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\begin{minipage}{\textwidth}
\smallskip
\begin{center}
{\LARGE\bfseries 
 T\textsuperscript{ale}STI GE - Mathématiques - DS n°5}

\smallskip

Mercredi 21 mars 2007
\end{center}
\end{minipage}
}
\vspace{1cm}


\exot{}

\noindent \textbf{\gray Partie A}

On consid\`ere la fonction $g$ d\'efinie sur $\R$ par :

\[g(x) = (x-3)\text{e}^{-x} -  1\]

\begin{enumerate} \item \'Etudier les variations de $g$ (on ne demande pas les
 limites en  $+ \infty$ et en $- \infty$).

\item Calculer $g(4)$ et en d\'eduire le signe de $g$ sur $\R$.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie  B}

Soit la fonction $f$ d\'efinie sur $\R$ par 

\[f(x) = (2 - x)\text{e}^{-x} - x + 3.\]

et $\mathcal{C}$ sa courbe repr\'esentative dans le plan muni d'un rep\`ere
 orthonormal\\ \oij~  d'unit\'e graphique 2 cm.

\begin{enumerate} \item Calculer les limites de la fonction $f$ en $+ 
\infty$ et en $- \infty$.

\item \begin{enumerate} \item  Calculer la d\'eriv\'ee $f'$ de la fonction $f$.

\item D\'eduire \`a l'aide de la \textbf{partie A} les variations de la fonction 
$f$.

\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Montrer que la droite $\mathcal{D}$ d'\'equation 
$y = -x + 3$  est asymptote \`a la courbe $\mathcal{C}$  en $+ \infty$.

\item \'Etudier, suivant les valeurs de $x$, la position de $\mathcal{C}$ par
 rapport \`a la droite $\mathcal{D}$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Montrer que l'\'equation $f(x) = 0$ admet une 
solution unique $\alpha$, appartenant \`a l'intervalle [2 ; 3].

\item Donner un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $10^{-1}$.

\end{enumerate}

\item Tracer la droite $\mathcal{D}$ et la courbe $\mathcal{C}$ dans le plan
 muni du rep\`ere orthonormal \oij.

\item La fonction $h$ est d\'efinie sur $\R$ par $h(x) = (2 - x)\text{e}^{-x}$.

D\'eterminer les r\'eels $a$ et $b$ pour que la fonction $H$ d\'efinie 
par \mbox{$H(x) = (ax+b)\text{e}^{-x}$} soit une primitive de la fonction $h$ 
sur $\R$.



\end{enumerate}




\exot{}

Dans le plan complexe muni d'un rep\`ere orthonormal \ouv~d'unit\'e 
graphique 2 cm, on consid\`ere les points A,B et C d'affixes respectives 
$z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ d\'efinies par :

\[z_{\text{A}} =2 + 2\text{i}\quad ;\quad  z_{\text{B}} = -2 + 
2\text{i}\quad ;\quad  z_{\text{C}} = -\sqrt{3} + \text{i}.\]

o\`u i d\'esigne le nombre complexe de module 1 et d'argument $\dfrac{\pi}{2}$.

\begin{enumerate} \item  D\'eterminer le module et un
 argument de chacun des nombres complexes $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$  et 
 $z_{\text{C}}$.


\item \begin{enumerate} \item Calculer $\left|z_{\text{A}} - 
z_{\text{B}}\right|^2,~ \left|z_{\text{B}} - z_{\text{C}}\right|^2$ et
$\left|z_{\text{A}} - z_{\text{C}}\right|^2$, puis interpr\'eter 
g\'eom\'etriquement les trois modules.

\item En d\'eduire la nature du triangle ABC.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\end{document}


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