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\fancyfoot[LO,LE]{{\scriptsize\textsl{ Guillaume Connan, #3, 2007-2008}}}
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}


\entete{\NomLecon \hfill  \leftmark }{}{Lycée Jean Perrin - TS }

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\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}


\LECOND{XVI}{Seizième}{LOI DE  PROBABILIT\'E }{DISCRÈTE}{{\bfseries Loi De  Probabilit\'e Discrète -
    Variable Aléatoire }}{dice.eps}


%{Loi de probabilité discrète - Variable aléatoire}
 \setlength{\parindent}{0pt}
%\Large{\textbf{\maketitle}}

\bigskip\bigskip


\begin{Abstract}

Historiquement, les calculs de probabilités ont été tout d'abord
utilisés pour étudier l'argent que pouvaient espérer gagner les
princes au jeu.

De nos jours, ces calculs sont abondamment utilisés en physique,
en chimie, en biologie, en économie, en démographie, etc. Malgré
tout, le vocabulaire employé reste lié au jeu.

Nous découvrirons surtout la notion de \textbf{variable aléatoire} que nous retrouverons lors de l'étude des probabilités à densité.

\end{Abstract}

\section{UN EXEMPLE POUR D\'ECOUVRIR}
%
% Le PDG d'une société en faillite frauduleuse possède
% officiellement trois toiles de maîtres, mais il en a en fait
% cinq~: un Picasso, un Goya, un Malevitch, un Zurbaran et un
% Velasquez, valant respectivement 30, 30, 40, 80 et 60 millions
% d'euros.
%
% L'huissier, piètre amateur d'art, saisit trois toiles au hasard.
%
% On note $X$ la $fonction$ qui va de l'univers $\Omega$ de l'ensemble
%  des combinaisons de trois tableaux, dans $\bbr$, et qui à une
%  combinaison de trois tableaux associe sa valeur en euros.
% \been
% \item Décrivez $\Omega$, c'est à dire, donnez l'ensemble des
% combinaisons de trois tableaux.
% \item Calculez les probabilités correspondant à chacune de ces
% saisies.
% \item Regroupez ces résultats dans un tableau de valeurs.
% \item Compte-tenu de l'aspect aléatoire de la saisie, on peut
% envisager de calculer la valeur moyenne des saisies. Cela pose
% pourtant un problème~: lequel~?
% \item C'est pour cela qu'on ne parle pas de moyenne, mais
% d'\textit{espérance mathématique} qui correspond en fait à une
% sorte de moyenne où les valeurs $x_i$ prises par la fonction $X$
% que nous appellerons \textit{variable aléatoire} (notez le gros
% piège~: $X$ est une fonction mais s'appelle variable~: comme si
% on n'avait pas assez de problèmes comme ça~!) seront affectées du
% coefficient $p_i$, probabilité correspondante.
%
% Calculez alors $E(X)$.
%\een


L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est simulé dans les bureaux du
ministère, le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.

 Le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 10, s'il tombe sur un numéro
impair, il a 5.

Quelle moyenne nationale peut \textsl{espérer} obtenir le
ministre~? Cette moyenne est-elle une moyenne~? Cette moyenne
sera-t-elle effectivement atteinte~?

\sm

Les derniers syldaves touchant  un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher aux entreprises. Un nouveau système de
rémunération a donc été mis au point par l'ancien ministre de
l'éducation syldave installé aujourd'hui au ministère des
finances.

Pour garder son emploi, le salarié doit chaque mois verser 1000
neurones à l'entreprise puis doit lancer un dé. S'il sort un 6, il
touche 3000 neurones~: les 1000 versés au départ par le salarié
plus 2000 versés par l'entreprise. Dans les autres cas,
l'entreprise garde les 1000 neurones.

Quelle salaire un employé peut-il espérer toucher~?

Que se passera-t-il si l'entreprise propose 5000 neurones au lieu
des 2000~? Et si elle propose 1\,000\,000\,000 de neurones avec un
dé à 100 faces pour un versement initial de 1\,000\,000 de
neurones~?



\section{LA TH\'EORIE}

Vous vous souvenez que l'$univers$ probabilisable, souvent noté
$\Omega$, est constitué de toutes les <<~éventualités~>> ou
<<~issues~>> d'une expérience aléatoire.

Avant de parler de lois de probabilités, penchons nous sur le
terme \textit{discrètes}~: il traduit le fait que l'on peut
<<~dénombrer~>> chacune des issues; on peut leur donner un numéro.
Nous étudierons plus tard dans l'année des lois de probabilité
$continues$~: on ne pourra pas donner un numéro à chacune des
issues; par exemple, on ne peut pas compter tous les nombres réels
compris entre 2 et 3.

\ENC{\Def \ \ Variable aléatoire}{ Soit $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$ un
univers muni d'une probabilité. On appelle \textbf{variable
aléatoire} toute fonction de $\Omega$ dans $\bbr$.}

\medskip

Soit $x_1,\cdots,x_k$ les différentes valeurs prises par la
fonction $X$.

On note $\{X=x_i\}$ l'événement <<~la variable aléatoire prend la
valeur $x_i$~>>. Il se note rigoureusement $\{\omega\in\Omega\  |\
X(\omega)=x_i\}$, ce qui se lit <<~l'ensemble des $\omega$ tels
que $X(\omega)=x_i$~>>.



\ENC{\Def\ \ Loi de probabilité}{ Soit $(\Omega,p)$ un univers  muni d'une probabilité $p$
et $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$. On appelle \textbf{loi
de probabilité} de $X$ la fonction $\f$ de $\bbr$ dans $[0,1]$
définie par
$$\f~:\ x\mapsto p(X=x)$$}




\smallskip


Remarque~: si $x\not\in \Omega$, alors $(X=x)=\emptyset$ et donc
$p(X=x)=0$.

Définir \textit{la loi de probabilité d'une expérience aléatoire}
reviendra donc à~: \bez \item déterminer toutes les valeurs
possibles $x_1,\cdots,x_n$ prises par $X$; \item calculer les
probabilités $p_1,\cdots,p_n$ des événements correspondants; \item
regrouper les résultats dans un tableau du type

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Valeurs prises par $X$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_n$ \\
\hline Probabilité correspondante $p(X=x_i)$  & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\ez



\smallskip

Vous n'oublierez pas de vérifier que $p_1+\cdots+p_n=1$ d'après le
principe des probabilités totales.


\smallskip

\ENC{\Def\ \ Espérance mathématique}{On appelle \textbf{espérance mathématique} de la variable
aléatoire $X$ le nombre noté $\bbe(X)$ défini par
$$\bbe(X)=x_1\times p(X=x_1)+x_2\times p(X=x_2)+\cdots+x_n\times
p(X=x_n)=\ds\sum_{i=1}^nx_i\cdot p(X=x_i)$$}


\begin{description}
\item[La même chose sous un autre angle] :
puisque nous n'étudierons que des situations où l'univers n'est constitué que d'un nombre fini d'éléments, nous pouvons l'écrire sous la forme 
\[ \Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n \big\}\]
C'est ce que nous faisons en pratique : pour décrire le comportement d'une variable aléatoire, nous étudions son action sur chaque événement élémentaire.
Ces événements élémentaires formant une partition de l'univers, on  a 

\ENC{\Thm\ \ Espérance mathématique : autre formulation}{Soit $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n \big\}$ l'univers. On a
$$\bbe(X)=\ds\sum_{i=1}^nX(\o_i)\cdot p(\o_i)$$}

\item[Exemple] : on lance un dé honnête. On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 2 si le numéro du dé est pair et 1 sinon.

Notons $\omega_i$ l'événement \og le  numéro de la face est $i$ \fg, alors $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\o_4,\o_5,\omega_6 \big\}$
et 

\sm

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{5}}
\whline $i$ & 1&2&3&4&5&6\\
\whline $p(\o_i)$ & 1/6 & 1/6& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6\\
\whline $X(\o_i)$ & 1&2&1&2&1&2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\sm

D'après le théorème précédent, on a $\bbe(X)=1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}+1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}+1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}=\fr{3}{2}$

\medskip

Nous aurions pu procéder autrement pour définir la loi de probabilité

\sm

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
Valeurs prises par X &1&2\\
\whline
Probabilité correspondante $p(X=x_i)$ & 1/2 &1/2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\sm

alors, d'après la définition, $\bbe(X)=1\times \ud+2\times \ud=\fr{3}{2}$


\end{description}

\smallskip

\subsection{Variance}

La variance mesure l'<<~écart~>> par rapport à l'espérance en faisant la somme  des carrés  des \og distances \fg entre chaque valeur prise par la variable aléatoire et l'espérance pondérés par la probabilité correspondante, ce qui donne  

\ENC{\Def    \ \ Variance}{\[\bbv(X)=\ds\sum_{i=1}^n\big(x_i-\bbe(X)\big)^2\cdot p(X=x_i)\]}\label{var}

\begin{description}
\item[Remarque] : on a choisi d'utiliser les carrés de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes; on aurait pu choisir une autre méthode, mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue. La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. On va donc définir une distance proprement dite en en prenant la racine carrée : c'est ce qu'on appelle l'écart-type.
\end{description}

\ENC{\Def   \ \ \'Ecart-type}{\[\sigma(X)=\sqrt{\bbv(X)}\]}

\begin{description}
\item[Remarque] : vous pouvez obtenir espérance, variance et écart-type très simplement à l'aide des modules statistiques de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable aléatoire en liste 1, les probabilités correspondantes en liste 2.
\end{description}


\subsection{Linéarité de l'espérance}

À partir de variables aléatoires existantes, on peut en créer de nouvelles.

 Avec des notations usuelles on obtient 
\bez
\item $aX+b$ : $\o_i\mapsto aX(\o_i)+b$ avec $a$ et $b$ des réels.
\item $X+Y$ : $\o_i\mapsto X(\o_i)+Y(\o_i)$
\ez

À l'aide du théorème 2, démontrez les propriétés suivantes :

\ENC{\Props}{
\bez
\item $\bbe(aX+b)=\ds\sum_{i=1}^n(ax_i+b)\times p(X=x_i)=a\bbe(X)+b$
\item $\bbe(X+Y)=\bbe(X)+\bbe(Y)$
\ez
}

\begin{description}
\item[Exemple] : on lance deux dés honnêtes. On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 2 si le numéro du premier dé est pair et 1 sinon et la variable aléatoire $Y$ qui prend la valeur 2 si le numéro du deuxième dé est pair et 1 sinon. On note $Z=X+Y$. Définissez les lois de probabilité respectives  de X, Y et Z et calculez les espérances et les variances associées.
\end{description}









\section{DES EXERCICES POUR METTRE EN PRATIQUE}


\exot{Manipulation de formules}
Montrez que $\bbv(X)=\bbe\big(X^2\big)-\big(\bbe(X)\big)^2$


\exot{Espérance vs écart-type : les dés}

On lance deux dés honnêtes. On note X la variable aléatoire qui donne le plus grand des numéros obtenus et Y celle qui donne le plus petit.

Donnez les lois de chacune des deux variables ainsi que les espérances et les variances.

\exot{Espérance vs écart-type : la roulette.}

Une roulette contient 36 cases numérotées de 1 à 36 dont 18 sont rouges et 18 sont noires, plus une case numérotée 0 de couleur verte.

Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire gagne deux fois sa mise si la couleur choisie sort.

Un joueur qui mise sur un numéro de 1 à 36 gagne 36 fois sa mise si le numéro sort.

Il est interdit de miser sur le zéro.

\been

\item Un joueur mise $a$ \texteuro\  sur une couleur. Soit $C$ la variable aléatoire correspondant au gain associé. Trouvez la loi de $C$ puis calculez $\bbe(C)$ et $\sigma(C)$.

\env{$\sigma(C)=\fr{6a\sqrt{38}}{37}$}

\item Un joueur mise $a$ \texteuro\  sur un numéro. Soit $N$ la variable aléatoire correspondant au gain associé. Trouvez la loi de $N$ puis calculez $\bbe(N)$ et $\sigma(N)$.

\env{$\sigma(N)=\fr{216a}{37}$}

\item Vaut-il mieux miser sur une couleur ou un numéro ?

\een





\exot{Compétition syldave}

Prschtr, le champion syldave de danse sous-marine nocturne en scaphandre de 150 kg est inquiet avant la finale. Trois de ses figures l'inquiètent. La probabilité de  réussir la première est de 0,95, la deuxième de 0,93 et la troisième de 0,9.

On suppose que le moral de Prschtr est à toute épreuve et les réussites de ses figures sont indépendantes.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que Prschtr réussisse ses trois figures ?
\item Quelle est la probabilité d'en manquer une seule ?
\item D'en manquer deux ?
\item De manquer les trois ?
\item Dresser alors le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de sauts réussis. Claculer $\bbe(X)$ et $\sigma(X)$.
\item Manquer la première figure fait perdre 0,2 point et la deuxième ou la troisième 0,1 point. Les pénalités s'ajoutent.

Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y donnant le total des points de pénalités ? Calculer $\bbe(Y)$ et $\sigma(Y)$.

\end{enumerate}



\exot{Crise du logement Syldave} Le ministre syldave du logement doit faire face à une
surpopulation syldave galopante. Il propose donc le jeu suivant à
la population~:

le ministre dispose d'un pistolet à six coups chargé de trois
balles. Le joueur tire jusqu'à ce qu'une balle vienne frapper sa
boîte crânienne, le ministre faisant tourner le barillet entre
chaque essai. Si la tête du candidat explose dès le premier coup,
l'\'Etat verse 2 neurones à la famille du défunt et le jeu
s'arrête; si c'est au deuxième coup, la famille reçoit 4 neurones;
si le bang arrive au troisième coup, le ministre débourse $2^3$
neurones, etc.

\been

\item Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le gain en neurones de la famille.
Montrez que l'espérance mathématique est infinie et que donc
chaque syldave a intérêt à jouer...

\item Que se passe-t-il si le ministre ne dispose que de
$1\,000\,000$ de neurones~? Quelle participation le ministre
peut-il alors demander pour rentrer dans ses frais~?

\een


\exot{Aviation syldave} On considère les deux avions de la compagnie Syldavian Death
Air~: un biréacteur $B$ et un triréacteur $T$.

 On suppose que tous les moteurs sont identiques, ont la même
probabilité $p$ de tomber en panne sur une période donnée et
qu'ils sont indépendants.

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de réacteurs
tombant en panne sur $B$ et $Y$ celle qui donne le nombre de
réacteurs tombant en panne sur $T$.

\been

\item Donnez les lois de probabilité de $X$ et $Y$ en fonction de
$p$. \textsl{(Pour résoudre ce problème d'avions, on pourra
s'aider d'arbres.)}

\item Calculez les espérances mathématiques correspondantes.

\item $B$ a besoin d'au moins un réacteur, sinon il tombe au
milieu de l'océan; $T$ a lui besoin de deux réacteurs pour arriver
à destination. \been
\item Calculez, en fonction de $p$, la probabilité $P_B$ que le
biréacteur traverse l'océan sans encombre. \item Calculez la
probabilité correspondante $P_T$ pour $T$. \item Dans quel avion
préférez-vous monter pour traverser l'océan~? \een \een


\section{PARADOXE~?}

\exot{Paradoxe syldave} Le problème est simple : prenons deux boîtes identiques A et
B dont l'une contient deux fois plus  de balles de revolver que
l'autre, mais vous ignorez laquelle. La situation est donc
totalement symétrique. Pourtant un expert, qui ignore également
quelle est la boîte la mieux lotie en balles de revolver, affirme
au ministre syldave qu'il faut choisir la boîte B ! Son
raisonnement semble imparable : soit $n$ le nombre de balles de
revolver dans la boîte A, alors la boîte B en contient soit $2n$,
soit $n/2$ avec à chaque fois une probabilité de 1/2. Donc on peut
calculer l'espérance mathématique du nombre de balles de revolver
dans la boîte B.
$$\bbe=     $$
Stupeur ! Il vaut mieux choisir la boîte B. Or nous aurions pu
tenir exactement le même raisonnement en inversant les rôles de A
et B pour aboutir à la conclusion inverse. Nous aboutissons à un
magnifique paradoxe. Quel est le problème~?

\begin{flushright}\rotatebox{180}{Supposez qu'il y a cinq balles dans A}\end{flushright}


\exot{Hasard ?} Un ordinateur affiche un nombre entier à l'écran de manière
aléatoire. Peut-il y avoir équiprobabilité dans le choix de cet
entier~?\label{equin}

\exot{Élection syldave} En Syldavie, l'élection présidentielle se joue à la cravate.
Le candidat qui a la moins longue cravate devient ipso facto
président de la République syldave et garde la cravate de son
adversaire.

La veille de l'élection, le candidat Joe Max Bill Pol réfléchit,
allongé dans son lit : <<~ma cravate a pour longueur L. Si ma
cravate est la plus longue, ce qui a une chance sur deux de se
produire, je la perds, donc je perds une cravate de longueur L.
Sinon, je gagne la cravate de l'autre qui est plus longue que L.
Donc une fois sur deux je perds L et une fois sur deux je gagne
plus que L. Mon espérance est donc positive donc je suis
confiant~>>. Son adversaire tient bien sûr le même raisonnement...








\exot{Le modèle fait la probabilité}

Encore un problème stupide ~: \textsl{Dans un parc il y a trois
bancs à deux places. Roger et Ginette vont s'asseoir  <<~au
hasard~>>. Quelle est la probabilité qu'ils se retrouvent sur le
même banc~?}

On parle de <<~hasard~>>, donc d'équiprobabilité, mais de quelles
issues~: les bancs ou les places~? C'est souvent le problème des
calculs de probabilités~: pour un même problème, plusieurs modèles
peuvent être utilisés pour arriver à des résultats parfois
différents.

Ici, montrer que, selon le modèle choisi, la réponse peut-être 1/3
ou 1/5. Y a-t-il un modèle plus pertinent~?

Il sera donc important de préciser le modèle choisi avant tout
calcul.












\exot{Quelques notions sur les sommes de variables aléatoires}

Ce n'est pas vraiment au programme... mais si vous jetez un coup d'\oe il sur l'exercice~\ref{ope} page~\pageref{ope} qui vient de tomber au Bac et par expérience, mieux vaut être prudent...
\sm








\section{BAC}

\exot{}
Un fabricant d'\'ecrans plasma teste une premi\`ere fois ses appareils  \`a la sortie de la chaîne de
fabrication.

\noindent Si le test est positif (c'est- \`a-dire si l'\'ecran fonctionne correctement),  l'\'ecran est achemin\'e chez le client. Sinon l'\'ecran retourne en usine où il est r\'epar\'e puis test\'e une seconde fois. Si ce deuxi\`eme test est positif, l'\'ecran est achemin\'e chez le client, sinon il est d\'etruit.

\noindent  Une \'etude statistique  a permis de montrer que le test est positif pour $70\,\%$ des \'ecrans neufs sortis directement des cha\^{\i}nes de fabrication, mais que parmi les \'ecrans r\'epar\'es, seulement $65\,\%$ d'entre eux  passent le second test avec succ\`es.

\noindent On note T$_{1}$ l'\'ev\`enement : \og  le premier test est positif \fg{}.

\noindent On note C l'\'ev\`enement : \og l'\'ecran  est achemin\'e chez le client \fg{}.

\begin{enumerate}\item On choisit un \'ecran au hasard \`a la sortie de la chaîne de fabrication.

 D\'eterminer les probabilit\'es des \'ev\`enements T$_{1}$, et C.
 
\item La fabrication d'un \'ecran revient \`a $1\,000$ \texteuro~au fabricant si l'\'ecran n'est test\'e qu'une fois.
 
  Cela lui coûte 50 \texteuro~ de plus si l'\'ecran doit \^etre test\'e une seconde fois.
  
   Un \'ecran est factur\'e $a$ euros ($a$ \'etant un r\'eel positif) au client.
   
On introduit la variable al\'eatoire $X$ qui,  \`a chaque \'ecran fabriqu\'e, associe le \og gain \fg{}  (\'eventuellement n\'egatif)  r\'ealis\'e par le fabricant.
   
\begin{enumerate}\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$ en fonction de $a$. 

\item Exprimer l'esp\'erance de $X$ en fonction de $a$. 

\item À partir de quelle valeur de $a$, l'entreprise peut-elle esp\'erer r\'ealiser des b\'en\'efices ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\exot{}

\textbf{Commun  \`a tous les candidats}\\\\
Un joueur d\'ebute un jeu au cours duquel il est amen\'e \`a faire successivement plusieurs parties.\\
La probabilit\'e que le joueur perde la premi\`ere partie est de 0,2.\\
Le jeu se d\'eroule ensuite de la mani\`ere suivante :
 
\begin{enumerate}[$\bullet$]
\item s'il gagne une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilit\'e de 0,05 ;

\item s'il perd une partie, alors il perd la partie suivante avec une probabilit\'e de 0,1.
\end{enumerate}

\begin{enumerate}
\item On appelle :\\
$\text{E}_{1}$ l'\'ev\'enement \og le joueur perd la premi\`ere partie\fg ;\\
$\text{E}_{2}$ l'\'ev\`enement \og le joueur perd la deuxi\`eme partie\fg ;\\
$\text{E}_{3}$ l'\'ev\`enement \og le joueur perd la troisi\`eme partie \fg.\\\\
On appelle $X$ la variable al\'eatoire qui donne le nombre de fois o\`u le joueur perd lors des trois premi\`eres parties.\\\\
On pourra s'aider d'un arbre pond\'er\'e.

\begin{enumerate}
\item  Quelles sont les valeurs prises par $X$?

\item Montrer que la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $(X = 2)$ est \'egale \`a 0,031 et que celle de l'\'ev\`enement $(X= 3)$ est \'egale \`a 0,002.

\item D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$.

\item Calculer l'esp\'erance de $X$.
\end{enumerate}

\item Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note $E_{n}$ l'\'ev\`enement : \og le joueur perd la $n$-i\`eme partie \fg, $\overline{E_{n}}$ l'\'ev\`enement contraire, et on note $p_{n}$ la probabilit\'e de l'\'ev\`enement $E_{n}$.

\begin{enumerate}
\item Exprimer, pour tout entier naturel $n$ non nul, les probabilit\'es des \'ev\`enements $E_{n}\cap E_{n+1}$ et $\overline{E_{n}}\cap E_{n+1}$ en fonction de $p_{n}$ .

\item En d\'eduire que $p_{n+1} = 0,05p_{n} + 0,05$ pour tout entier naturel $n$ non nul.
\end{enumerate}

\item On consid\`ere la suite $\left(u_{n}\right)$ d\'efinie pour tout entier naturel $n$ non nul par : $u_{n}=p_{n}-\dfrac{1}{19}$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que $\left(u_{n}\right)$ est une suite g\'eom\'etrique dont on pr\'ecisera la raison et le premier terme.

\item En d\'eduire, pour tout entier naturel $n$ non nul, $u_{n}$ puis $p_{n}$ en fonction de $n$.

\item Calculer la limite de $p_{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}






\exot{}

Une fabrique artisanale de jouets en bois v\'erifie la qualit\'e de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l'entreprise est soumis \`a deux contrôles : d'une part l'aspect du jouet est examin\'e afin de v\'erifier qu'il ne pr\'esente pas de d\'efaut de finition, d'autre part sa solidit\'e est test\'ee.\\
Il s'av\`ere, \`a la suite d'un grand nombre de v\'erifications, que : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 92\:\% des jouets sont sans d\'efaut de finition ;
\item[$\bullet~$] parmi les jouets qui sont sans d\'efaut de finition, 95\:\%
 r\'eussissent le test de solidit\'e;
\item[$\bullet~$] 2\:\%
  des jouets ne satisfont \`a aucun des deux contrôles.
\end{itemize}  
On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 	F l'\'ev\`enement : \og le jouet est sans d\'efaut de finition \fg;
\item[$\bullet~$] S l'\'ev\`enement : \og le jouet r\'eussit le test de solidit\'e \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
\item  Construction d'un arbre pond\'er\'e associ\'e \`a cette situation. 
\begin{enumerate}
\item  Traduire les donn\'ees de l'\'enonc\'e en utilisant les notations des probabilit\'es.
\item 	D\'emontrer que $p_{\overline{\text{F}}}\left(\overline{\text{S}}\right)  = \dfrac{1}{4}$.
\item 	Construire l'arbre pond\'er\'e correspondant \`a cette situation.
 \end{enumerate}
\item  Calcul de probabilit\'es. 
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $p(\text{S}) =  0,934$. 
\item  Un jouet a r\'eussi le test de solidit\'e. Calculer la probabilit\'e qu'il soit sans d\'efaut de finition. (On donnera le r\'esultat arrondi au milli\`eme,)
 \end{enumerate}
\item  \'Etude d'une variable al\'eatoire $B$.\\
  Les jouets ayant satisfait aux deux contr\^oles rapportent un b\'en\'efice de 10 \texteuro, ceux qui n'ont pas satisfait au test de solidit\'e sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un b\'en\'efice de $5$~\texteuro.\\
   On d\'esigne par $B$ la variable al\'eatoire qui associe \`a chaque jouet le b\'en\'efice rapport\'e.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de la variable al\'eatoire $B$. 
\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de la variable al\'eatoire $B$.
\end{enumerate}
\item  \'Etude d'une nouvelle variable al\'eatoire. On pr\'el\`eve au hasard dans la production de l'entreprise un lot de 10 jouets. \\
On d\'esigne par $X$ la variable al\'eatoire \'egale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succ\`es le test de solidit\'e. On suppose que la quantit\'e fabriqu\'ee est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse \^etre assimil\'ee \`a un tirage avec remise.\\
Calculer la probabilit\'e qu'au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succ\`es le test de solidit\'e.
\end{enumerate}
 



\exot{}




Pour r\'ealiser une loterie, un organisateur dispose d'une part d'un sac contenant exactement un jeton blanc et 9 jetons noirs indiscernables au toucher et d'autre part d'un d\'e cubique \'equilibr\'e dont les faces sont num\'erot\'ees de 1 \`a 6.\\
Il d\'ecide des r\`egles suivantes pour le d\'eroulement d'une partie.\\
Le joueur doit tirer un jeton puis jeter le d\'e : 
\begin{itemize}
\item[$\bullet$]  si le jeton est blanc, le joueur perd lorsque le jet du d\'e donne 6 ;
\item[$\bullet$] si le jeton est noir, le joueur gagne lorsque le jet du d\'e donne 6. À la fin de la partie, le jeton est remis dans le sac.
 \end{itemize}
 
\noindent On note B l'\'ev\`enement \og le jeton tir\'e est blanc \fg{} et G l'\'ev\`enement \og le joueur gagne le jeu \fg. L'\'ev\'enement contraire d'un \'ev\`enement E sera not\'e . La probabilit\'e d'un \'ev\`enement E sera not\'ee $p$(E).
 
 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie A}\\
\begin{enumerate}
\item Montrer que $p(\text{G}) = \dfrac{7}{30}$. On pourra s'aider d'un arbre pond\'er\'e.
\item  Quelle est la probabilit\'e que le joueur ait tir\'e le jeton blanc sachant qu'il a perdu ?
\item  Un joueur fait quatre parties de façon ind\'ependante.\\
Calculer la probabilit\'e qu'il en gagne exactement deux et en donner une valeur approch\'ee \`a $10^{-3}$ pr\`es.
\item  Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilit\'e d'en gagner au moins une soit sup\'erieure \`a $0,99$ ?
\end{enumerate}

 \medskip
 
\noindent \textbf{Partie B}\\
L'organisateur d\'ecide de faire de sa loterie un jeu d'argent :
 \begin{itemize}
\item[$\bullet$]  chaque joueur paie 1 \texteuro{} par partie;
\item[$\bullet$]  si le joueur gagne la partie, il re\c{c}oit 5 \texteuro ;
\item[$\bullet$]  si le joueur perd la partie, il ne re\c{c}oit rien.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable al\'eatoire \'egale au gain alg\'ebrique (positif ou n\'egatif) du joueur \`a l'issue d'une partie.

\begin{enumerate}
\item  Donner la loi de probabilit\'e de $X$ et son esp\'erance E($X$).
\item  On dit que le jeu est favorable \`a l'organisateur si E($X) < 0$. Le jeu est-il favorable \`a l'organisateur ?
 \end{enumerate}
\item L'organisateur d\'ecide de modifier le nombre $n$ de jetons noirs ($n$ entier naturel non nul) tout en gardant un seul jeton blanc. Pour quelles valeurs de l'entier $n$ le jeu est-il d\'efavorable \`a l'organisateur ?
\end{enumerate}























%%%%


%
%
% loi binomiale
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%







\pagebreak

\thispagestyle{empty}

\LECOND{XVII}{Dix-septième}{UNE LOI DISCRÈTE : LA }{LOI BINOMIALE }{UN EXEMPLE DE LOI DISCRÈTE : LA LOI BINOMIALE}{apple.eps}


% Un exemple de loi discrete~: la loi binomiale}\\


%%\raisebox{\depth}[\depth][\height]{\rotatebox{180}{\reflectbox{
%%{\policetitre Un exercice rigolo...}}}}
%\end{center}
%

\section{\'EPREUVE DE BERNOULLI}
Pour faire plaisir à votre correcteur de bac, il faudra faire
attention à bien reproduire sur vos copies un modèle de rédaction.
Alors, garde à vous et suivez le maître.

Une épreuve de Bernoulli est une épreuve aléatoire ne comportant
que deux issues contraires~: pile ou face, aimer ou ne pas aimer
Mireille Mathieu, avoir ou ne pas avoir son bac, être ou ne pas
être, etc, un événement ayant une probabilité $p$ et l'autre
$1-p$.

Par exemple, une urne contient 5 oursins et 3 balles en mousse. Le
tirage d'un objet dans cette urne a deux issues contraires: \bez
\item $P$~: <<~je me pique~>> avec la probabilité 5/8
\item $\bar{P}$~: <<~je ne me pique pas~>> avec la probabilité 3/8.
\ez



 Soit alors $X$ la variable aléatoire à valeurs dans $\{0,1\}$,
prenant la valeur 1 si l'issue de l'épreuve est $P$ et 0 sinon. On
appelle alors la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$
\textbf{loi de Bernoulli de paramètre 5/8}. Le calcul de
l'espérance est aisé (vérifier quand même qu'elle vaut 5/8).

\sm

Imaginons maintenant que nous répétions cette expérience $n$ fois,
en ayant toujours soin de replacer l'objet tiré dans l'urne. La
répétition de ces $n$ épreuves de Bernoulli est appelé un
\textbf{schéma de Bernoulli}. Les issues élémentaires de ces $n$
tirages sont des <<~mots~>> de $n$ lettres, chaque lettre étant un
$P$ ou un $\bar{P}$. On définit alors la variable aléatoire $Y$ à
valeurs dans $\{0,1,2,...,n\}$, donnant le nombre de tirages
<<~piquants~>> de ces issues élémentaires. On dit que $Y$ suit
\textbf{la loi binomiale de paramètres \textit{n}  et 5/8}, notée
$\mg{\BR(n,5/8)}$.

On s'intéresse maintenant à l'événement $(Y=k)$, c'est à dire
l'ensemble des mots de $n$ lettres écrits avec $k$ $P$ et $n-k$
$\bar{P}$. Faîtes un arbre pondéré illustrant la situation (à
l'ordi, c'est pénible). Il est aisé de s'apercevoir que la
probabilité d'un de ces tirages est $(5/8)^k(3/8)^{n-k}$.

Il reste à déterminer combien il y a de tels mots. Ce sont les
anagrammes de $PP...P\bar{P}\bar{P}...\bar{P}$. Vous vous rappelez
qu'il y en a $\fr{n!}{k!(n-k)!}$, c'est à dire $\ds{n \co k}$.

La probabilité de l'événement $(Y=k)$ est donc $\ds{n\co
k}(5/8)^k(3/8)^{n-k}$.

\sm

\ENC{}{Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale
$\BR(n,p)$ et soit $k\in\{0,1,2,...,n\}$. Alors \bez \item
$p(X=k)=\ds{n\co k}p^k(1-p)^{n-k}$ \item on admettra que
$\bbe(X)=np$.\ez}


\section{COMMENT FAIRE PLAISIR À SON CORRECTEUR LE JOUR DU
BAC}

Il ne faut pas oublier de justifier l'utilisation de la loi
binomiale.

\textsl{L'énoncé~: chaque crocodile qui traverse la clairière
séparant les kékés du fleuve a une probabilité 1/3 de périr écrasé
par un éléphant sautant en parachute. Un matin, 32 crocodiles
quittent les kékés pour rejoindre le fleuve. On note $X$, le
nombre de victimes des éléphants parmi ces crocodiles. Les
survivants reviennent le soir par le même chemin. On note $Y$ le
nombre total de victimes. Calculez la probabilité que 22
crocodiles se baignent dans le fleuve et la probabilité que 7
crocodiles retournent sains et saufs le soir dans les kékés.
Calculez $E(Y)$. Comment interpréter ce résultat~?}

\sm

L'expérience qui consiste à traverser la clairière est une épreuve
de Bernoulli. On appelle $A$ l'événement <<~être écrasé par un
éléphant~>>. Alors $p(A)=1/3$. Les traversées sont indépendantes
et ont la même probabilité de finir tragiquement, donc constituent
un schéma de Bernoulli. $X$ suit donc la loi binomiale
$\BR(32,1/3)$.

La probabilité que 22 crocodiles se baignent dans le fleuve vaut
donc $p(X=10)$. Alors  $$p(X=10)=\ds{32\co
10}\left(\fr{1}{3}\right)^{10}\left(\fr{2}{3}\right)^{22}=\fr{2^{22}\times32!}{10!22!3^{32}}\simeq0,146$$

Vérifiez que la probabilité pour un crocodile de sortir indemne de
l'aller-retour est $(2/3)^2$, et donc que la probabilité d'être
écrasé est $1-(2/3)^2$. Comme il y a 32 crocodiles indépendants,
$Y$ suit la loi binomiale $\BR(32,5/9)$. Il ne reste plus qu'à
calculer $p(Y=25)$. Enfin, $\bbe(Y)=32\times \fr{5}{9}\simeq
17,8$. On peut espérer que 14,2 crocodiles survivent aux éléphants
parachutistes, soit en moyenne $44\%$ des crocodiles.


\section{VRAI OU FAUX~?}

Dans lequel des cas suivants $X$ est-elle une variable binômiale~? Donnez quand c'est possible $X(\Omega)$, les paramètres de la loi
ainsi que l'espérance.

\been

\item Dans une classe on tire au sort et sans remise 5 élèves, $X$ est le nombre d'élèves abonné à Star'Ac mag dans le lot tiré au sort.
\item Dans un sac de 20 billes contenant 7 noires et 13 blanches, on tire avec remise 3 d'entre elles, $X$ étant le nombre de billes
noires obtenues.
\item On lance 10 dés, $X$ est le nombre de <<~5~>> obtenus.
\item Un circuit comprend 32 lampes en série, pour chacune d'elle, la probabilité qu'elle fonctionne est de 3/100, $X$ est le nombre de
lampes qui s'allument lorsqu'on appuie sur l'interrupteur. Même exercice avec cette fois des lampes en parallèle. \een


\section{LOI FAIBLE DES GRANDS NOMBRES}

Souvenez-vous : il y a bien longtemps, vous étiez en classe de
seconde et vous découvriez les probabilités. Vous lanciez un dé et
notiez la  fréquence d'obtention de tel ou tel résultat. Déjà fort
perspicace, vous aviez remarqué que plus vous lanciez le dé, plus
la fréquence d'obtention de 4, par exemple, tendait vers 1/6 qui,
vous l'avez appris depuis, est la probabilité d'obtenir 4 en
lançant un dé équilibré.

Pour résumer, plus vous répétez une expérience aléatoires dans des
conditions identiques et avec indépendance des résultats, plus la
\textsl{fréquence observée} de succès tend vers la probabilité de
succès : c'est ce qu'on appelle la loi faible des grands nombres
et nous allons essayer de prouver ce résultat.
%dans le cas particulier de la loi binomiale.


 \subsection{Inégalité de Markov}

 Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi de probabilité $p$ et  ne prenant que des valeurs
 positives (rangées comme d'habitude dans l'ordre croissant) $x_1,
 x_2,\cdots, x_n$.

 Soit $\e$ un nombre\footnote{qui sera notre seuil d'erreur
 fréquence/probabilité} strictement positif fixé.

 Le monde se sépare en deux catégories : les $x_i$ strictement inférieurs à
 $\e$ et ceux qui lui sont supérieurs.

 Supposons par exemple que $x_1\ie x_2\ie \cdots x_{k-1}< \e\ie
 x_{k}\ie\cdots\ie x_n$

 \been
 \item Rappelez la définition de l'espérance $\bbe(X)$.

 \item Montrez que $\bbe(X)\se \e \ds\sum_{i=k}^n p(X=x_i)$.

 \item Déduisez-en l'inégalité de Markov $\quad\ds
 p(X\se\e)\ie\fr{\bbe(X)}{\e}$

 \item Déduisez-en cette autre formulation : $p(X<\e)\se
 1-\fr{\bbe(X)}{\e}$



 \item \textbf{Cas particulier de la loi binomiale}

 On suppose que $X$ suit la loi binomiale $\BR(n,p)$.
Donnez une majoration de $p\pa{\fr{X}{n}\se \e}$ et une minoration
de $p\pa{\fr{X}{n}<\e}$ à l'aide de l'inégalité de Markov.




\een



\subsection{Inégalité de Bienaymé-Tchebychev}


\been

\item \textbf{Variance}

La variance d'une variable aléatoire est la quantité qui mesure la
\textsl{dispersion} de $X$ autour de sa moyenne, c'est à dire son
espérance. Plus les valeurs sont dispersées, plus sa variance
augmente. On attend donc que si $X$ est une variable aléatoire
constante, sa variance sera nulle.
comme nous l'avons déjà vu à la définition \ref{var} page~\pageref{var}.
Donnons-en une définition plus synthétique
\ENC{Variance}{La variance de la variable aléatoire $X$ est
définie par $$\bbv(X)=\bbe\Big(\big(X-\bbe(X)\big)^2\Big)$$}

On aura remarqué que la variance est <<~homogène~>> à $X^2$. On a
donc défini $\sqrt{\bbv(X)}$ qu'on appelle écart-type de $X$ et
qu'on note souvent $\sigma(X)$

\item Appliquez l'inégalité de Markov astucieusement pour obtenir
l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev
$$p\big(|X-\bbe(X)|\se\e\big)\ie\fr{\bbv(X)}{\e^2}$$

\item\textbf{Une application de ces inégalités}

Les inégalités de nos amis franco-russes permettent d'avoir une
estimation de certaines probabilités sans qu'on connaisse la loi
de probabilité. il faut toutefois être conscient que la
probabilité exacte peut être assez éloignée de la borne proposée.

Par exemple, le nombre de caleçons molletonnés fabriqués dans une
usine syldave en une semaine est une variable aléatoire
d'espérance 50 et de variance 25.

Estimez, grâce à l'inégalité de Markov, la probabilité que la
production de la semaine à venir dépasse 75 caleçons molletonnés.

Estimez, grâce à l'inégalité de Bianaymé-Tchebychev, la
probabilité que la production de la semaine à venir soit
strictement comprise entre 40 et 60 caleçons molletonnés. \een


\subsection{Loi faible des grands nombres dans le cas  de la loi
binomiale}

 \been
\item Soit $\lambda$ un réel strictement positif et $X$ une variable aléatoire quelconque.
 Montrez que
$\bbe(\lambda X)=\lambda \bbe(X)$ puis que $\bbv(\lambda
X)=\lambda^2\bbv(X)$.



\item Considérons maintenant le cas où $X$  obéit à la loi binomiale
$\BR(n,p)$.

Intéressons-nous à la probabilité d'obtenir $k$ succès au cours
des $n$ répétitions de l'épreuve.

Le rapport $k/n$ est alors le nombre relatif (la fréquence) de
succès.

Nous allons essayer de confirmer notre étude expérimentale, à
savoir que, plus $n$ est grand, plus le rapport $k/n$ est proche
de la probabilité $p$ de succès à chacune des épreuves.



On admettra que la variance de $X$ vérifie $\bbv(X)=np(1-p)$

Montrez que $$p\pa{\ab{\fr{X}{n}-p}>\e}\ie\fr{p(1-p)}{n\e^2}$$

puis que $$\lin p\pa{\ab{\fr{X}{n}-p}\ie\e}=1$$

Qu'en déduisez-vous~?

\een



 \section{EXERCICES SYLDAVES}


\exot{Opération sur les variables aléatoires}

Un Syldave effectue une série infinie de lancers avec une pièce de monnaie mal équilibrée qui amène pile avec la probabilité $p$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le rang d'apparition du premier pile. Calculez $\bbe(X)$.

Soit $Y$ la variable aléatoire donnant le nombre de fois où face est sorti au moment où pile apparaît pour la première fois. Calculez $\bbe(Y)$.


\exot{Test de patriotisme syldave}

Suite à une étude démographique  de la  Syldavie, on estime que la probabilité pour qu'un Syldave interrogé au hasard connaisse par c\oe ur les \oe uvres du GGC (Grand Guide Charismatique) est de p.

On a classé la population en   groupes de $n$ Syldaves. On va comparer deux stratégies pour détecter les traitres incultes dans chaque groupe :
\bez 
\item la première consiste à interroger les membres du groupe un par un;
\item on suppose que les services de renseignements syldaves ont mis au point un test rapide permettant de vérifier de manière globale si un groupe contient au moins un traitre. Si ce test global est positif, alors on interroge un a un ses membres pour identifier les traitres, sinon, on passe au groupe suivant.
\ez

On note X et Y les variables aléatoires associées au nombre de tests effectués en suivant respectivement la première puis la deuxième stratégie.

Déterminez les lois de X et Y ainsi que leurs espérances.

\env{$\bbe(X)=n$ et $\bbe(Y)=n+1-n(1-p)^n$}

On suppose à présent que $p=\ofr{1}{100}$. Déterminez pour quelles valeurs de $n$ la deuxième méthode est plus économique.

\env{$1\ie n\ie 643$}

\exot{Manipulation des coefficients binomiaux}

Chaque dimanche, pendant $n$ semaines, le Père Thurbais,
archevêque de Syldavie, parle de mythes à l'abbesse, pour les
novices qui doutent de leur foi. Après la confession de leurs
torts, le bon père ne peut plus les quitter. Aussi, les $n$ nonnes
qui se sont passées de pain jusqu'aux matines proposent à l'abbé
parasite une petite collation dont l'effet est embarrassant. Il a
la trouille des cuites, mais elles aiment le goût du blanc et lui
offrent un vin bien seyant. La probabilité pour que ce coup de
blanc le grise et lui donne la pire nausée est
$p_n~=~1-\lambda/n$. On note $X_n$ le nombre de dimanches où ce
curé précis passe pour matines sans avoir ce petit ennui
($0<\lambda<n$). Précisez la loi de probabilité de $X_n$. Montrez
que pour tout entier $k$ compris entre 1 et $n$ on a

$$\bbp(X_n=k)=\fr{\lambda^k}{k!}\pa{\prod_{i=0}^{k-1}\pa{1-\fr{i}{n}}}\fr{\pa{1-\fr{\lambda}{n}}^n}{\pa{1-\fr{\lambda}{n}}^k}$$

\exot{Bac syldave : toujours plus d'économies}

Le ministre syldave de l'\'Education décide de donner le bac à
80\% des enfants dès leur naissance. C'est vrai ! Pourquoi
attendre 18 ans et dépenser tant d'argent quand on est même pas
sûr du résultat, tout ça pour permettre à des profs d'être payés à
être en vacances la moitié de l'année~?

Le ministre découpe donc dans du carton dix carrés numérotés de 1
à 10 et propose au nouveau-né de tirer un carton au hasard. \bez
\item si c'est un multiple de cinq, il est recalé,
\item si c'est un sept,il obtient la mention <<~très bien~>>,
\item si c'est un multiple de quatre, il obtient la mention
<<~bien~>>,
\item si c'est un multiple de trois, il obtient la mention
<<~assez bien~>>
\item sinon, il obtient la mention <<~passable~>>.
\ez

\been

\item Calculez la probabilité pour un nouveau-né syldave d'obtenir
le bac avec la mention <<~passable~>>.


\sm


Le village natal du beau-frère du  ministre attend sept naissances
pour l'année qui suit. On sait qu'il y aura trois filles et quatre
garçons\footnote{Comme chacun sait, la capitale syldave s'appelle
Gattaca}. On note $X$ la variable aléatoire égale au nombre de
garçons bacheliers et $Y$ la variable aléatoire égale au nombre de
filles bachelières parmi ces bébés.

\item Déterminer les lois de probabilité de $X$ et $Y$.
\item Calculez la probabilité d'avoir plus de bachelières que de
bacheliers.
\item Calculez la probabilité pour que ce village
dépasse l'objectif du ministre. \een


\exot{Le blues du dentiste syldave}

Après le lycée, l'université : le ministre syldave a supprimé la
faculté de médecine. L'unique dentiste de Gattaca est un ancien
boxeur, aveugle et  parkinsonien. Il arrache les dents de ses
patients au hasard. Les syldaves venant le consulter ont toujours
une seule dent de malade parmi les trente-deux qu'ils possèdent
encore avant l'intervention des tenailles ou des poings, c'est
selon. On considère les dix premiers clients, en notant $X$ le
nombre de dents malades extraites à bon escient.

\been

\item Déterminez la loi de probabilité de la variable aléatoire
$X$. Calculez la probabilité pour qu'aucun de ces patients n'y
laisse la dent malade.

\item Combien doit-il traiter de personnes pour extraire au moins
une dent malade avec une probabilité supérieure à 0,6~?

\item Le dernier client est assez obstiné : il se laisse arracher
les dents une à une tant que la dent malade n'a pas été extraite.
On note $Y$ le nombre de dents saines que ce vaillant patriote
voit tomber des mâchoires de la redoutable paire de tenailles.


Calculez la probabilité pour qu'il reparte complètement édenté,
puis $\bbe(Y)$ et $\sigma(Y)$.

\een






\section{D\'ESINT\'EGRATION RADIOACTIVE : UNE PREMIÈRE APPROCHE PROBABILISTE} \label{radiobin}

Vous avez vu en cours de physique la loi de décroissance radioactive qui décrit l'évolution temporelle du nombre de noyaux radioactifs de
l'échantillon $$N(t)=N_0e^{-\lambda t}$$ dans laquelle $N_0$ représente  le nombre de noyaux radioactifs de l'échantillon à l'instant
$t=0$. J'imagine pourtant qu'en mathématiciens avertis cette loi a dû vous laisser perplexe : comment une fonction censée prendre des
valeurs entières peut-elle être solution d'une équation différentielle linéaire et donc s'exprimer à l'aide d'une exponentielle ?!?

Ainsi $N(1/\lambda)=N_0/e\not\in\bbn$ !!! Pour vous rassurer, on vous a dit qu'il s'agissait d'un nombre <<~moyen~>> de noyaux non
désintégrés à l'instant $t$, mais quel concept se cache derrière cette <<~moyenne~>> ? Que se cache-t-il derrière cet ambigu $N(t)$~? Le
modèle différentiel manquant cruellement de rigueur, appelons \textbf{les probabilités à la rescousse~!}



\subsection{Hypothèse de travail} Soit une matière fissile contenant
$N$ atomes radioactifs . Dans le cas de la radioactivité <<~naturelle~>>, on peut considérer que les désintégrations des atomes sont
indépendantes et que pour un intervalle de temps donné, chaque atome a la même probabilité d'être désintégré. De plus, le phénomène est
homogène~: il n'y a pas de moments privilégiés où les désintégrations auraient plus de <<~chances~>> de se produire. Enfin, la
probabilité qu'un noyau se désintègre dans un intervalle de temps $]t,t+\Delta t[$ ne dépend pas de $t$. On parle alors de \textsl{ loi
de durée de vie sans vieillissement}~: un atome ne connaît ni d'adolescence (ouf!) ni de troisième âge. Il est en perpétuel âge mûr puis
meurt brusquement.

\subsection{Hypothèse de modèle} Soit $\Delta t$ un intervalle de
temps <<~très petit~>> fixé. D'après ce qui précède, on peut MOD\'ELISER la désintégration radioactive en disant que la probabilité qu'un
atome se désintègre dans l'intervalle de temps $\Delta t$ vaut
$$ p(\Delta t)\simeq\lambda \Delta t$$ avec $\lambda$ une
constante positive ne dépendant que de la nature du noyau. Ainsi, pour une matière donnée, la probabilité pour le noyau de se désintégrer
durant un intervalle de temps $\Delta t$ ne dépend que de $\Delta t$ et pas du moment où a été fait la mesure. On suppose qu'un physicien
effectue $n$ mesures à intervalle de temps régulier $\Delta t=t/n$, $t$ étant un temps de mesure arbitrairement choisi (la seconde, par
exemple).

\subsection{Une modèlisation probabiliste}

 On\footnote{Il est utile de rappeler que ON est un pronom \textit{indéfini}...} lance vers les cieux $N$ pièces truquées de façon que la
 probabilité d'obtenir FACE en retombant sur le plancher des vaches vaut $p=1-\lambda t$ : on détruit toutes les pièces donnant PILE et
 on recommence avec les restantes jusqu'à avoir effectué $n$ lancers ou éliminé toutes les pièces. Comme vous l'avez deviné, $N$
 représente le nombre de noyaux non encore désintégrés et $n$  le nombre d'intervalles de temps (de milliardièmes de secondes
 ou ce que vous voulez) que dure  l'observation.

 \been
 \item Lorsque $n=1$, tout va bien : montrez que la probabilité pour qu'il reste $k$ pièces ( ou noyaux ) après 1 intervalle de temps
 vaut $${N \co k} p^k(1-p)^{N-k}$$
 \item Pour les observations suivantes, les choses se compliquent car on ne connaît plus le nombre de pièces (noyaux) survivantes : le
 nombre $N(\Delta t)$ de pièces restantes après $n$ lancers varie avec chaque expérience. On pense naturellement (!) à introduire une
 \textit{variable aléatoire} qu'on notera $X_n$ et qui prend pour valeurs les différents $N(t)$ déterminés par chacune des expériences
 possibles.
\een
 \sm

 \subsection{Une pause s'impose !}

 $X_n$ est une fonction et s'appelle variable aléatoire. La notation $N(t)$ laisse penser que $N$ est une fonction (au sens mathématique
 du terme) et pourtant c'est une valeur prise par la fonction $X_n$.

 À part ça, d'un point de vue physique, il faut comprendre que le phénomène de désintégration est \textit{aléatoire} : on ne peut pas
 savoir a priori combien exactement de noyaux seront désintégrés entre deux observations, mais on va va tenter de déterminer le nombre $moyen(?)$ de
 désintégrations.

\subsection{Une désintégration binomiale}

Intéressons-nous à une pièce (un noyau) : quelle est la probabilité pour qu'elle soit encore présente au $n$-ième lancer~? Compte tenu de
l'indépendance des lancers (désintégrations), que pouvez-vous en déduire pour la variable aléatoire $X_n$~?

Montrez que l'espérance mathématique $E(X_n)$ vaut $N(1-\la t/n)^n$.

Maintenant, vous vous souvenez du résultat classique%\footnote{voir TD page~\pageref{expo} ou la démonstration plus rapide
%page~\pageref{expobis}} 
$\exp(x)=\lin\pa{1+\fr{x}{n}}^n$ et donc ici $$\lin N(1-\la t/n)^n=Ne^{-\la t}$$

Miracle ! Le lien est fait. Nous savons maintenant \textit{en toute rigueur} ce que représente $N(1-\la t/n)^n$ (et par suite sa limite
quand $n$ tend vers l'infini en extrapolant un peu) : c'est l'espérance de la variable aléatoire $X_n$ définie comme prenant pour valeurs
les nombres $N(t)=N(n\Delta t)$ issus des diverses expériences possibles. Nous verrons plus tard un moyen spécifique de faire le lien
avec le phénomène continu.
%\footnote{ voir page~\pageref{expobis}}.


\subsection{Les maths au secours du sens physique}

Une fois n'est pas coutume, les mathématiques enrichissent notre sens physique. Nous allons un peu déborder des programmes de
mathématiques et de physique pour exploiter au maximum le résultat que nous venons d'obtenir.

\sm

Tout d'abord, nous pouvons calculer la valeur moyenne de $X_n$ mais nous sommes maintenant capables de calculer la probabilité de
l'événement $X_n=k$ $$\bbp(X_n=k)= {N\co k} p^{nk}(1-p)^{N-k}$$ On pourra même répondre à des questions du genre : quelle est la
probabilité qu'une expérience donne un $N(t)$ supérieur à sa moyenne théorique $Ne^{-\la t}$ (dont $N(1-\la t/n)^n$ est une bonne
approximation).

\sm

Le petit dessin suivant nous permet même de comprendre une propriété très importante :

%\begin{maplegroup}
%
%\mapleresult
%\begin{center}
%\mapleplot{bibin201.eps}
%\end{center}
%
%\end{maplegroup}
%\begin{maplegroup}
%\begin{mapleinput}
%\end{mapleinput}
%
%\end{maplegroup}



%\begin{maplegroup}
%\begin{mapleinput}
%\mapleinline{active}{1d}{with(plots): with(linalg): f:=(k,t)->stats[statevalf,pf,binomiald[30,evalf((1-t/180)^30)]](k-1):}
%{%
%}
%\end{mapleinput}
%
%\begin{mapleinput}
%\mapleinline{active}{1d}{A:=matrix(31,20,f):
%\\plotsetup(plotoptions=`color,noborder`);
%matrixplot(A,orientation=[-60,20],axes=frame,labels=[k,    t,
%proba]);}{%
%}
%\end{mapleinput}

%\mapleresult
\begin{center}
\includegraphics[height=8cm,angle=270]{bibin301.eps}
\end{center}

%\end{maplegroup}
%\begin{maplegroup}
%\begin{mapleinput}
%\end{mapleinput}
%
%\end{maplegroup}









Cette espèce de courbe en cloche tordue peut vous aider à visualiser que l'espérance correspond à peu de choses près aux valeurs suivant
la ligne de crête et donc que la moyenne correspond à \textbf{la valeur la plus probable}, ce qui rassure d'autant plus le physicien.

Ceci n'a rien d'évident a priori : il existe des lois de probabilités où la variable aléatoire n'a aucune chance de prendre pour valeur
l'espérance mathématique\footnote{Donnez un exemple d'une telle loi...}. Pourtant, ça nous paraît normal car c'est le cas de figure des
\textit{distributions normales} qu'on représente à l'aide de la fameuse <<~cloche~>> de Gauss


\begin{center}
\includegraphics{integ4}
\end{center}

que vous étudierez sûrement un jour. Or, il se trouve que la Loi Binomiale tend vers la Loi Normale sous certaines conditions. La boucle
est bouclée.

\sm

Toujours plus fort : on peut prouver que le pourcentage  de noyaux survivants $N(t)/N$ définit une variable aléatoire $X/N$ qui suit
approximativement une loi normale d'espérance $m$ et d'écart-type $\sqrt{\fr{m(1-m)}{N}}$ : ce dernier résultat indique que plus le
nombre initial de noyaux est grand, plus les fluctuations relatives des désintégrations pourront être contrôlées.

\sm

Bref, vous découvrez une utilisation des probabilités sûrement insolite pour vous : loin d'être une discipline vaseuse pour turfiste,
elles sont en fait un pilier de la science moderne.




\section{BAC}



\exot{QCM}

\emph{Pour chacune des questions de ce QCM une seule, des trois propositions \text{A,~ B} ou \text{C} est exacte. Le candidat indiquera sur sa copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee.\\
 Une r\'eponse exacte rapporte $0,5$ point . (Une r\'eponse inexacte enl\`eve $0,25$ point. L'absence de r\'eponse n'apporte ni n'enl\`eve aucun point.\\
  Si le total est n\'egatif la note de l'exercice est ramen\'ee \`a $0$.}\\
  \medskip
  
\noindent Une urne contient 8 boules indiscernables au toucher, 5 sont rouges et 3 sont noires.
\begin{enumerate}
\item  On tire au hasard simultan\'ement 3 boules de l'urne. 
\begin{enumerate}
\item  La probabilit\'e de tirer 3 boules noires est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A~~$\dfrac{1}{56}$&B~~$\dfrac{1}{120}$&C~~$\dfrac{1}{3}$\\
\end{tabularx}
\item La probabilit\'e de tirer 3 boules de la m\^eme couleur est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~ $\dfrac{11}{56}$&	B.~~ $\dfrac{11}{120}$& 	C.~~ $\dfrac{16}{24}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\item  On tire au hasard une boule dans l'urne, on note sa couleur, on la remet dans l'urne ; on proc\`ede ainsi \`a 5 tirages successifs et deux \`a deux ind\'ependants. 
\begin{enumerate}
\item  La probabilit\'e d'obtenir 5 fois une boule noire est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^3$&	B.~~$\left(\dfrac{3}{8}\right)^5$&C.~~$\left(\dfrac{1}{5}\right)^5$\\
\end{tabularx}	
\item  La probabilit\'e d'obtenir 2 boules noires et 3 boules rouges est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$&	B.~~$2 \times \dfrac{5}{8} + 3 \times \dfrac{3}{8}$&C.~~$10 \times \left(\dfrac{5}{8}\right)^3 \times \left(\dfrac{3}{8}\right)^2$\\
\end{tabularx}	
\end{enumerate}
\item  On tire successivement et sans remise deux boules dans cette urne. On note : 
\begin{itemize}
\item R$_{1}$ l'\'ev\`enement : \og La premi\`ere boule tir\'ee est rouge \fg{} ;
\item N$_{1}$ l'\'ev\`enement : \og La premi\`ere boule tir\'ee est noire \fg{} ;
\item R$_{2}$ l'\'ev\`enement : \og La deuxi\`eme boule tir\'ee est rouge \fg{}; 
\item N$_{2}$ l'\'ev\`enement  : \og La deuxi\`eme boule tir\'ee est noire \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item La probabilit\'e conditionnelle $P_{\text{R}_{1}}\left(\text{R}_{2}\right)$ est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{5}{8}$& B.~~$\dfrac{4}{7}$& 	C.~~$\dfrac{5}{14}$\\
\end{tabularx}
\item  La probabilit\'e de l'\'ev\`enement R$_{1} \cap  \text{N}_{2}$ est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{16}{49}$& B.~~$\dfrac{15}{64}$& 	C.~~$\dfrac{15}{56}$\\
\end{tabularx}
\item  La probabilit\'e de tirer une boule rouge au deuxi\`eme tirage est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{5}{8}$& B.~~$\dfrac{5}{7}$& 	C.~~$\dfrac{3}{28}$\\
\end{tabularx}
\item  La probabilit\'e de tirer une boule rouge au premier tirage sachant qu'on a obtenu une boule noire au second tirage est :\\
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
A.~~$\dfrac{15}{56}$& B.~~$\dfrac{3}{8}$& 	C.~~$\dfrac{5}{7}$\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}
\end{enumerate}




\exot{Encore un exercice de bac sans intérêt...}

Un joueur dispose d'un d\'e cubique bien \'equilibr\'e dont les faces sont 
num\'erot\'ees de 1 \`a 6, et de trois urnes U$_1$, U$_2$ et U$_3$ contenant
 chacune $k$ boules, où $k$ d\'esigne un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a 3.

\noindent Il y a trois boules noires dans l'urne U$_1$, deux boules noires dans l'urne
 U$_2$ et une boule noire dans l'urne U$_3$, et toutes les autres boules contenues
 dans les urnes sont blanches.

\noindent Les boules sont indiscernables au toucher.

\noindent Une partie se d\'eroule de la façon suivante :

\noindent le joueur lance le d\'e,

\noindent $\bullet~$	s'il obtient le num\'ero 1, il prend au hasard une boule dans 
l'urne U$_1$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_1$ ;

\noindent $\bullet~$	s'il obtient un multiple de trois, il prend au hasard une boule
 dans l'urne U$_2$, note sa couleur et la remet dans l'urne U$_2$ ;

\noindent $\bullet~$	si le num\'ero amen\'e par le d\'e n'est ni le 1 ni un multiple de 
trois, il prend au hasard une boule dans l'urne U$_3$, note sa couleur et la
 remet dans l'urne U$_3$.

\noindent On d\'esigne par A, B, C, et N les \'ev\`enements suivants : 

A : \og  Le d\'e am\`ene le num\'ero 1. \fg{}

B : \og Le d\'e am\`ene un multiple de trois. \fg{}

C : \og Le d\'e am\`ene un num\'ero qui n'est ni le 1, ni un multiple de 3. \fg{}

N : \og La boule tir\'ee est noire.\fg{}

\begin{enumerate} \item Le joueur joue une partie.

\begin{enumerate} \item Montrer que la probabilit\'e qu'il obtienne une boule noire est \'egale \`a 
$\cfrac{5}{3k}$.

\item Calculer la probabilit\'e que le d\'e ait amen\'e le 1 sachant que la boule
 tir\'ee est noire.

\item D\'eterminer $k$ pour que la probabilit\'e d'obtenir une boule noire soit 
sup\'erieure \`a $\cfrac{1}{2}$.

\item D\'eterminer $k$ pour que la probabilit\'e d'obtenir une boule noire soit 
\'egale \`a $\cfrac{1}{30}$.

\end{enumerate}

\item Dans cette question, $k$ est choisi pour que la probabilit\'e d'obtenir une 
boule noire en jouant une partie soit \'egale \`a $\cfrac{1}{30}$.

Le joueur joue 20 parties, ind\'ependantes les unes des autres.

\noindent Calculer, sous forme exacte puis arrondie \`a $10^{-3}$, la probabilit\'e qu'il 
obtienne au moins une fois une boule noire.

\end{enumerate}








\exot{Probabilité et polynômes}




Une boîte contient $60$ boules blanches et $40$ boules noires. On effectue dans cette boîte des tir
ages successifs avec remise de chaque boule après tirage. On s'arrêtera à l'obtention d'une boule b
lanche.

\begin{enumerate}

\item Dans cette question, on ira au maximum à $4$ tirages. On appellera $X$ la variable aléatoire
égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtention de la première boule blanche. Par convention,
$X$ sera égal à $0$ si l'on n'obtient pas de boule blanche après les $4$ tirages.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que $X$ soit égal à $0$.
\item Calculer la probabilité pour que $X$ soit égal à $k$, $k$ valant successivement $1$, $2$, $3
$ et $4$.
\end{enumerate}
\item Dans cette question, on procédera à $n$ tirages au maximum, $n$ étant un entier naturel non
nul.
De même on appellera $X$ la variable aléatoire égale au nombre de tirages nécessaires à l'obtentio
n de la première boule blanche et ici encore $X$ sera nul si l'on n'obtient pas de boule blanche ap
rès $n$ tirages.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité pour que $X$ soit égal à $k$, $k$ étant un entier naturel variant de
$1$ à $n$.
\item On considère le polynôme $P$ tel que $P(x) = 1 + 2x + 3 x^2 + ... + nx^{n - 1}$.

Soit $E(X)$ l'espérance de la variable aléatoire $X$. Montrer que $E(X)=\cfrac{3}{5}P\left(\cfrac{
2}{5}\right)$.
\item On rappelle que pour tout réel $x$ différent de $1$, on a $1 + x + x^2 + ... + x^n =\cfrac{1
-x^{n+1}}{1-x}$.

En dérivant les deux termes de l'égalité précédente, déterminer une autre expression de $P(x)$ et e
n déduire que $E(X) =\cfrac{5}{3}-\left(n+\cfrac{5}{3}\right)\times \left(\cfrac{2}{5}\right)^n$.

\end{enumerate}

\end{enumerate} 






\exot{}
\textsl{ Pour les questions} 1 \textsl{ et} 2, \textsl{ on donnera les résultats sous forme de fraction et sous forme décimale approchée par défaut à} $10^{-3}$ \textsl{ près}.

\noindent  Un enfant joue avec 20 billes : 13 rouges et 7 vertes. Il met 10 rouges et 3 vertes dans une boîte cubique et 3 rouges et 4 vertes dans une boîte cylindrique.

\begin{enumerate}\item Dans un premier jeu, il choisit simultanément trois billes au hasard dans la boîte cubique et il regarde combien de billes rouges il a choisies. On appelle $X$ la variable aléatoire correspondant au nombre de billes rouges choisies.

\begin{enumerate}\item Déterminer la loi de probabilité de $X$. 

\item Calculer l'espérance mathématique de $X$.

\end{enumerate}

\item Un deuxième jeu est organisé de telle sorte que l'enfant choisisse d'abord au hasard une des deux boîtes, puis qu'il prenne alors une bille, toujours au hasard, dans la boîte choisie. On considère les év\`enements suivants :

C1 : \og L'enfant choisit la boîte cubique \fg{},

C2 : \og L'enfant choisit la boîte cylindrique \fg{}, 
 
R :  \og L'enfant prend une bille rouge \fg{},
 
V :  \og L'enfant prend une bille verte \fg{}.
  
\begin{enumerate}\item Représenter par un arbre pondéré la situation correspondant à ce deuxième jeu. 
  
\item Calculer la probabilité de l'év\`enement R. 
  
\item Sachant que l'enfant a choisi une bille rouge, quelle est la probabilité qu'elle provienne de la boîte cubique ?

\end{enumerate}

  \item L'enfant reproduit $n$ fois de suite son deuxième jeu, en remettant à chaque fois la bille tirée à sa place.
  
\begin{enumerate}\item Exprimer, en fonction de $n$, la probabilité $p_{n}$ que l'enfant ait pris au moins une bille rouge au cours de ses $n$ choix. 
  
\item Calculer la plus petite valeur de $n$ pour laquelle $p_{n} \geqslant  0,99.$

\end{enumerate}

\end{enumerate}












  
\exot{}\label{ope} 

Une compagnie de transport d\'esire optimiser les contrôles afin de limiter l'impact des fraudes
et les pertes occasionn\'ees par cette pratique.

\noindent  Cette compagnie effectue une \'etude bas\'ee sur deux trajets par jour pendant les vingt jours ouvrables d'un mois soit au total quarante trajets. On admet que les contrôles sont ind\'ependants les uns des autres et que la probabilit\'e pour tout voyageur d'\^etre contrôl\'e est \'egale  \`a $p$.

\noindent  Le prix de chaque trajet est de dix euros, en cas de fraude l'amende est de cent euros.

\noindent  Claude fraude syst\'ematiquement lors des quarante trajets soumis  \`a cette \'etude.

\noindent  Soit $X_{i}$ la variable al\'eatoire qui prend la valeur 1 si Claude est contrôl\'e au $i$-\`eme trajet et la valeur 0 sinon. Soit $X$ la variable al\'eatoire d\'efinie par $X = X_{1} +  X_{2} +  X_{3} + \cdots + X_{40}$.

\begin{enumerate}\item D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$.

\item Dans cette  on suppose que $p = \dfrac{1}{20}$.

\begin{enumerate}\item Calculer l'esp\'erance math\'ematique de $X$.

\item Calculer les probabilit\'es $P(X= 0),~ P(X = 1)$ et $P(X =  2)$.

\item Calculer  \`a $10^{-4}$ pr\`es la probabilit\'e pour que Claude soit contrôl\'e au plus deux fois.

\end{enumerate}

\item Soit $Z_{i}$  la variable al\'eatoire qui prend pour valeur le gain alg\'ebrique r\'ealis\'e par le fraudeur.

Justifier l'\'egalit\'e $Z = 400 - 100 X$ puis calculer l'esp\'erance math\'ematique de $Z$ pour $p = \dfrac{1}{5}$.

\item On d\'esire maintenant d\'eterminer $p$ afin que la probabilit\'e que Claude subisse au moins trois contrôles soit sup\'erieure  \`a $99\:\%$.

\begin{enumerate}\item D\'emontrer que $P(X \leqslant 2) = (1 - p)^{38}\left(741p^2 + 38p + 1\right)$.

\item Soit $f$ la fonction d\'efinie sur [0 ; 1] par : $f(x)= (1 - x)^{38}\left(741x^2 + 38x + 1\right)$.
	Montrer que $f$ est strictement d\'ecroissante sur [0 ; 1] et qu'il existe un unique
	r\'eel $x_{0}$ appartenant  \`a l'intervalle [0 ; 1] tel que $f(x_{0}) = 0,01$. D\'eterminer l'entier naturel $n$ tel que $\dfrac{n}{100}<   x_{0} < \dfrac{n+1}{100}$.

\item En d\'eduire la valeur minimale qu'il faut attribuer  \`a $p$ afin que la probabilit\'e que
Claude subisse au moins trois contrôles soit sup\'erieure ou \'egale  \`a $99\:\%$.

(On exprimera $p$ en fonction de $x_{0}$).

\end{enumerate}

\end{enumerate}




\exot{}
Un jardinier dispose de deux lots 1 et 2 contenant chacun de tr\`es nombreux bulbes donnant des tulipes de couleurs vari\'ees.\\
La probabilit\'e pour qu'un bulbe du lot 1 donne une tulipe jaune est \'egale \`a $\dfrac{1}{4}$.\\
La probabilit\'e pour qu'un bulbe du lot 2 donne une tulipe jaune est \'egale \`a $\dfrac{1}{2}$.\\
Ce jardinier choisit au hasard un lot et plante 50 bulbes de tulipes.\\
Soit $n$ un entier naturel v\'erifiant $0  \leqslant n  \leqslant 50$.\\
Dn d\'efinit les \'ev\`enements suivants :
\begin{itemize}
\item A :	\og le jardinier a choisi le lot 1 \fg
\item	B :	\og le jardinier a choisi le lot 2 \fg
\item	$J_{n}$  :	\og le jardinier obtient $n$ tulipes jaunes \fg.
\end{itemize}
\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on suppose que le jardinier choisit le lot $1$.
\begin{enumerate}
\item Quelle loi de probabilit\'e suit le nombre de tulipes jaunes obtenues \`a partir de 50 bulbes du lot $1$ ?
\item Quelle est l'esp\'erance math\'ematique de cette loi?
\item Donner une expression de la probabilit\'e que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes,
\item Calculer la probabilit\'e que le jardinier obtienne 15 tulipes jaunes. On donnera l'arrondi au milli\`eme du r\'esultat.
\end{enumerate}
\item Probabilit\'es conditionnelles
\begin{enumerate}
\item Montrer que : $P_{\text{B}}\left(J_{n}\right) =  \binom{50}{n}2^{-50}$.
\item En d\'eduire la probabilit\'e que le jardinier obtienne $n$ tulipes jaunes.
\item On note $p_{n}$ la probabilit\'e conditionnelle de l'\'ev\`enement A sachant que $J_{n}$ est r\'ealis\'e. \'Etablir que :

\[p_{n} = \dfrac{3^{50 - n}}{3^{50 - n} + 2^{ 50}}.\]

\item  Pour quelles valeurs de $n$ a-t-on $p_{n} \geqslant  0,9$ ?\\
 Comment peut-on interpr\'eter ce r\'esultat ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}







\exot{}

Pour r\'ealiser une enqu\^ete, un employ\'e interroge des personnes prises au hasard dans une galerie commerçante. Il se demande si trois personnes au moins accepteront de r\'epondre.
\begin{enumerate}
\item  Dans cette question, on suppose que la probabilit\'e qu'une personne choisie au hasard accepte de r\'epondre est 0,1. L'employ\'e interroge 50 personnes de mani\`ere ind\'ependante. On consid\`ere les \'ev\`enements :\\
 A : \og au moins une personne accepte de r\'epondre \fg \\
 B : \og moins de trois personnes acceptent de r\'epondre \fg\\  
 C : \og trois personnes ou plus acceptent de r\'epondre \fg .\\
Calculer les probabilit\'es des \'ev\`enements A, B et C. On arrondira au milli\`eme.
\item 	Soit $n$ un entier naturel sup\'erieur ou \'egal \`a 3. Dans cette question, on suppose que la variable al\'eatoire $X$ qui, \`a tout groupe de $n$ personnes interrog\'ees ind\'ependamment, associe le nombre de personnes ayant accept\'e de r\'epondre, suit la loi de probabilit\'e d\'efinie par :
 \[\left\{\begin{array}{l}
\text{Pour tout entier}~ k~ \text{tel que}~ 0 \leqslant  k \leqslant n -1,~ P (X = k) = \dfrac{\text{e}^{-a}a^k}{k !}\\
\text{et}~ P(X = n) = 1 - \displaystyle\sum_{k=0}^{n-1}\dfrac{\text{e}^{-a}a^k}{k !},\\
\text{formules dans lesquelles}~ a = \dfrac{n}{10}\\
 \end{array}\right.\]
\begin{enumerate}
\item Montrer que la probabilit\'e qu'au moins trois personnes r\'epondent est donn\'ee par :

\[f(a) = 1 - \text{e}^{-a}\left(1 + a + \dfrac{a^2}{2}\right).\]
\item 	Calculer $f(5)$. En donner l'arrondi au milli\`eme. Cette mod\'elisation donne-t-elle un r\'esultat voisin de celui obtenu \`a la question 1 ?
\end{enumerate}
\item 	On conserve le mod\`ele de la question 2. On souhaite d\'eterminer le nombre minimum de personnes \`a interroger pour que la probabilit\'e que trois d'entre elles au moins r\'epondent soit sup\'erieure ou \'egale \`a 0,95.
\begin{enumerate}
\item \'Etudier les variations de la fonction $f$ d\'efinie sur $\R^{+}$ par 
\[f(x) = 1 - \text{e}^{-x}\left(1 + x + \dfrac{x^2}{2}\right).\] 
ainsi que  sa limite en $+ \infty$. Dresser son tableau de variations.
\item  Montrer que l'\'equation $f(x) =  0,95$ admet une solution unique sur $\R^{+}$, et que cette solution	est comprise entre $6,29$ et $6,3$.
\item 	En d\'eduire le nombre minimum de personnes \`a interroger.
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{}



 \emph{La sc\`ene se passe en haut d'une falaise au bord de la mer. Pour trouver une plage et aller se baigner, les touristes ne peuvent choisir qu'entre deux plages, l'une \`a l'Est et l'autre \`a l'Ouest.}\\\\
\textbf{ A -} Un touriste se retrouve deux jours cons\'ecutifs en haut de la falaise. Le premier jour, il choisit au hasard l'une des deux directions. Le second jour, on admet que la probabilit\'e qu'il choisisse une direction oppos\'ee \`a celle prise la veille vaut 0,8.\\
Pour $i = 1$ ou $i = 2$, on note E$_{i}$ l'\'ev\`enement : \og Le touriste se dirige vers l'Est le $i$-\`eme jour\fg~  et O$_{i}$ l'\'ev\`enement : « Le touriste se dirige vers l'Ouest le $i$-\`eme jour ». 

\begin{enumerate}
\item Dresser un arbre de probabilit\'es d\'ecrivant la situation.

\item D\'eterminer les probabilit\'es suivantes : $p(\text{E}_{1})$ ; $p_{\text{E}_{1}} (\text{O}_{2})$ ; $p(\text{E}_{1}\cap \text{E}_{2})$ .

\item Calculer la probabilit\'e que ce touriste se rende sur la m\^eme plage les deux jours cons\'ecutifs.
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}
\textbf{B -} On suppose maintenant que $n$ touristes ($n \geqslant  3$) se retrouvent un jour en haut de la falaise. Ces $n$ touristes veulent tous se baigner et chacun d'eux choisit au hasard et ind\'ependamment des autres l'une des deux directions.\\
On note $X$ la variable al\'eatoire donnant le nombre de ces touristes qui choisissent la plage \`a l'Est.

\begin{enumerate}
\item D\'eterminer la probabilit\'e que $k$ touristes ($0\leqslant k\leqslant n$) partent en direction de l'Est.

\item On suppose ici que les deux plages consid\'er\'ees sont d\'esertes au d\'epart. On dit qu'un touriste est \emph{heureux} s'il se retrouve seul sur une plage. 
\begin{enumerate}
\item Peut-il y avoir deux touristes heureux?

\item D\'emontrer que la probabilit\'e (not\'ee $p$) qu'il y ait un touriste \emph{heureux} parmi ces $n$ touristes  vaut : $p=\dfrac{n}{2^{n-1}}$.

\item \textbf{Application num\'erique :}\\
Lorsque le groupe comprend 10 personnes, exprimer la probabilit\'e, arrondie au centi\`eme, qu'il y ait un touriste heureux parmi les 10. 

\end{enumerate}
\end{enumerate}

% \newpage

\nocite{*}
\bibliography{VarAlea}


% \input{LoiBin.tex}

\end{document}
