)$ par <<~conservation
d'inégalités~>>. Supposons par exemple que $f$ soit croissante.
Alors la position de $u_0$ par rapport à $u_1$ va déterminer le
sens de variation de la suite.


\pause


 En effet, si $u_0\ie u_1$, alors

\pause

$f(u_0)\ie f(u_1)$, c'est-à-dire

\pause

 $u_1\ie u_2$, etc :


\pause

 on obtient
donc par récurrence $u_n\ie u_{n+1}$ pour tout $n$... 


\pause

Et de même,
$u_0\se u_1$ entraîne que la suite $(u_n)$ est décroissante.

\end{frame}


\begin{frame}
  
Si $f$ est décroissante, les choses se compliquent un peu. 
\end{frame}







\multido{\i=0+1}{14}{
\begin{frame}
  \centering\includegraphics[height=\textheight]{/home/moi/Figures/Divers/Animations/SuitesRecuDec.\i}
\end{frame}
}






\begin{frame}
  
Enfin, si $f$ n'est pas monotone,  le comportement de $(u_n)$
peut même être très compliqué, <<~chaotique~>>. Pour nous amuser,
nous  examinerons à l'aide de XCAS le comportement d'une suite
telle que
$$\text{pour tout } n\in\bbn\ \ u_{n+1}=\mu\,u_n\,(1-u_n)$$

\end{frame}
\section{En résumé}

\begin{frame}
  
Voici quelques idées \textit{simples} qui pourront vous guider dans votre étude
d'une suite définie par une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$.
\begin{itemize}



\item Commencez par étudier la fonction $f$ : si par chance elle est croissante sur un intervalle intéressant, vous pourrez prouver des
inégalités intéressantes (en utilisant la conservation de l'ordre par $f$) et en particulier étudier le sens de variation de la suite
selon que $u_0$ est supérieur ou inférieur à $u_1$.
\item Vous serez le plus souvent amenés à prouver qu'une suite est monotone et bornée, donc convergente.
\item Pour déterminer sa limite, on utilise le théorème bien connu. N'oubliez pas de vérifier toutes les conditions d'application, à
savoir que la suite est définie par une relation du type $u_{n+1}=f(u_n)$, que $f$ est continue de $I$ vers $I$, $I$ étant un intervalle
fermé, que la suite $\un$ est convergente.

\end{itemize}

\end{frame}

\begin{frame}[fragile]

Pour vous aider à visualiser la situation, n'hésitez pas à faire appel à XCAS grâce à la fonction

\begin{center}
\begin{Verbatim}
  plotseq( f(x),u0,n) )
\end{Verbatim}
\end{center}



\end{frame}



\begin{frame}[fragile]
  
\begin{Verbatim}
  plotseq(2/(x+1),0.2,6)
\end{Verbatim}

\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{xcasseq.eps}
\end{center}

\end{frame}

\begin{frame}

 
  \href{http://gconnan.free.fr/les\%20pdf/exo\_variation.pdf}{Exos}

 \href{http://gconnan.free.fr/les\%20pdf/RepSuitesBeamer.pdf}{Représentation}

\end{frame}

\end{document}
%%% Local Variables: 
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%%% TeX-master: t
%%% TeX-PDF-mode: t ***
%%% End: 
