

\documentclass[10pt,a4paper,fourier]{polymaths}
\renewcommand\thesubsection{}

\entete{\textbf{\NomChap\ } - \NomSection }{ \NoLecon\   Aventure\  - \NomLecon}{Lycée Jean Perrin - TS }

\graphicspath{{/home/moi/Alice/figures3/}{/home/moi/Alice/figures3/newcourbes/}{/home/moi/Alice/figures/}{/home/moi/Photos/TSX/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/newcourbes/}{/home/moi/Lycee/TS/figures/}}

\begin{document}

\thispagestyle{empty}
\setlength{\parindent}{0mm}


\LECOND{XVI}{Seizième}{LOI DE PROBABILIT\'E }{DISCRÈTE}{LOI DE PROBABILIT\'E DISCRÈTE - VARIABLE ALÉATOIRE}{dice.ps}


%{Loi de probabilité discrète - Variable aléatoire}
 \setlength{\parindent}{0pt}
%\Large{\textbf{\maketitle}}

\bigskip\bigskip


\begin{Abstract}

Historiquement, les calculs de probabilités ont été tout d'abord
utilisés pour étudier l'argent que pouvaient espérer gagner les
princes au jeu.

De nos jours, ces calculs sont abondamment utilisés en physique,
en chimie, en biologie, en économie, en démographie, etc. Malgré
tout, le vocabulaire employé reste lié au jeu.

Nous découvrirons surtout la notion de \textbf{variable aléatoire} que nous retrouverons lors de l'étude des probabilités à densité.

\end{Abstract}

\SECTION{UN EXEMPLE POUR D\'ECOUVRIR}{Un exemple pour découvrir}
%
% Le PDG d'une société en faillite frauduleuse possède
% officiellement trois toiles de maîtres, mais il en a en fait
% cinq~: un Picasso, un Goya, un Malevitch, un Zurbaran et un
% Velasquez, valant respectivement 30, 30, 40, 80 et 60 millions
% d'euros.
%
% L'huissier, piètre amateur d'art, saisit trois toiles au hasard.
%
% On note $X$ la $fonction$ qui va de l'univers $\Omega$ de l'ensemble
%  des combinaisons de trois tableaux, dans $\bbr$, et qui à une
%  combinaison de trois tableaux associe sa valeur en euros.
% \been
% \item Décrivez $\Omega$, c'est à dire, donnez l'ensemble des
% combinaisons de trois tableaux.
% \item Calculez les probabilités correspondant à chacune de ces
% saisies.
% \item Regroupez ces résultats dans un tableau de valeurs.
% \item Compte-tenu de l'aspect aléatoire de la saisie, on peut
% envisager de calculer la valeur moyenne des saisies. Cela pose
% pourtant un problème~: lequel~?
% \item C'est pour cela qu'on ne parle pas de moyenne, mais
% d'\textit{espérance mathématique} qui correspond en fait à une
% sorte de moyenne où les valeurs $x_i$ prises par la fonction $X$
% que nous appellerons \textit{variable aléatoire} (notez le gros
% piège~: $X$ est une fonction mais s'appelle variable~: comme si
% on n'avait pas assez de problèmes comme ça~!) seront affectées du
% coefficient $p_i$, probabilité correspondante.
%
% Calculez alors $E(X)$.
%\een


L'éducation coûte trop cher. Afin de réaliser des économies, le
gouvernement syldave  a décidé de se passer à la fois de
correcteurs et d'élèves. Tout est simulé dans les bureaux du
ministère, le but étant d'obtenir une moyenne nationale
satisfaisante à présenter aux investisseurs étrangers qui se
rueront en Syldavie pour profiter d'une main d'\oe uvre aussi
qualifiée.

 Le candidat virtuel jette un dé virtuel~: s'il sort un 6, il a 20, s'il
tombe sur un autre numéro pair il a 10, s'il tombe sur un numéro
impair, il a 5.

Quelle moyenne nationale peut \textsl{espérer} obtenir le
ministre~? Cette moyenne est-elle une moyenne~? Cette moyenne
sera-t-elle effectivement atteinte~?

\sm

Les derniers syldaves touchant  un salaire pour leur travail
coûtent encore trop cher aux entreprises. Un nouveau système de
rémunération a donc été mis au point par l'ancien ministre de
l'éducation syldave installé aujourd'hui au ministère des
finances.

Pour garder son emploi, le salarié doit chaque mois verser 1000
neurones à l'entreprise puis doit lancer un dé. S'il sort un 6, il
touche 3000 neurones~: les 1000 versés au départ par le salarié
plus 2000 versés par l'entreprise. Dans les autres cas,
l'entreprise garde les 1000 neurones.

Quelle salaire un employé peut-il espérer toucher~?

Que se passera-t-il si l'entreprise propose 5000 neurones au lieu
des 2000~? Et si elle propose 1\,000\,000\,000 de neurones avec un
dé à 100 faces pour un versement initial de 1\,000\,000 de
neurones~?






 \break

\SECTION{LA TH\'EORIE}{La théorie}

Vous vous souvenez que l'$univers$ probabilisable, souvent noté
$\Omega$, est constitué de toutes les <<~éventualités~>> ou
<<~issues~>> d'une expérience aléatoire.

Avant de parler de lois de probabilités, penchons nous sur le
terme \textit{discrètes}~: il traduit le fait que l'on peut
<<~dénombrer~>> chacune des issues; on peut leur donner un numéro.
Nous étudierons plus tard dans l'année des lois de probabilité
$continues$~: on ne pourra pas donner un numéro à chacune des
issues; par exemple, on ne peut pas compter tous les nombres réels
compris entre 2 et 3.

\ENC{\Def \ \ Variable aléatoire}{ Soit $\Omega=\{\omega_1,\omega_2,\cdots,\omega_n\}$ un
univers muni d'une probabilité. On appelle \textbf{variable
aléatoire} toute fonction de $\Omega$ dans $\bbr$.}

\medskip

Soit $x_1,\cdots,x_k$ les différentes valeurs prises par la
fonction $X$.

On note $\{X=x_i\}$ l'événement <<~la variable aléatoire prend la
valeur $x_i$~>>. Il se note rigoureusement $\{\omega\in\Omega\  |\
X(\omega)=x_i\}$, ce qui se lit <<~l'ensemble des $\omega$ tels
que $X(\omega)=x_i$~>>.



\ENC{\Def\ \ Loi de probabilité}{ Soit $(\Omega,p)$ un univers  muni d'une probabilité $p$
et $X$ une variable aléatoire sur $\Omega$. On appelle \textbf{loi
de probabilité} de $X$ la fonction $\f$ de $\bbr$ dans $[0,1]$
définie par
$$\f~:\ x\mapsto p(X=x)$$}




\smallskip


Remarque~: si $x\not\in \Omega$, alors $(X=x)=\emptyset$ et donc
$p(X=x)=0$.

Définir \textit{la loi de probabilité d'une expérience aléatoire}
reviendra donc à~: \bel \item déterminer toutes les valeurs
possibles $x_1,\cdots,x_n$ prises par $X$; \item calculer les
probabilités $p_1,\cdots,p_n$ des événements correspondants; \item
regrouper les résultats dans un tableau du type

\smallskip

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
Valeurs prises par $X$ & $x_1$ & $x_2$ & $\cdots$ & $x_n$ \\
\hline Probabilité correspondante $p(X=x_i)$  & $p_1$ & $p_2$ & $\cdots$ & $p_n$ \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\el

\smallskip

Vous n'oublierez pas de vérifier que $p_1+\cdots+p_n=1$ d'après le
principe des probabilités totales.


\smallskip

\ENC{\Def\ \ Espérance mathématique}{On appelle \textbf{espérance mathématique} de la variable
aléatoire $X$ le nombre noté $\bbe(X)$ défini par
$$\bbe(X)=x_1\times p(X=x_1)+x_2\times p(X=x_2)+\cdots+x_n\times
p(X=x_n)=\ds\sum_{i=1}^nx_i\cdot p(X=x_i)$$}


\begin{description}
\item[La même chose sous un autre angle] :
puisque nous n'étudierons que des situations où l'univers n'est constitué que d'un nombre fini d'éléments, nous pouvons l'écrire sous la forme 
\[ \Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n \big\}\]
C'est ce que nous faisons en pratique : pour décrire le comportement d'une variable aléatoire, nous étudions son action sur chaque événement élémentaire.
Ces événements élémentaires formant une partition de l'univers, on  a 

\ENC{\Thm\ \ Espérance mathématique : autre formulation}{Soit $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\dots,\omega_n \big\}$ l'univers. On a
$$\bbe(X)=\ds\sum_{i=1}^nX(\o_i)\cdot p(\o_i)$$}

\item[Exemple] : on lance un dé honnête. On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 2 si le numéro du dé est pair et 1 sinon.

Notons $\omega_i$ l'événement \og le  numéro de la face est $i$ \fg, alors $\Omega=\big\{\omega_1,\omega_2,\omega_3,\o_4,\o_5,\omega_6 \big\}$
et 

\sm

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{5}}
\whline $i$ & 1&2&3&4&5&6\\
\whline $p(\o_i)$ & 1/6 & 1/6& 1/6& 1/6& 1/6& 1/6\\
\whline $X(\o_i)$ & 1&2&1&2&1&2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\sm

D'après le théorème précédent, on a $\bbe(X)=1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}+1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}+1\times \fr{1}{6}+2\times \fr{1}{6}=\fr{3}{2}$

\medskip

Nous aurions pu procéder autrement pour définir la loi de probabilité

\sm

\begin{center}
\begin{tabularx}{.75\textwidth}{Y{1}}
\whline
Valeurs prises par X &1&2\\
\whline
Probabilité correspondante $p(X=x_i)$ & 1/2 &1/2\\
\whline
\end{tabularx}
\end{center}

\sm

alors, d'après la définition, $\bbe(X)=1\times \ud+2\times \ud=\fr{3}{2}$


\end{description}

\smallskip

\SUBSECTION{Variance}

La variance mesure l'<<~écart~>> par rapport à l'espérance en faisant la somme  des carrés  des \og distances \fg entre chaque valeur prise par la variable aléatoire et l'espérance pondérés par la probabilité correspondante, ce qui donne  

\ENC{\Def    \ \ Variance}{\[\bbv(X)=\ds\sum_{i=1}^n\big(x_i-\bbe(X)\big)^2\cdot p(X=x_i)\]}\label{var}

\begin{description}
\item[Remarque] : on a choisi d'utiliser les carrés de manière arbitraire pour ne pas avoir de problèmes de signes; on aurait pu choisir une autre méthode, mais celle-ci a l'avantage de rappeler la distance euclidienne bien connue. La variance est en ce sens homogène au carré d'une distance. On va donc définir une distance proprement dite en en prenant la racine carrée : c'est ce qu'on appelle l'écart-type.
\end{description}

\ENC{\Def   \ \ \'Ecart-type}{\[\sigma(X)=\sqrt{\bbv(X)}\]}

\begin{description}
\item[Remarque] : vous pouvez obtenir espérance, variance et écart-type très simplement à l'aide des modules statistiques de vos calculatrices. Il suffit de rentrer les valeurs prises par la variable aléatoire en liste 1, les probabilités correspondantes en liste 2.
\end{description}


\SUBSECTION{Linéarité de l'espérance}

À partir de variables aléatoires existantes, on peut en créer de nouvelles.

 Avec des notations usuelles on obtient 
\bel
\item $aX+b$ : $\o_i\mapsto aX(\o_i)+b$ avec $a$ et $b$ des réels.
\item $X+Y$ : $\o_i\mapsto X(\o_i)+Y(\o_i)$
\el

À l'aide du théorème 2, démontrez les propriétés suivantes :

\ENC{\Props}{\bel
\item $\bbe(aX+b)=\ds\sum_{i=1}^n(ax_i+b)\times p(X=x_i)=a\bbe(X)+b$
\item $\bbe(X+Y)=\bbe(X)+\bbe(Y)$
\el
}

\begin{description}
\item[Exemple] : on lance deux dés honnêtes. On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur 2 si le numéro du premier dé est pair et 1 sinon et la variable aléatoire $Y$ qui prend la valeur 2 si le numéro du deuxième dé est pair et 1 sinon. On note $Z=X+Y$. Définissez les lois de probabilité respectives  de X, Y et Z et calculez les espérances et les variances associées.
\end{description}









\SECTION{DES EXERCICES POUR METTRE EN PRATIQUE}{Des exercices pour
mettre en pratique}


\exot{Manipulation de formules}
Montrez que $\bbv(X)=\bbe\big(X^2\big)-\big(\bbe(X)\big)^2$


\exot{Espérance vs écart-type : les dés}

On lance deux dés honnêtes. On note X la variable aléatoire qui donne le plus grand des numéros obtenus et Y celle qui donne le plus petit.

Donnez les lois de chacune des deux variables ainsi que les espérances et les variances.

\exot{Espérance vs écart-type : la roulette.}

Une roulette contient 36 cases numérotées de 1 à 36 dont 18 sont rouges et 18 sont noires, plus une case numérotée 0 de couleur verte.

Un joueur qui mise sur la couleur rouge ou noire gagne deux fois sa mise si la couleur choisie sort.

Un joueur qui mise sur un numéro de 1 à 36 gagne 36 fois sa mise si le numéro sort.

Il est interdit de miser sur le zéro.

\been

\item Un joueur mise $a$ \texteuro\  sur une couleur. Soit $C$ la variable aléatoire correspondant au gain associé. Trouvez la loi de $C$ puis calculez $\bbe(C)$ et $\sigma(C)$.

\env{$\sigma(C)=\fr{6a\sqrt{38}}{37}$}

\item Un joueur mise $a$ \texteuro\  sur un numéro. Soit $N$ la variable aléatoire correspondant au gain associé. Trouvez la loi de $N$ puis calculez $\bbe(N)$ et $\sigma(N)$.

\env{$\sigma(N)=\fr{216a}{37}$}

\item Vaut-il mieux miser sur une couleur ou un numéro ?

\een





\exot{Compétition syldave}

Prschtr, le champion syldave de danse sous-marine nocturne en scaphandre de 150 kg est inquiet avant la finale. Trois de ses figures l'inquiètent. La probabilité de  réussir la première est de 0,95, la deuxième de 0,93 et la troisième de 0,9.

On suppose que le moral de Prschtr est à toute épreuve et les réussites de ses figures sont indépendantes.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que Prschtr réussisse ses trois figures ?
\item Quelle est la probabilité d'en manquer une seule ?
\item D'en manquer deux ?
\item De manquer les trois ?
\item Dresser alors le tableau de la loi de probabilité de la variable aléatoire X donnant le nombre de sauts réussis. Claculer $\bbe(X)$ et $\sigma(X)$.
\item Manquer la première figure fait perdre 0,2 point et la deuxième ou la troisième 0,1 point. Les pénalités s'ajoutent.

Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y donnant le total des points de pénalités ? Calculer $\bbe(Y)$ et $\sigma(Y)$.

\end{enumerate}



\exot{Crise du logement Syldave} Le ministre syldave du logement doit faire face à une
surpopulation syldave galopante. Il propose donc le jeu suivant à
la population~:

le ministre dispose d'un pistolet à six coups chargé de trois
balles. Le joueur tire jusqu'à ce qu'une balle vienne frapper sa
boîte crânienne, le ministre faisant tourner le barillet entre
chaque essai. Si la tête du candidat explose dès le premier coup,
l'\'Etat verse 2 neurones à la famille du défunt et le jeu
s'arrête; si c'est au deuxième coup, la famille reçoit 4 neurones;
si le bang arrive au troisième coup, le ministre débourse $2^3$
neurones, etc.

\been

\item Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le gain en neurones de la famille.
Montrez que l'espérance mathématique est infinie et que donc
chaque syldave a intérêt à jouer...

\item Que se passe-t-il si le ministre ne dispose que de
$1\,000\,000$ de neurones~? Quelle participation le ministre
peut-il alors demander pour rentrer dans ses frais~?

\een


\exot{Aviation syldave} On considère les deux avions de la compagnie Syldavian Death
Air~: un biréacteur $B$ et un triréacteur $T$.

 On suppose que tous les moteurs sont identiques, ont la même
probabilité $p$ de tomber en panne sur une période donnée et
qu'ils sont indépendants.

Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre de réacteurs
tombant en panne sur $B$ et $Y$ celle qui donne le nombre de
réacteurs tombant en panne sur $T$.

\been

\item Donnez les lois de probabilité de $X$ et $Y$ en fonction de
$p$. \textsl{(Pour résoudre ce problème d'avions, on pourra
s'aider d'arbres.)}

\item Calculez les espérances mathématiques correspondantes.

\item $B$ a besoin d'au moins un réacteur, sinon il tombe au
milieu de l'océan; $T$ a lui besoin de deux réacteurs pour arriver
à destination. \been
\item Calculez, en fonction de $p$, la probabilité $P_B$ que le
biréacteur traverse l'océan sans encombre. \item Calculez la
probabilité correspondante $P_T$ pour $T$. \item Dans quel avion
préférez-vous monter pour traverser l'océan~? \een \een


\SECTION{PARADOXE~?}{Paradoxe~?}

\exot{Paradoxe syldave} Le problème est simple : prenons deux boîtes identiques A et
B dont l'une contient deux fois plus  de balles de revolver que
l'autre, mais vous ignorez laquelle. La situation est donc
totalement symétrique. Pourtant un expert, qui ignore également
quelle est la boîte la mieux lotie en balles de revolver, affirme
au ministre syldave qu'il faut choisir la boîte B ! Son
raisonnement semble imparable : soit $n$ le nombre de balles de
revolver dans la boîte A, alors la boîte B en contient soit $2n$,
soit $n/2$ avec à chaque fois une probabilité de 1/2. Donc on peut
calculer l'espérance mathématique du nombre de balles de revolver
dans la boîte B.
$$\bbe=     $$
Stupeur ! Il vaut mieux choisir la boîte B. Or nous aurions pu
tenir exactement le même raisonnement en inversant les rôles de A
et B pour aboutir à la conclusion inverse. Nous aboutissons à un
magnifique paradoxe. Quel est le problème~?

\begin{flushright}\rotatebox{180}{Supposez qu'il y a cinq balles dans A}\end{flushright}


\exot{Hasard ?} Un ordinateur affiche un nombre entier à l'écran de manière
aléatoire. Peut-il y avoir équiprobabilité dans le choix de cet
entier~?\label{equin}

\exot{Élection syldave} En Syldavie, l'élection présidentielle se joue à la cravate.
Le candidat qui a la moins longue cravate devient ipso facto
président de la République syldave et garde la cravate de son
adversaire.

La veille de l'élection, le candidat Joe Max Bill Pol réfléchit,
allongé dans son lit : <<~ma cravate a pour longueur L. Si ma
cravate est la plus longue, ce qui a une chance sur deux de se
produire, je la perds, donc je perds une cravate de longueur L.
Sinon, je gagne la cravate de l'autre qui est plus longue que L.
Donc une fois sur deux je perds L et une fois sur deux je gagne
plus que L. Mon espérance est donc positive donc je suis
confiant~>>. Son adversaire tient bien sûr le même raisonnement...








\exot{Le modèle fait la probabilité}

Encore un problème stupide ~: \textsl{Dans un parc il y a trois
bancs à deux places. Roger et Ginette vont s'asseoir  <<~au
hasard~>>. Quelle est la probabilité qu'ils se retrouvent sur le
même banc~?}

On parle de <<~hasard~>>, donc d'équiprobabilité, mais de quelles
issues~: les bancs ou les places~? C'est souvent le problème des
calculs de probabilités~: pour un même problème, plusieurs modèles
peuvent être utilisés pour arriver à des résultats parfois
différents.

Ici, montrer que, selon le modèle choisi, la réponse peut-être 1/3
ou 1/5. Y a-t-il un modèle plus pertinent~?

Il sera donc important de préciser le modèle choisi avant tout
calcul.












\exot{Quelques notions sur les sommes de variables aléatoires}

Ce n'est pas vraiment au programme... mais si vous jetez un coup d'\oe il sur l'exercice~\ref{ope} page~\pageref{ope} qui vient de tomber au Bac et par expérience, mieux vaut être prudent...
\sm








\SECTION{BAC}{Bac}

\exot{}
Un fabricant d'\'ecrans plasma teste une premi\`ere fois ses appareils  \`a la sortie de la chaîne de
fabrication.

\noindent Si le test est positif (c'est- \`a-dire si l'\'ecran fonctionne correctement),  l'\'ecran est achemin\'e chez le client. Sinon l'\'ecran retourne en usine où il est r\'epar\'e puis test\'e une seconde fois. Si ce deuxi\`eme test est positif, l'\'ecran est achemin\'e chez le client, sinon il est d\'etruit.

\noindent  Une \'etude statistique  a permis de montrer que le test est positif pour $70\,\%$ des \'ecrans neufs sortis directement des cha\^{\i}nes de fabrication, mais que parmi les \'ecrans r\'epar\'es, seulement $65\,\%$ d'entre eux  passent le second test avec succ\`es.

\noindent On note T$_{1}$ l'\'ev\`enement : \og  le premier test est positif \fg{}.

\noindent On note C l'\'ev\`enement : \og l'\'ecran  est achemin\'e chez le client \fg{}.

\begin{enumerate}\item On choisit un \'ecran au hasard \`a la sortie de la chaîne de fabrication.

 D\'eterminer les probabilit\'es des \'ev\`enements T$_{1}$, et C.
 
\item La fabrication d'un \'ecran revient \`a $1\,000$ \eurologo~au fabricant si l'\'ecran n'est test\'e qu'une fois.
 
  Cela lui coûte 50 \eurologo~ de plus si l'\'ecran doit \^etre test\'e une seconde fois.
  
   Un \'ecran est factur\'e $a$ euros ($a$ \'etant un r\'eel positif) au client.
   
On introduit la variable al\'eatoire $X$ qui,  \`a chaque \'ecran fabriqu\'e, associe le \og gain \fg{}  (\'eventuellement n\'egatif)  r\'ealis\'e par le fabricant.
   
\begin{enumerate}\item  D\'eterminer la loi de probabilit\'e de $X$ en fonction de $a$. 

\item Exprimer l'esp\'erance de $X$ en fonction de $a$. 

\item À partir de quelle valeur de $a$, l'entreprise peut-elle esp\'erer r\'ealiser des b\'en\'efices ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\newpage


\input{LoiBin.tex}

\end{document}
