\documentclass[xcolor=hyperref,hyperef={naturalnames,pdfpagelabels},french,envcountsect
]{beamer}
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% \usepackage{cclicenses}
% \usepackage{cclicence}


\setlength{\columnseprule}{0pt}

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\newcommand\xc{\lstset{numbers=none,language=XCAS,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{orange!40}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!90!red},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}
}


\newcommand\caml{
\lstset{numbers=none,language=Caml,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{blue!40}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily\color{white},commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,breaklines=true,backgroundcolor=\color{black!90!blue},frame=trBL,framerule=1pt,framesep=4pt,rulesep=1pt,showstringspaces=false,stringstyle=\slshape,captionpos=b}
}
\renewcommand\FancyVerbFormatLine[1]{\colorbox{green}{#1}}

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{
  \usetheme[secheader]{Madrid}
  % or ...Warsaw

  \setbeamercovered{highly dynamic}
  % or whatever (possibly just delete it)
}
\usepackage{elephantbird}



\begin{document}


\title[] % (optional, use only with long paper titles)
{Utiliser les mathématiques pour résoudre quelques problèmes simples}

\subtitle{ }

\author[] % (optional, use only with lots of authors)
{Guillaume CONNAN  }
% - Give the names in the same order as the appear in the paper.
% - Use the inst{?} command only if the authors have different
%   affiliation.

\institute{ Lycée Jean Perrin}% (optional, but mostly needed)

%\logo{\includegraphics[scale=0.15]{big_connan}}

\date[] % (optional, should be abbreviation of conference name)
{\today}
% - Either use conference name or its abbreviation.
% - Not really informative to the audience, more for people (including
%   yourself) who are reading the slides online

\subject{ }


\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}

% \AtBeginSubsubsection[]
% {
%   \begin{frame}<beamer>
%     \frametitle{Sommaire}
%  {\scriptsize
% \begin{multicols}{2}
%     \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%        \end{multicols}
% }

%   \end{frame}
% }




% \AtBeginSubsection[]
% {
%   \begin{frame}<beamer>
%     \frametitle{Sommaire}
%  {\scriptsize
% \begin{multicols}{2}
%     \tableofcontents[currentsection,currentsubsection]
%        \end{multicols}
% }

%   \end{frame}
% }





\AtBeginSection[]
{
  \begin{frame}<beamer>
    \frametitle{Sommaire}
 {\scriptsize
\begin{multicols}{2}
    \tableofcontents[currentsection]
       \end{multicols}
}

  \end{frame}
}


% If you wish to uncover everything in a step-wise fashion, uncomment
% the following command: 

\beamerdefaultoverlayspecification{<+->}







\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% \begin{frame}
%  \frametitle{Sommaire}
% {\scriptsize
% \begin{multicols}{2} 
%  \tableofcontents
% \end{multicols}
% }

 
%  \end{frame}

\section{Première énigme}

\begin{frame}
  Robert et  Marcel ont chacun une calculatrice.  Pendant la récréation,
  ils tapent le même nombre sur leur calculatrice.

\pause

\smallskip


Ensuite, Robert appuie sur les touches suivantes:

\pause


\keystroke{$\times$}\pause   \keystroke{2}   \pause\keystroke{$+$}\pause
\keystroke{3}\pause\keystroke{Entrée}


\pause
\smallskip

alors que Marcel tape:


\keystroke{$-$}\pause   \keystroke{2} \pause\keystroke{Entrée}  \pause\keystroke{$\times$}\pause
\keystroke{4}\pause\keystroke{$+$}\pause
\keystroke{8}\pause\keystroke{Entrée}

\pause
\smallskip

Incroyable! Ils obtiennent le même résultat...

\pause


Quel nombre ont-ils pu bien choisir?...

\end{frame}



\section{Deuxième énigme}

\begin{frame}

À  la récréation  suivante,  nos deux  amis  délaissent leurs  camarades
(d'ailleurs  ils tapotent tous  sur leurs  portables avec  les écouteurs
dans les oreilles alors de toute façon..) et continuent à jouer.

\pause

Ils choisissent un nouveau nombre.




\smallskip


Ensuite, Robert appuie sur les touches suivantes:

\pause


\keystroke{$\times$}\pause   \keystroke{3}   \pause\keystroke{$+$}\pause
\keystroke{5}\pause\keystroke{Entrée}


\pause
\smallskip

alors que Marcel tape:


\keystroke{$+$}\pause   \keystroke{1} \pause\keystroke{Entrée}  \pause\keystroke{$\times$}\pause
\keystroke{1}\pause\keystroke{0}\pause\keystroke{$-$}\pause
\keystroke{1}\pause\keystroke{0}\pause\keystroke{Entrée}

\pause
\smallskip

Incroyable! Ils obtiennent encore le même résultat...

\pause


Quel nombre ont-ils pu bien choisir cette fois-ci?...

\end{frame}



\section{Troisième énigme}


\begin{frame}
  
Ginette et Marie-Françoise essaient de  rentrer en contact avec Robert et Marcel
et jouent dans ce but au même jeu.



\pause

Elles choisissent un  nombre.




\smallskip


Ensuite, Ginette appuie sur les touches suivantes:

\pause


\keystroke{$\times$}\pause   \keystroke{2}   \pause\keystroke{$+$}\pause
\keystroke{3}\pause\keystroke{Entrée}


\pause
\smallskip

alors que Marie-Françoise tape:


\keystroke{$-$}\pause   \keystroke{2} \pause\keystroke{Entrée}  \pause\keystroke{$\times$}\pause
\keystroke{5}\pause\keystroke{$+$}\pause
\keystroke{8}\pause\keystroke{Entrée}

\pause
\smallskip

Époustouflant! Elles obtiennent elles aussi le même résultat...

\pause


Quel nombre ont-elles pu bien choisir?...

\end{frame}



\section{Quatrième énigme}

\begin{frame}


L'écossais  Henry \textsc{Rhind}  découvrit  en 1858  près de  l'antique
ville égyptienne de Thèbes ce papyrus qui porte depuis son nom:

\pause

\pagecolor{white}
%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[width=\linewidth]{papyrus_rhind.jpg}
\end{center}
%\end{figure}
\end{frame}


\begin{frame}



Il fut écrit en écriture  \textit{hiératique} vers 1650 ans avant JC par
le scribe AHMÈS.

\pause Il contient  87 problèmes mathématiques dont la  plupart sont issus
de travaux babyloniens datant de 2000 avant JC.


\pause


Résolvez le 31\up{e} problème:

\bigskip


\textit{
\og 
Une quantité, ses deux-tiers, son demi, son septième ajouté devient 33.
\fg{}
}
 
\pause

et le 29\up{e}:


\bigskip

\textit{
\og 
Ajoute  les deux-tiers, ajoute  le tiers,  retranche les  deux-tiers, il
reste dix.
\fg{}
}

\end{frame}





\begin{frame}
Avant le  développement des écritures modernes en  algèbre, on utilisait
souvent la \textit{méthode de la fausse position}.

\pause

Il s'agissait de  prendre un nombre au hasard à la  place de la quantité
cherchée et  de noter le  résultat obtenu. À  l'aide d'une \og  règle de
trois\fg{}, on trouvait alors la quantité cherchée.

\pause

Par exemple, pour le 31\up{e} problème:

\pause

Prenons 42

\pause

Ajoutons ses deux-tiers : $21+\frac{2}{3}\times 42=\pause 21+28=49$


\pause


ajoutons le demi: $49+\frac{1}{2}\times 42=\pause 49+21=70$

\pause


ajoutons le septième: $70+\frac{1}{7}\times 42=\pause 70+6=76$

\pause

Le résultat est alors $$\frac{33}{76}\times 42$$


\pause

POURQUOI?
\end{frame}



\section{Naissance de l'algèbre}




\begin{frame}


Voici notre héros

\begin{otherlanguage}{farsi}
أبو عبد الله محمد بن موسى الخوارزمي
\end{otherlanguage}



%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=5cm]{al-khwarizmi}
\end{center}
%\end{figure}


\pause

ou si vous préférez 

Abu 'Abdallah Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi

\end{frame}



\begin{frame}
  Son livre le plus célèbre, qu'il  a écrit entre 813 et 833 alors qu'il
  travaillait à \textit{la maison de la sagesse} de Bagdad, se nomme:

\begin{otherlanguage}{farsi}
الكتاب المختصر في حساب الجبر والمقابلة
\end{otherlanguage}


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=4cm]{aljabr}
\end{center}
%\end{figure}

c'est-à-dire:

\pause


Al-Kitab al-mukhtasar fi hisab \emph{\LARGE al-jabr} wa-l-muqabala


\pause

ou bien encore:

\begin{center}
  L'Abrégé du calcul par la restauration et la comparaison
\end{center}

\end{frame}



\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item Pas de notations : tous  les nombres et calculs sont décrits par
    des phrases;
\item nombres (\textit{dirham});
\item racines (\textit{ce qui est caché...})
\item biens (\textit{\og mal\fg{} en arabe}) carrés des racines.

  \end{itemize}
\end{frame}



\begin{frame}
  Al-jabr   signifie   réduction,  au   sens   de   \og  réduction   d'une
  fracture \fg{}. \og Algebrista\fg{} est d'ailleurs entré dans la langue
  espagnole pour désigner un rebouteux.

\pause


 L'al-jabr
consiste  à  réduire  l'équation  en  éliminant  les  soustractions  par
addition de termes dans les deux membres.

\pause

En effet, à  l'époque d'Al-Khwarizmi, on ne travaillait qu'avec des entiers
positifs.

\end{frame}

\begin{frame}

Par exemple:



$$x^2 =  40x -  4x^2$$ est transformé,  par al-jabr,  en $$x^2 +  4x^2 =
40x$$ puis 

$$5x^2= 40x$$


\pause

En  effet, Al-Khawarizmi  nomme les  termes soustraits  (comme  $4x^2$ dans
l'exemple précédent) : nâqis, \og terme enlevé \fg{}.


\pause

 Le même mot est employé
pour désigner le membre manquant d'un amputé.

\pause


 Al-jabr consiste donc
à restaurer ce qui est manquant dans une équation. 

\end{frame}











\begin{frame}

  Al-muqabala signifie \og confrontation\fg{}.


$$x^2 +  5 = 40x +  4x^2$$ contient des  carrés dans les deux  membres, chaque
membre est pourtant une somme.


\pause

Al-muqabala consiste donc à soustraire une quantité afin que des quantités de
même type  (dirham, racine ou  carré) ne puissent  se trouver à  la fois
dans les deux membres de l'équation. 

\pause

Dans $$x^2 + 5 = 40x + 4x^2$$

 on soustrait $x^2$ pour obtenir 

$$5 = 40x + 3x^2$$

\pause


On  retrouve  alors un  des  six  types  d'équations qu'Al-Khwarizmi  a
étudié. Une méthode de résolution générale de chaque type était proposée
ainsi qu'une démonstration, souvent géométrique.



\end{frame}




\begin{frame}

Voici un problème proposé par Al-Khwarizmi:

\begin{center}
   \textit{Un bien et
dix de ses racines égale trente-neuf dirhams.
}
\end{center}
 
\end{frame}

\begin{frame}
 \textit{ Il y a une autre figure qui mène également
à cela et c'est : la surface (AB), étant le bien,
nous voulons lui ajouter l'équivalent de dix de
ses racines. 
\pause
Nous divisons par deux les dix, elles
deviennent cinq, nous les transformons en deux
surfaces sur les flancs de la surface (AB), et ce
sont les deux surfaces (J), (N).\pause
La longueur de chacune des deux surfaces
est cinq coudées -et c'est la moitié des dix
racines- et sa largeur est comme le côté de la
surface (AB).\pause Il nous reste alors un carré dans
l'angle de la surface (AB), et c'est cinq par cinq,
et c’est la moitié des dix racines que nous avons
ajoutées sur les flancs de la première surface. \pause Or
nous savons que la première surface est le bien et
que les deux surfaces qui sont sur ses deux flancs
sont dix racines. Tout cela est donc trente neuf,\pause et
il reste pour compléter la surface la plus grande,
un carré de cinq par cinq, et c'est vingt-cinq.\pause
Nous l'ajoutons à trente neuf afin que se complète
la surface la plus grande, et c'est la surface (DE).\pause
Tout cela vaudra soixante-quatre. \pause Nous prenons
sa racine, et c'est huit, et c'est l'un des côtés de la
surface la plus grande. \pause Si nous lui retranchons
l'équivalent de ce que nous lui avons ajouté -et
c'est cinq- il reste trois, et c'est le côté de la
surface ( AB ) qui est le bien, et c'est sa racine; et
le bien est neuf.}

\end{frame}


\begin{frame}
  Faites un joli dessin te réfléchissez à la méthode proposée par Al.
\end{frame}


\begin{frame}
  Essayez maintenant avec $x^2+6x=40$ puis avec $x^2+6x=-10$...
\end{frame}


\section{Les notations}

\begin{frame}
  Nous  venons  de voir  qu'Al-Khwarizmi  n'utilisait  pas de  notations
  spéciales pour désigner les équations qu'il résolvait.

\pause

Cependant, vous avez pu découvrir  au collège que cela rend pourtant des
services.

\pause

Il a fallu des siècles pour arriver au stade actuel.
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{itemize}
  \item \textsc{Diophante}, III\up{e} siècle : $\Delta^{\Upsilon}\delta\
    \zeta\gamma\ \epsilon\sigma\tau\iota \ \iota$
\item  Nicolas \textsc{Chuquet},  fin XV\up{e}  siècle:  $4^2\ \text{p}\
  3^1\text{ egault }10^0$
\item  \textsc{Tartaglia},  début  XVI\up{e}:  $4\text{q}\text{ p  }  3\text{R}
  \text{ equale } 10\text{N}$
\item   Simon   \textsc{Stévin},   fin   XVI\up{e}:   4\textcircled{2}
  $+3$\textcircled{1}  egales  10\textcircled{0}
\item François  \textsc{Viète}, vers  1600: 4  in A quad  $+3$ in  A \ae
  quatur 10
\item René \textsc{Descartes}, vers 1640: $4xx+3x\propto 10$
\item Guillaume \textsc{Connan}, vers 2010: $4x^2+3x=10$
  \end{itemize} 




\end{frame}







\begin{frame}
  Vous remarquez donc que  les notations sont relativement récentes mais
  on sait résoudre des  équations du second degré depuis \numprint{4000}
  ans...\pause
Enfin, c'est encore un mystère en 2\up{nde}9...
\end{frame}



\begin{frame}
  Essayez Al-jabr et muqabala ou ce que vous voulez sur:

  \begin{itemize}
  \item<+->$3x^3-7x^2+3=x^4+x^2-1$
\item<+->$x^2+x-7=x^2+2x-9$
\item<+->$x^3+3x^2-5x-5=2x^3-3x^2+5x-10$
\item $3x+2=7x-5$
\item $3x-5=7x+2$
\item $7x-5=3x+2$
\item $7-5x=3+2x$
\item $\frac{3}{4}x+\frac{2}{3}=4x-5$
\item $\frac{4}{3}x-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}x-7$
  \end{itemize}
\end{frame}




\begin{frame}
  Choisissez  la méthode  que vous  voulez pour  résoudre  les problèmes
  suivants:

  \begin{itemize}
  \item Y a t-il un nombre qui donne le même résultat si je le multiplie
    par 2  et que  j’ajoute 14 ou  si je  le multiplie par  4 et  que je
    retranche 18?
\item Avec la somme dont je  dispose, si j’achète 2 boîtes de Canigou il
  me restera 14 \texteuro , mais  si je veux acheter 4 boîtes de Canigou
  il me manque 18 \texteuro.  Quel est le prix d’une boîte de Canigou et
  quelle est la somme dont je dispose ?
\item Lors  de la  rentrée scolaire, chaque  élève de seconde  reçoit 30
  coups de bâtons, alors
que les  élèves de 1\up{up} et  de T\up{ale} en reçoivent  chacun 45. Le
proviseur a reçu dans son bureau 80 élèves et a donné 
 \numprint{3225}  coups  de  bâtons.   Combien d'élèves  de  seconde  le
 proviseur a-t-il reçu dans son bureau?
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
  Sur les plateaux de ces deux balances il y a des pots, des bols et des
  petites cuillères. Ces balances sont en équilibre. 


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=1.5cm]{tasse1}
\end{center}
%\end{figure}

Combien faut-il mettre de petites cuillères sur le plateau de droite pour que la balance soit en équilibre ? 

%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=1cm]{tasse2}
\end{center}
%\end{figure}


\vfill

\textit{D'après IREM d'Aquitaine}

\end{frame}



\begin{frame}
  Si René \textsc{Descartes} nous  a donné des notations fort pratiques,
  il a surtout relié calculs et  géométrie: c'est le point fort de notre
  année de seconde et c'est l'objet de notre prochaine aventure...


%\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[height=6cm]{rene}
\end{center}
%\end{figure}

\end{frame}

\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: t
%%% End: 
