%  En préambule,  les  sources metapost.  Si  vous lancez  latex  sur ce  fichier,  il vous  placera
% automatiquement le fichier .mp dans le répertoire courant. 


% \begin{filecontents*}{geo3d.mp}
 


% input newcourbes; 

%  input couleur;

% verbatimtex
% %&latex
% \documentclass{article}
% \usepackage{preambule}
% \begin{document} 

% etex



% beginfig(1); 
% % coordonnées d'un point dans un repere de l'espace 
% numeric u; 
% pair t,s,q; 
% u = 1cm; 
 
% %definitions de l'origine et des vecteurs de base 
% t=(1u,0u); 
% s=(0u,1u); 
% q=(-0.5u,-0.5u); 
% z0 = (0,0); 
% z1= z0 shifted t; 
% z2 = z0 shifted s; 
% z3 = z0 shifted q; 
 


% %construction du point M 
% z4 = z0 shifted 4t; 
% z5 = z0 shifted 4s; 
% z6 = z0 shifted 4q; 

% z7= 3.5t+2.5q; 
% label.bot(btex $M'$ etex, z7) withcolor bleu_f; 
% z8 = 3.5t ; 
% z9 = 2.5q ; 

% z10 = z7 shifted 3s; 

% z11 = z10 shifted z0-z7; 
% path p;
% p:=z0--z7--z10--z11--cycle;
% fill p withcolor bleu_ciel;

% %trace de l'origine et des vecteurs de base 
% dotlabel.lft(btex $O$ etex, z0); 
% label.bot(btex $\Mathbold{\ve{j}}$ etex, z1); 
% label.lft(btex $\Mathbold{\ve{\imath}}$ etex, z3); 
% label.lft(btex $\Mathbold{\ve{k}}$ etex, z2); 
 
% %trace des axes 
% drawarrow z0--z1 withpen pencircle scaled 1.6bp; 
% drawarrow z0--z2 withpen pencircle scaled 1.6bp; 
% drawarrow z0--z3 withpen pencircle scaled 1.6bp; 


% drawarrow z0--z4 ; 
% drawarrow z0--z5 ; 
% drawarrow z0--z6 ; 

% draw z7--z8 dashed evenly withcolor bleu_m; 
% draw z7--z9 dashed evenly withcolor bleu_m; 
% label.top(btex $y$ etex, z8); 
% label.lft(btex $x$ etex, z9); 

% draw z7--z10 dashed evenly withcolor bleu_f; 
% label.rt(btex $M$ etex, z10) withcolor bleu_f; 

% draw z11--z10 dashed evenly withcolor bleu_f; 
% label.lft(btex $z$ etex, z11); 
% drawarrow z0--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f; 
% drawarrow z0--z7 withcolor bleu_f; 
 
% endfig; 






% beginfig(2);


% pair o,a,b,h;

% o:=origin;
% a:=(2u,3u);
% b:=(3u,0);
% h:=(2u,0);

% drawarrow o--b withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
% drawarrow o--a withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
% drawarrow b--a;

% draw h--a dashed evenly;

% draw symbole_ortho(b,h,a,0.25u);

%  mark_angleg(b,o,a,0,0.45u);

% label.lft(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(o+a))withcolor bleu_f;
% label.rt(btex $\ve{u}-\ve{v}$ etex, 0.5*(a+b));
% label.bot(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(o+b))withcolor bleu_m;
% label.ulft(btex $H$ etex, h);
% label.rt(btex $\theta$ etex, (0.35u, 0.35u));
% label.top(btex $A$ etex, a);
% label.lrt(btex $B$ etex, b);
% label.llft(btex $O$ etex, o);
% endfig;


% beginfig(3);
% numeric u;
% u:=0.8cm;
% pair a,b,c;

% a:=origin;
% b:=(6u,0);
% c:=(6u,3u);

% drawarrow a--b withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
% drawarrow a--c withpen pencircle scaled 1.6bp  withcolor bleu_f;
% drawarrow b--c withpen pencircle scaled 1.6bp  withcolor 0.6white;


% label.bot(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(a+b))withcolor bleu_m;
% label.rt(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(c+b))withcolor 0.6white;
% label.ulft(btex $\ve{u}+\ve{v}$ etex, 0.5*(a+c))withcolor bleu_f;
% label.llft(btex $A$ etex, a);
% label.lrt(btex $B$ etex, b);
% label.urt(btex $C$ etex,c);


% endfig;











% beginfig(4);


% %droite orthogonale a un plan
% numeric u;
% pair t,r;
% transform T,S;
% path p[];

% u= 1cm;
% t=(4u,0u); r=(1u,2u);
% T = identity shifted t;
% S = identity shifted r;

% %plan P
% z0=(0u,0u);
% z1 = z0 transformed T;
% z2 = z0 transformed S;
% z3 = z0 transformed T transformed S;
% path p;
% p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
% fill p withcolor bleu_ciel;
% draw z0--z2 withcolor bleu_m;
% draw z2--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 2pt;
% draw z0--z1 withcolor bleu_m;
% draw z1--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 0.5pt;
% label.urt(btex $\PR$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

% %droites secantes
% z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);draw z4--z5 withcolor bleu_m; 
% z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);draw z6--z7 withcolor bleu_m; 
% label.rt(btex $d_1$ etex, z5) withcolor bleu_m;
% label.rt(btex $d_2$ etex, z7) withcolor bleu_m;
% p1 = z4--z5;p2 = z6--z7;

% %droite orthogonale
% z8 = p1 intersectionpoint p2;
% z9 = z8 shifted (0u,2u);
% label.rt(btex $\DR$ etex, z9) withcolor bleu_f;
% draw z8--z9 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
% z10 = z8 shifted (0u,-2u);
% p3 = z9--z10;p4 = z0--z1;
% z11 = p3 intersectionpoint p4;
% draw z8--z11 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
% draw z11--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;

% %vecteurs
% pair Z,ZZ,ZZZ;
% Z:=0.5[z8,z4];
% ZZ:=0.5[z8,z7];
% ZZZ:=z8 shifted(0u,1u);
% drawarrow z8--Z withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
% drawarrow z8--ZZ withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
% drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 2.2bp;
% label.lft(btex $\ve{u}$ etex, ZZZ) withcolor bleu_f;
% label.top(btex $\ve{v_1}$ etex, ZZ) withcolor bleu_m;
% label.top(btex $\ve{v_2}$ etex,Z) withcolor bleu_m;





% %marquage des angles droits
% z12=0.1[z8,z7];z13=0.1[z8,z9];
% z14= z13 shifted z12-z8;
% draw z12--z14;
% draw z13--z14;

% z15=0.2[z8,z4];z16=0.1[z8,z9];
% z17= z16 shifted z15-z8;
% draw z15--z17;
% draw z16--z17;
% endfig;















% beginfig(5);
% %droites orthogonales 
% numeric u;
% pair t,r,zz,ZZ;
% transform T,S;

% u= 1cm;
% t=(2u,3u); r=(0u,2u);
% T = identity shifted t;
% S = identity shifted r;

% %les droites perpendiculaires en I
% z0=(0u,0u);
% z1 = z0 transformed T;
% zz:= 0.25*z1;
% ZZ:= 0.25*z2;
% z2 = z0 transformed S;
% draw z0--z1 withcolor bleu ;
% draw z0--z2 withcolor bleu_f;
% drawarrow z0--zz withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.6bp;
% drawarrow z0--ZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
% %label.bot(btex $I$ etex, z0) ;
% label.lft(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(z0+ZZ)) withcolor bleu_f;
% label.rt(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(z0+zz)) withcolor bleu;


% %marquage de l'angle droit
% z3=0.1[z0,z1];z4=0.1[z0,z2];
% z5=z3 shifted z4-z0;
% draw z3--z5;
% draw z4--z5;

% %droites d et delta
% pair zzz, ZZZ;
% z6=(0u,-1u);
% z7 = z6 transformed T;
% zzz:=zz shifted (0,-1u);
% drawarrow z6--zzz withcolor bleu withpen pencircle scaled 1.6bp;
% label.rt(btex $\ve{v}$ etex, 0.5*(z6+zzz)) withcolor bleu;
% draw z7--z6 withcolor bleu;
% label.bot(btex $\Delta$ etex, z7) withcolor bleu;
% z8=(-1u,-1u);
% z9= z8 transformed S;
% ZZZ:=ZZ shifted(-u,-u);
% drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
% label.lft(btex $\ve{u}$ etex, 0.5*(z8+ZZZ)) withcolor bleu_f;
% label.lft(btex $\DR$ etex, z9) withcolor bleu_f;
% draw z9--z8 withcolor bleu_f;
% endfig;








% beginfig(6);


% %vecteur normal a un plan
% numeric u;
% pair t,r;
% transform T,S;
% path p[];

% u= 1cm;
% t=(4u,0u); r=(1u,2u);
% T = identity shifted t;
% S = identity shifted r;

% %plan P
% z0=(0u,0u);
% z1 = z0 transformed T;
% z2 = z0 transformed S;
% z3 = z0 transformed T transformed S;
% path p;
% p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
% fill p withcolor bleu_ciel;
% draw z0--z2 withcolor bleu_m;
% draw z2--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 2pt;
% draw z0--z1 withcolor bleu_m;
% draw z1--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 0.5pt;
% label.urt(btex $\PR$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

% %droites secantes
% z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);%draw z4--z5 withcolor bleu_m; 
% z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);%draw z6--z7 withcolor bleu_m; 
% %label.rt(btex $d_1$ etex, z5) withcolor bleu_m;
% %label.rt(btex $d_2$ etex, z7) withcolor bleu_m;
% p1 = z4--z5;p2 = z6--z7;

% %droite orthogonale
% z8 = p1 intersectionpoint p2;
% z9 = z8 shifted (0u,2u);
% dotlabel.bot(btex  etex, z8);
% label.bot(btex $A$ etex, z8) withcolor bleu_m;

% %label.rt(btex $\DR$ etex, z9) withcolor bleu_f;
% %draw z8--z9 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
% z10 = z8 shifted (0u,-2u);
% p3 = z9--z10;p4 = z0--z1;
% z11 = p3 intersectionpoint p4;
% %draw z8--z11 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
% %draw z11--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;

% %vecteurs
% pair Z,ZZ,ZZZ;
% Z:=0.5[z8,z4];
% ZZ:=0.5[z8,z7];
% ZZZ:=z8 shifted(0u,1.5u);
% drawarrow z8--Z withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
% drawarrow z8--ZZ withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
% drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
% label.lft(btex $\ve{n}$ etex, ZZZ) withcolor bleu_f;
% label.urt(btex $M_1$ etex, ZZ) withcolor bleu_m;
% label.ulft(btex $M_2$ etex,Z) withcolor bleu_m;





% %marquage des angles droits
% z12=0.1[z8,z7];z13=0.1[z8,z9];
% z14= z13 shifted z12-z8;
% draw z12--z14;
% draw z13--z14;

% z15=0.2[z8,z4];z16=0.1[z8,z9];
% z17= z16 shifted z15-z8;
% draw z15--z17;
% draw z16--z17;
% endfig;

















% beginfig(7);


% %distance d'un point à un plan
% numeric u;
% pair t,r;
% transform T,S;
% path p[];

% u= 1cm;
% t=(4u,0u); r=(1u,2u);
% T = identity shifted t;
% S = identity shifted r;

% %plan P
% z0=(0u,0u);
% z1 = z0 transformed T;
% z2 = z0 transformed S;
% z3 = z0 transformed T transformed S;
% path p;
% p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
% fill p withcolor bleu_ciel;
% draw z0--z2 withcolor bleu_m;
% draw z2--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 2pt;
% draw z0--z1 withcolor bleu_m;
% draw z1--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 0.5pt;
% label.urt(btex $\PR$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

% %droites secantes
% z4 = (0.8u,1u); z5 =(4u,1.5u);%draw z4--z5 withcolor bleu_m; 
% z6 = (1u,1.6u);z7=(3.6u,0.4u);%draw z6--z7 withcolor bleu_m; 
% %label.rt(btex $d_1$ etex, z5) withcolor bleu_m;
% %label.rt(btex $d_2$ etex, z7) withcolor bleu_m;
% p1 = z4--z5;p2 = z6--z7;

% %droite orthogonale
% z8 = p1 intersectionpoint p2;
% z9 = z8 shifted (0u,2u);
% dotlabel.bot(btex  etex, z8);
% label.bot(btex $H$ etex, z8) withcolor bleu_m;

% dotlabel.top(btex  etex, z9);
% label.top(btex $M$ etex, z9) withcolor bleu_f;
% draw z8--z9 withpen pencircle scaled 1.1bp withcolor bleu_f;
% z10 = z8 shifted (0u,-2u);
% p3 = z9--z10;p4 = z0--z1;
% z11 = p3 intersectionpoint p4;
% %draw z8--z11 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
% %draw z11--z10 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;

% %vecteurs
% pair Z,ZZ,ZZZ;
% Z:=z8 shifted(0u,0.75u);
% ZZ:=0.85[z8,z7];
% ZZZ:=z8 shifted(0u,1.5u);
% %drawarrow z8--Z withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
% drawarrow z8--ZZ withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 1.6bp;
% drawarrow z8--ZZZ withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.6bp;
% label.lft(btex $\Mathbold{\ve{n}}$ etex, Z shifted (0,0.25u)) withcolor bleu_f;
% label.urt(btex $A$ etex, ZZ) withcolor bleu_m;
% %label.ulft(btex $M_2$ etex,Z) withcolor bleu_m;


% draw ZZ--z9;


% %marquage des angles droits
% z12=0.1[z8,z7];z13=0.1[z8,z9];
% z14= z13 shifted z12-z8;
% draw z12--z14;
% draw z13--z14;
% endfig;





















% beginfig(8);
% %droites orthogonales a deux plans paralleles

% numeric u;
% pair t,r;
% transform T,S;

% u= 1cm;
% t=(4u,0u); r=(1u,2u);
% T = identity shifted t;
% S = identity shifted r;
% path p[];

% %premier plan
% z0=(0u,0u);
% z1 = z0 transformed T;
% z2 = z0 transformed S;
% z3 = z0 transformed T transformed S;
% path p;
% p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
% fill p withcolor bleu_ciel;
% draw z0--z2withcolor bleu_m;
% draw z2--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 2pt;
% draw z0--z1 withcolor bleu_m;
% draw z1--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 0.5pt;
% label.urt(btex $\PR_1$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;


% %deuxieme plan 
% z10=(0u,-2.5u);
% z11 = z10 transformed T;
% z12 = z10 transformed S;
% z13 = z10 transformed T transformed S;
% path pp;
% pp:=z10--z11--z13--z12--cycle;
% fill pp withcolor bleu_ciel;
% draw z10--z12 withcolor bleu_m;
% draw z12--z13 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 2pt;
% draw z10--z11 withcolor bleu_m;
% draw z11--z13 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 0.5pt;
% label.urt(btex $\PR_2$ etex, z10+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

% %premiere droite
% pair Z,ZZ;
% z20 = (2u,1u);z26 = z20 shifted (0u,-2.5u);
% z21 = z20 shifted (0u,2u);
% Z= z20 shifted (0u,1.5u);
% ZZ=z20 shifted(0u,-1.15u);
% z22 = z20 shifted (0u,-4.5u);

% p1 = z21--z22;
% p2 = z0--z1;
% p3 = z10--z11;
% z24 = p1 intersectionpoint p2;
% z25 = p1 intersectionpoint p3;
% drawarrow z20--Z withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_f;
% label.rt(btex $\ve{n_1}$ etex, Z);
% drawarrow z26--ZZ withpen pencircle scaled 1.6bp  withcolor bleu_f;
% label.rt(btex $\ve{n_2}$ etex, ZZ shifted(0,-0.15u));

% draw z21--z20;draw z20--z24 dashed evenly;draw z24--z26;draw z26--z25 dashed evenly; draw z25--z22;

% %deuxieme droite
% z30 = (3u,1.5u);z36 = z30 shifted (0u,-2.5u);
% z31 = z30 shifted (0u,2u);
% z32 = z30 shifted (0u,-4.5u);

% p11 = z31--z32;
% p12 = z0--z1;
% p13 = z10--z11;
% z34 = p11 intersectionpoint p12;
% z35 = p11 intersectionpoint p13;
% %draw z31--z30;draw z30--z34 dashed evenly;draw z34--z36;draw %z36--z35 
% %dashed evenly; draw z35--z32;

% %marquage des angles droits
% z40=0.1[z20,z30];z41=0.1[z20,z21];
% z42 = z41 shifted z40-z20;
% draw z42--z40;
% draw z42--z41;

% z50=0.1[z30,z20];z51=0.1[z30,z31];
% z52 = z51 shifted z50-z30;
% %draw z52--z50;
% %draw z52--z51;

% z60=0.1[z26,z36];z61=0.1[z26,z24];
% z62 = z61 shifted z60-z26;
% draw z62--z60 withcolor bleu_m;
% draw z62--z61 withcolor bleu_m;

% z70=0.1[z36,z26];z71=0.2[z36,z34];
% z72 = z71 shifted z70-z36;
% %draw z72--z70;
% %draw z72--z71;

% draw z20--z30;
% draw z26--z36;
% endfig;

















% beginfig(9);
% %intersection de deux plans perpendiculaires
% numeric u;
% pair t,r;
% transform T,S;
% path p[],q[];

% u= 1cm;
% t=(6u,0u); r=(1u,2u);
% T = identity shifted t;
% S = identity shifted r;

% %Tracé de P
% z0=(0u,0u);
% z1 = z0 transformed T;
% z2 = z0 transformed S;
% z3 = z0 transformed T transformed S;
% path p;
% p:=z0--z1--z3--z2--cycle;
% fill p withcolor bleu_ciel;
% draw z0--z2 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 2pt;
% draw z0--z1 withcolor bleu_m;
% draw z1--z3 withcolor bleu_m;
% pickup pencircle scaled 0.5pt;
% label.urt(btex $\PR_1$ etex, z0+(0.1u,0u)) withcolor bleu_m;

% %Tracé de Q
% z5 = 0.5[z0,z1];
% z6 = z5 transformed S;
% z7 = z5 shifted (0u,-2.5u);
% z8 = z7 transformed S;
% z5 = 0.5[z9,z7];
% z10= z9 transformed S;
% path pp;
% pp:=z9--z10--z8--z7--cycle;
% fill pp withcolor 0.9white;
% draw z0--z1 withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 2pt;
% draw z5--z6 ; 
% draw z9--z7withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
% draw z9--z10withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
% draw z10--z6withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
% draw z6--z3 withcolor bleu_m;
% draw z7--z8withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
% p1 = z2--z6;
% q1= z5--z9;
% z11 = p1 intersectionpoint q1;
% draw z11--z6 dashed evenly withcolor bleu_m;
% draw z2--z11withcolor bleu_m;
% p2 = z6--z8;
% q2= z5--z1;
% z12 = p2 intersectionpoint q2;
% draw z12--z6 dashed evenly  withcolor 0.4white;
% draw z8--z12 withpen pencircle scaled 1.2bp withcolor 0.4white;
% label.urt(btex $\PR_2$ etex, z7shifted (0u,1u)) withcolor 0.4white;

% %nom de la droite d'intersection
% %label.rt(btex $d$ etex, 0.6[z5,z6]);
% %droites orthogonales
% z13=0.5[z5,z6];
% z14 = z13 shifted (0u,2u);
% z15 = z13 shifted (0u,-2u);
% p3 = z0--z1;
% q3 = z13--z15;
% z16 = p3 intersectionpoint q3;
% drawarrow z13--z14 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor 0.4white;
% label.lrt(btex $\ve{n_1}$ etex, z14) withcolor 0.4white;
% %draw z13--z16 dashed evenly;
% %draw z16--z15;
% %marquage de l'angle droit
% z20=0.2[z13,z6];z21=0.2[z13,z14];
% z22 = z21 shifted z20-z13;
% %draw z22--z20;
% %draw z22--z21;

% z17 = z13 shifted 0.8(z1-z5);
% z18 = z13 shifted 0.8(z0-z5);
% p4 = z13--z18;
% z19 = q1 intersectionpoint p4;
% drawarrow z19--z18 withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
% draw z19--z13 dashed evenly withpen pencircle scaled 1.6bp withcolor bleu_m;
% label.urt(btex $\ve{n_2}$ etex, z18)withcolor bleu_m;
% %draw z13--z17;
% %marquage de l'angle droit
% z30=0.1[z13,z18];z31=0.1[z13,z14];
% z32 = z31 shifted z30-z13;
% draw z32--z30;
% draw z32--z31;
% endfig;











% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% % tetraedre



% beginfig(10);

% u:=1cm;
% pair a,h,aa,b,c,d,g;
% a:=origin;
% aa:=(3*1.732u,0);
% h:=(2*1.732u,0);
% d:=(2*1.732u,4.9u);
% b:=aa-(u,u);
% c:=aa+(u,u);

% fill a--d--aa--cycle withcolor bleu_ciel;

% draw a--b--d--cycle withpen pencircle scaled 1.5pt;

% draw c--b--d--cycle withpen pencircle scaled 1.5pt;

% draw a--c dashed withdots  withpen pencircle scaled 1.2pt;

% draw h--d withpen pencircle scaled 0.7pt dashed evenly withcolor bleu_m;
% draw d--aa withpen pencircle scaled 0.7pt withcolor bleu_m;
% draw a--aa withpen pencircle scaled 0.7pt dashed evenly withcolor bleu_m;
% g=1/3[aa,d];

% draw symbole_ortho(aa,h,d,0.2u) withcolor bleu_m withpen pencircle scaled 0.7pt;


% label.llft(btex $H_1$ etex,a);
% label.bot(btex $H_4$ etex,b);
% label.rt(btex $J$ etex,aa);
% label.rt(btex $H_3$ etex,c);
% label.top(btex $H_2$ etex,d);
% label.ulft(btex $K$ etex,h);
% dotlabel.rt(btex $G$ etex,g);
% endfig;








% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% %%  S P H E R E 

% beginfig(11);
% numeric u;
% u:=0.5cm;

% pair o,c,m,mm;
% o:=origin;
% m:=(-3u,5u);
% mm:=m xscaled -1;
% c:=(0,5u);

% fill ((fullcircle scaled 6u yscaled 0.3)shifted c)withcolor white;
% draw (fullcircle scaled 6u yscaled 0.3)shifted c;
% draw_markeds( o--m,0);
% draw_markeds (o--mm,0);
% draw m--c dashed evenly withcolor bleu_f;
% draw c--o dashed evenly;
% draw symbole_ortho(m,c,o,0.4u);
% draw m..(-5u,3u)..(-5.83u,0) dashed withdots withpen pencircle scaled 1.5bp;
% draw (5.83u,0)..(5u,3u)..mm dashed withdots withpen pencircle scaled 1.5bp;

% label.bot(btex $S$ etex, o);
% label.rt(btex $H$ etex, c) withcolor bleu_f;
% label.ulft(btex $M$ etex, m) withcolor bleu_f;
% label.rt(btex $\fr{3}{\sqrt{11}}$ etex, 0.5[c,o]);
% label.llft(btex $3$ etex, 0.5[m,o]);
% label.top(btex $r$ etex, 0.5[m,c]);

% endfig;












% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% %% D i s t a n c e       P o  I n t    D r o i t e 


% beginfig(12);
% numeric u;
% u:=0.9cm;
% pair d,p,pp,o,a,aa;
% d:=origin;
% p:=(6u,0);
% o:=(6u,2u);
% a:=(9u,0);
% aa:=(a scaled 0.4) rotated 90;
% pp-o=whatever*(d-aa) rotated 90;
% pp=whatever[d,aa];

% draw d--aa withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.4bp;
% draw d--a withcolor 0.6white withpen pencircle scaled 1.4bp;
% draw o--pp withcolor bleu_f;
% draw o--p withcolor 0.6white;
% draw d--o dashed evenly;
% draw fullcircle scaled 0.5u;
% draw symbole_ortho(a,p,o,0.2u)withcolor 0.6white;
% draw symbole_ortho(o,pp,aa,0.2u)withcolor bleu_f;

% dotlabel.bot(btex $ $ etex, origin);
% label.lft(btex $D$ etex,(-0.2u,0.1u));
% dotlabel.rt(btex $O$ etex,o);
% label.rt(btex $\Mathbold{d_P}$ etex, (6u,u)) withcolor 0.6white;
% label.bot(btex $d$ etex, 0.5*(o+d));
% label.top(btex $\Mathbold{d_{P'}}$ etex, 0.5*(o+pp)) withcolor bleu_f;
% label.bot(btex $\Mathbold{P}$ etex, a) withcolor 0.6white;
% label.lft(btex $\Mathbold{P'}$ etex, aa) withcolor bleu_f;


% endfig;





% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%ù
% %% c o u p e   t é t r a è d r e


% beginfig(13);

% u:=0.7cm;
% pair a,h,aa,b,c,d;
% a:=origin;
% aa:=(3*1.732u,0);
% h:=(2*1.732u,0);
% d:=(2*1.732u,4.9u);
% b:=aa-(u,u);
% c:=aa+(u,u);

% draw a--d--aa--cycle withcolor bleu_f withpen pencircle scaled 1.4bp;
% draw d--h;
% draw symbole_ortho(aa,h,d,0.2u);

% label.rt(btex $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ etex,0.5*(aa+d));
% label.top(btex $\frac{a\sqrt{3}}{2}$ etex,0.5*aa);
% label.lft(btex $a$ etex,0.5*(a+d));

% label.llft(btex $H_1$ etex,a);
% label.lrt(btex $J$ etex,aa);
% label.top(btex $H_2$ etex,d);
% label.bot(btex $K$ etex,h);

% endfig;

% end


% \end{filecontents*}











\documentclass[10pt,a4paper]{report}
\usepackage[height=250mm,width=183mm]{geometry}
\usepackage{preambule,filecontents}
\usepackage[upright]{fourier}
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\entete{\textbf{\NomSection\ } }{ \NoLecon\ Leçon\ - \NomLecon}{Tale S}



\renewcommand\thesubsection{}

\begin{document}

\setlength{\parindent}{0pt}

\thispagestyle{empty}





\setcounter{NumLecon}{12}
         \TITREC{Chapitre }{Géométrie euclidienne}{0.9white}
         





\begin{Abstract}
Nous allons développer dans cette leçon une des grandes nouveautés de terminale : le lien entre algèbre et géométrie, deux domaines jusqu'ici étrangers. L'outil central sera le produit scalaire qui sera donc étudié avec attention. Vous verrez l'an prochain qu'un <<~ensemble de vecteurs~>> dans lequel on peut définir un produit scalaire est appelé espace euclidien. 
\end{Abstract}




\bigskip\bigskip



\SECTION{Construisons le produit scalaire}{Construisons le produit scalaire}\label{ps}\index{produit scalaire |( }

\SUBSECTION{À la recherche d'une définition}

Vous avez remarqué au moment de l'étude de la fonction exponentielle que son mode de construction n'était pas unique : certains partent de l'équation différentielle $y'=y$, d'autres de l'équation fonctionnelle $f(x+y)=f(x)\times f(y)$, d'autres encore de la suite de terme général $\pa{1+\fr{x}{n}}^n$ ou même de $\Sum_{n=0}^{+\infty}\fr{x^n}{n!}$...Pourtant, tous construisent la même fonction, car ces définitions s'avèrent équivalentes. La nature du problème étudié, le niveau d'enseignement, etc. incitent alors à préférer l'une ou l'autre des définitions.

C'est encore le cas pour le produit scalaire. Nous choisirons la méthode la plus adaptée au programme de terminale et n'utiliserons que le théorème de Pythagore en admettant que l'on peut munir l'Espace d'un repère orthonormé.

\ENC{\Def  \ \ Produit scalaire dans l'Espace}{ Soient $\ve{u}$ et $\ve{v}$ de coordonnées
respectives $(x,y,z)$ et $(x', y', z')$  dans un repère orthonormé
de l'Espace.

On appelle produit scalaire de $\ve{u}$ et $\ve{v}$  que l'on note
$\ve{u}\cdot\ve{v}$ le réel

$$\ve{u}\cdot\ve{v} = xx'+yy'+zz'$$}

Cette définition est déroutante : elle dépend du choix d'un repère : y aurait-il un produit scalaire par repère, ce qui pourrait s'avérer fort gênant~! Nous allons en fait nous assurer que cette définition en est bien une, c'est à dire
qu'elle ne dépend pas du choix du repère.

Tout d'abord, un petit dessin :

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.1} 
\end{center}

Soit $\ve{OM}$ un représentant du vecteur $\ve{u}$. Nous pouvons
calculer  $OM^2$, c'est à dire le carré de  la norme du vecteur
$\ve{u}$ en fonction de $x$, $y$ et $z$.

D'après le  théorème de Pythagore :
$OM^2=OM'^2+z^2$ et d'autre part, $OM'^2=x^2+y^2$. Finalement on
obtient que $OM^2=x^2+y^2+z^2$.

Cette formule permet surtout de
prouver, avec un minimum de sens de l'observation, que

\sm

\ENC{\Prop\ \ Norme et produit
scalaire}{$$\ve{u}\cdot\ve{u}=\no{\ve{u}}^2$$}

\sm

Vous aurez remarqué qu'il n'est pas fait mention de repère dans
cette propriété et qu'elle est donc indépendante du repère choisi.

Intéressons-nous maintenant à $\no{\ve{u}+\ve{v}}^2$

\begin{eqnarray*}
\no{\ve{u}+\ve{v}}^2 &=& (x+x')^2+(y+y')^2+(z+z')^2\\
                    &=&
                    x^2+y^2+z^2+x'^2+y'^2+z'^2+2(xx'+yy'+zz')\\
                    &=&
                    \no{\ve{u}}^2+\no{\ve{v}}^2+2(\ve{u}\cdot\ve{v})
\end{eqnarray*}

Je vous laisse le soin d'obtenir une formule similaire en
remplaçant $\ve{v}$ par son opposé.



\sm

\ENC{\Prop\ \ Expression du produit scalaire en fonction de la norme}{\begin{eqnarray*} \ve{u}\cdot\ve{v} &=&
\fr{1}{2}\pa{\no{\ve{u}+\ve{v}}^2-\no{\ve{u}}^2-\no{\ve{v}}^2}\\
&=& \fr{1}{2}\pa{\no{\ve{u}}^2+\no{\ve{v}}^2-\no{\ve{u}-\ve{v}}^2}
\end{eqnarray*}}\label{psnorme}

\sm


Ces expressions peuvent paraître déroutantes car très compliquées, voire inexploitables. Cependant, elles offrent un énorme avantage : elles prouvent que le produit scalaire ne dépend pas des coordonnées et donc de la base choisie. Nous pouvons donc utiliser sans retenue la définition qui en est bien une finalement. Nous verrons en exercices qu'il existe une définition bien plus générale.

Notez de plus que cette dernière formulation est valable dans le Plan comme dans l'Espace car la démonstration est indépendante de la <<~dimension~>> choisie, ce qui améliore encore son <<~champs d'action~>>. 

\sm

Toujours grâce à cette propriété, nous pouvons prouver que  les propriétés suivantes sont vraies quelque soit la base choisie

 \sm

\ENC{\Props \ \ Propriétés de bilinéarité et de
symétrie}{\bel
\item $\ve{u}\cdot\ve{v}=\ve{v}\cdot\ve{u}$ 
\item $\pa{\al\ve{u}}\cdot\ve{v}=\ve{u}\cdot\pa{\al\ve{v}}=\al\pa{\ve{u}\cdot\ve{v}}\qquad\text{avec
}\quad \al\in\bbr$
\item $\ve{u}\cdot\pa{\ve{v}+\ve{w}}=\ve{u}\cdot\ve{v}+\ve{u}\cdot\ve{w}$\el}

\sm



\SUBSECTION{Produit scalaire et cosinus}

Nous allons maintenant interpréter géométriquement le produit scalaire. Considérons deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ de représentants $\ve{OA}$ et $\ve{OB}$



\begin{center}
\includegraphics{geo3d.2} 
\end{center}


Nous allons essayer de prouver le résultat vu en première : $\ps{u}{v}=OH\times OB$ à partir de la propriété VII-2.

Le thèorème de Pythagore permet d'écrire d'une part que $OH^2+AH^2=OA^2$ et d'autre part que
$(OB-OH)^2+AH^2=AB^2$.

On élimine $AH^2$ pour obtenir 
\[ OB\times OH=\fr{1}{2}\pa{OA^2+OB^2-AB^2}=\fr{1}{2}\pa{\no{\ve{u}}^2+\no{\ve{v}}^2-\no{\ve{u}-\ve{v}}^2}=\ve{u}\cdot\ve{v} \]

On obtiendrait d'ailleurs un résultat similaire si $H$ était <<~de
l'autre côté~>> de $O$, en transformant $OH$ en $-OH$, puisque
dans ce cas $HB=OB+OH$.




Bon, ici un problème se pose : on sait que $OB=\no{\ve{v}}$ mais comment interpréter $OH$ ? On a envie d'écrire que $OH=\no{\ve{u}}\times \cos \theta$ comme au collège, mais qu'est-ce que $\theta$ ? Qu'est-ce que $\cos\theta$~? 

\sm

Nous allons trancher dans le vif. Considérons deux vecteurs non nuls $\ve{u}$ et $\ve{v}$. Notons 
\[ \cos\anglevec{u}{v}=\fr{\ps{u}{v}}{\no{\ve{u}}\times\no{\ve{v}}} \]

La définition du produit scalaire à partir des normes étant la
même dans le Plan et l'Espace, on va pouvoir parler de l'angle
entre deux vecteurs de l'espace à partir de la même formule.

On peut noter que deux vecteurs définissant un plan (vectoriel),
il est naturel d'étendre la notion d'angle de vecteurs du Plan à
l'Espace.

Demeure un dernier problème : le Plan était orienté, or nous
n'avons pas parlé d'orientation de l'Espace (et nous ne le ferons
pas cette année). Les angles de vecteurs de l'Espace seront donc
définis au signe près et mesurés dans $[0,\pi]$, ce qui rejoint la
notion d'angle géométrique vu au Collège.

\ENC{\Thm \ \ Produit scalaire et cosinus}{Soient $\ve{u}$ et $\ve{v}$ deux vecteurs non nuls de l'Espace. On a\label{pscos}
\[ \cos\anglevec{u}{v}=\fr{\ps{u}{v}}{\no{\ve{u}}\times\no{\ve{v}}} \]
avec $ \anglevec{u}{v}$ l'unique antécédent de
$\fr{\ps{u}{v}}{\no{\ve{u}}\times\no{\ve{v}}}  $ par la
fonction cosinus dans $[0,\pi]$.}


On retrouve de cette manière la formule bien connue $\ps{u}{v}=\no{\ve{u}}\times\no{\ve{v}}\times\cos\theta$.


\SUBSECTION{Produit scalaire et orthogonalité}\index{orthogonalité}

Nous allons maintenant aborder la notion qui a motivé
l'introduction du produit scalaire en Terminale, à savoir
l'orthogonalité de deux vecteurs
%, et nous allons, par la même
%occasion, être confrontés une nouvelle fois au problème de la
%poule et de l'\oe uf.


 Considérons la figure suivante :

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.3} 
\end{center}


Si $(AB)\bot(BC)$, alors le théorème de Pythagore assure que
$\no{\ve{u}+\ve{v}}^2=\no{\ve{u}}^2+\no{\ve{v}}^2$.

Or $\ve{u}\cdot\ve{v} =
\fr{1}{2}\pa{\no{\ve{u}+\ve{v}}^2-\no{\ve{u}}-\no{\ve{v}}}$, donc
$\ve{u}\cdot\ve{v}=0$.

\sm

Inversement, si $\ve{u}\cdot\ve{v}=0$, alors
$\no{\ve{u}+\ve{v}}^2=\no{\ve{u}}^2+\no{\ve{v}}^2$ et la réciproque
du théorème de Pythagore assure que $(AB)\bot (AC)$.

Finalement

\ENC{\Thm \ \  Produit scalaire et orthogonalité}{
Soient deux vecteurs $\ve{u}$ et $\ve{v}$ non nuls et trois points
$O$, $A$ et $B$ tels que $\ve{u}=\ve{OA}$ et $\ve{v}=\ve{OB}$. Les
trois propositions suivantes sont équivalentes :

\begin{itemize}
\item[(1)] $(OA)$ et $(OB)$ sont perpendiculaires
\item[(2)] $\ve{u}\cdot\ve{v}=0$
\item[(3)] $\ve{u}$ et $\ve{v}$ sont orthogonaux. On notera
$\ve{u}\bot\ve{v}$
\end{itemize}

Par souci de cohérence, on dira que le vecteur nul est orthogonal
à tout vecteur.}

Vous noterez que ces résultats sont cohérents avec la définition
du cosinus.

\index{produit scaleire |) }
\SECTION{Applications du produit scalaire}{Applications du produit scalaire}


\SUBSECTION{Affine \Lightning Vectoriel}

Avant d'aller plus loin, commençons par parler des limites de notre exposé. Dans l'enseignement secondaire, vous n'avez travaillé que dans des espaces \textsl{affines}, c'est à dire, grossièrement, avec des ensembles de points~:~droites, cercles, segments de droites, angles géométriques, etc. Or vous découvrirez l'an prochain la géométrie à partir d'espaces \textsl{vectoriels}, c'est à dire, grossièrement, avec des ensembles stables par combinaison linéaire comme l'ensemble des vecteurs du Plan~:~si $\ve{u}$ et $\ve{v}$ sont des vecteurs du Plan et $\la$ et $\mu$ des réels, alors $\la\ve{u}+\mu\ve{v}$ est encore un vecteur du plan. Ensuite, vous définirez les espaces affines à partir des espaces vectoriels\footnote{Ces structures dépassent largement la Géométrie~:~vous découvrirez par exemple que l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre sans second membre a une structure d'espace vectoriel de dimension 2 et  l'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire du second ordre avec second membre a une structure d'espace affine de dimension 2 comme un plan dans l'Espace <<~géométrique~>> du lycée.}

Nous ne pouvons  bien sûr pas  suivre ce cheminement. Nous nous appuirons donc sur les résultats <<~affines~>> vus au lycée et au collège et n'évoquerons les espaces vectoriels qu'à titre d'exercice.

Il est malgré tout très important de bien distinguer ces deux domaines et nous ferons souvent des  appels intuitifs  à ces notions.  Ayez cependant bien en tête que nous travaillerons principalement dans des espaces affines et que le recours aux outils vectoriels doit se faire avec prudence.

  

\SUBSECTION{Droites ortogonales}

\ENC{\Def\ \ Droites orthogonales}{Soit $\DR$ une droite de vecteur directeur $\ve{u}$ et $\Delta$ une droite de vecteur directeur $\ve{v}$. \\
On dira que les droites $\DR$ et $\Delta$ sont \textbf{orthogonales} et on notera $\DR\bot\Delta$ si et seulement si $\ve{u}\bot\ve{v}$ c'est à dire si et seulement si $\ps{u}{v}=0$}

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.5} 
\end{center}




\SUBSECTION{Droites et plans orthogonaux}


\ENC{\Def\ \ Orthogonalité d'une droite et d'un plan}{Soit $\DR$ une droite de vecteur directeur $\ve{u}$ et $\PR$ un plan de vecteurs directeurs $\ve{v_1}$ et $\ve{v_2}$.\\
On dira que $\DR$ et $\PR$ sont orthogonaux et on notera $\DR\bot\PR$ si et seulement si $\ve{u}\bot\ve{v_1}$ et $\ve{u}\bot\ve{v_2}$ c'est à dire si et seulement si $\ps{u}{v_1}=0$ et $\ps{u}{v_2}=0$}


\begin{center}
\includegraphics{geo3d.4} 
\end{center}

Notez bien que, comme dans le cas des droites, l'orthogonalité est en fait une propriété vectorielle. On peut néanmoins en donner une formulation équivalente en faisant intervenir des points~:

\enc{$\DR\bot\PR$ si et seulement si, pour tous points M et N de $\PR$ on a $\ps{u}{MN}=0$}

En effet, $\ve{v_1}$ et $\ve{v_2}$ étant des vecteurs directeurs de $\PR$, il existe deux réels $x$ et $y$ tels que $\ve{MN}~=~x~\ve{v_1}~+~y~\ve{v_2}$ et donc 
\[ \ps{u}{MN}=\ve{u}\cdot\pa{x\ve{v_1}+y\ve{v_2}}=x\ps{u}{v_1}+y\ps{u}{v_2}=0 \]

Notez qu'on retrouve la définition 3 en prenant $x=1$ et $y=0$, puis $x=0$ et $y=1$.

\SUBSECTION{Vecteur normal à un plan}\index{vecteur normal}

La direction d'une droite est déterminée par la donnée d'un vecteur. Le problème pour un plan, c'est qu'on a besoin a priori de deux vecteurs, ce qui est doublement plus compliqué et qui gène  le mathématicien qui vise toujours la simplicité (si si~!...). C'est ici que l'intuition vectorielle vient nous sauver~:~si un plan a deux directions, il n'a qu'une seule <<~direction orthogonale~>> et donc la direction du plan sera entièrement determinée par la donnée d'un vecteur orthogonal à la direction du plan, qu'on appelera \textbf{vecteur normal} au plan. 

Nous ne nous lancerons pas dans une preuve artificielle à notre niveau et qui sera simple avec les outils que vous découvrirez l'an prochain, mais nous nous contenterons de cette approche intuitive.

\ENC{\Def\ \ Vecteur normal à un plan}{\'Etant donné un plan $\PR$, on appelera \textbf{vecteur normal} à $\PR$ tout vecteur directeur d'une droite orthogonale à $\PR$} 


\begin{center}
\includegraphics{geo3d.6} 
\end{center}


Nous admettrons alors les résultats suivants :

\ENC{\Thm\ \ Détermination d'un plan à l'aide d'un vecteur normal}{ Soit $\PR$ un plan, A un point de $\PR$ et $\ve{n}$ un vecteur normal à $\PR$, alors le point M appartient à $\PR$ si et seulement si $\ps{AM}{n}=0$.\\
\sm
Réciproquement, si A est un point quelqconque et $\ve{n}$ un vecteur non nul, alors l'ensemble des points M tels que $\ps{AM}{n}=0$ est un plan.}

\SUBSECTION{Distance d'un point à un plan}

Mettons-nous d'accord sur une définition~:

\ENC{\Def\ \ Distance d'un point à un plan}{Soit M un point, $\PR$ un plan. On appelle distance de M à $\PR$ la distance MH, avec H le projeté orthogonal de M sur $\PR$}


Vous pouvez commencer, pour vous échauffer, par montrer à l'aide d'un dessin et d'un petit raisonnement utilisant un théorème connu depuis fort longtemps, que MH est en fait le minimum des distances MN, $N\in\PR$.



Il reste à exprimer cette distance MH. On suppose connu le plan $\PR$ et donc un point quelconque A de $\PR$ et un de ses vecteurs normaux $\ve{n}$.

%\break

Aidons-nous alors du dessin suivant :

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.7} 
\end{center}


Cela doit maintenant devenir un reflexe : qui dit projection orthogonale, dit produit scalaire, donc la distance MH devrait pouvoir s'exprimer en fonction de $\ps{AM}{n}$.

Or on obtient successivement

\begin{arrayl}
\ps{AM}{n}&=& \pav{\ve{AH}+\ve{HM}}\cdot\ve{n}\\
                   &=& \ps{AH}{n}+\ps{HM}{n}\\
                   &=&\ps{HM}{n}\\
                   &=&\pm \d(M,\PR)\times \no{\ve{n}}
\end{arrayl}

Le plus ou le moins étant choisis selon les sens respectifs de $\ve{HM}$ et $\ve{n}$. Le problème, c'est qu'on ne les connait pas a priori. Mais ce n'est plus un problème si on cache les signes sous une valeur absolue, puisque c'est la distance~-~positive~-~qui nous intéresse.

\sm

Ainsi, $\abv{\ps{AM}{n}}=\d(M,\PR)\times \no{\ve{n}}$ et donc 

\ENC{\Thm \ \  Calcul de la distance d'un point à un plan}{Soit $\PR$ un plan passant par le point A et de vecteur normal $\ve{n}$ et soit M un point quelconque. Alors
\[ \d(M,\PR)=\fr{\abv{\ps{AM}{n}}}{\no{\ve{n}}} \]}


\SUBSECTION{Plans parallèles}

Voici une  utilisation bien pratique  de la notion de vecteur normal~:

\ENC{\Prop\ \ Plans parallèles}{Deux plans sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs normaux sont colinéaires.} 


\begin{center}
\includegraphics{geo3d.8} 
\end{center}


\SUBSECTION{Plans perpendiculaires}

En voici une autre souvent utile en exercice~:

\ENC{Prop\ \ Plans perpendiculaires}{Deux plans sont perpendiculaires si et seulement si leurs vecteurs normaux sont orthogonaux.} 





\begin{center}
\includegraphics{geo3d.9} 
\end{center}
Remarquez en particulier que $\ve{n_1}$ et un vecteur directeur de $\PR_2$ et $\ve{n_2}$ un vecteur directeur de~$\PR_1$.

%\break

\SECTION{Géométrie analytique}{Géométrie analytique}

\SUBSECTION{Représentation paramétrique d'un plan}

Soit $\PR$ un plan passant par $A$ de coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$ et de vecteurs directeurs $\ve{u} \coordpp{a}{b}{c}$ et $\ve{u'}\coordpp{a'}{b'}{c'}$. Alors un point M de coordonnées $(x,y,z)$ appartient à $\PR$ si, et seulement s'il existe deux réels $\la$ et $\mu$ tels que \[ \ve{AM}=\la\ve{u}+\mu\ve{v} \]
c'est à dire, en appliquant cette relation  aux coordonnées

\begin{center}
 \begin{systeme}[7]
x &=&x_A&+&\la a&+&\mu a'\\
y &=&y_A&+&\la b&+&\mu b'\\
z &=&z_A&+&\la c&+&\mu c'
\end{systeme}
\end{center}

C'est ce qu'on appelle une représentation paramétrique du plan $\PR$. Il est également utile de retrouver les éléments caractéristiques du plan (~un point et deux vecteurs directeurs~) à partir de cette représentation.



\SUBSECTION{\'Equation cartésienne d'un plan}

On utilise plus couramment une équation cartésienne de plan. En effet, nous avons vu qu'un plan était entièrement déterminé par la donnée d'un point et d'un vecteur normal. 

Soit donc $\PR$ un plan passant par $A$ de coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$ et de vecteur normal $\ve{n}\coordpp{a}{b}{c}$. 
Alors M de coordonnées $(x,y,z)$ appartient à $\PR$ si, et seulement si  $\ve{AM}\bot\ve{n}$, c'est à dire 

\begin{center}
\begin{arrayl}
\ps{AM}{n}&=&a(x-x_A)+b(y-y_A)+c(z-z_A)\\
                    &=&ax+by+cz-(ax_A+by_A+cy_A)\\
                    &=&0
\end{arrayl}
\end{center}

C'est à dire encore, en posant $d=ax_A+by_A+cz_A$

\[M(x,y,z)\in\PR \ssi ax+by+cz=d \text{ avec } \ve{n}\coordpp{a}{b}{c} \text{ un vecteur normal à } \PR \]










\SUBSECTION{Représentation paramétrique d'une droite}

Quant aux droites, nous n'avons guère le choix~:~un point M appartient à la droite $\DR$ passant par A de coordonnées $(x_A,y_A,z_A)$ et de vecteur directeur $\ve{u}$ de coordonnées $\coordpp{a}{b}{c}$ si, et seulement s'il existe un réel $\la$ tel que 

\[ \ve{AM}=\la\ve{u} \]

c'est à dire si, et seulement si

\begin{center}
 \begin{systeme}
x &=&x_A&+&\la a\\
y &=&y_A&+&\la b\\
z &=&z_A&+&\la c
\end{systeme}
\end{center}

Notez bien que $\la$ est le paramètre de la représentation (~d'où l'appellation~), mais aurait pu porter tout autre nom.



\SECTION{Barycentres}{Barycentres}

\SUBSECTION{Quelques rappels}

\ENC{\Def\ \ \ Barycentre}{Soient $A_1,\ A_2\,...,\,A_n$ $n$ points distincts du plan ou de l'espace. Soient $\al_1,\ \al_2\,...,\,\al_n$ $n$ réels tels que $\al_1+\al_2+\cdots+\al_n\neq 0$, alors on appelle barycentre des points $A_1,\ A_2\,...,\,A_n$ affectés des coefficients $\al_1,\ \al_2\,...,\,\al_n$ le point G défini par 
\[\al_1\ve{GA_1}+\al_2\ve{GA_2}+\cdots+\al_n\ve{GA_n}=\ve{0}\]}



\c Ca, vous connaissez par c\oe ur. Il est maintenant utile de connaître la <<manip>> suivante, pour exprimer G en fonction de points connus. Soit donc M un tel point (en général O, l'origine du repère), alors

\[\al_1\pav{\ve{GM}+\ve{MA_1}}+\al_2\pav{\ve{GM}+\ve{MA_2}}+\cdots+\al_n\pav{\ve{GM}+\ve{MA_n}}=\ve{0}\]
 puis, finalement, en regroupant astucieusement les termes, on obtient

\ENC{Fonction vectorielle de Leibniz}{
\[\ve{MG}=\fr{1}{\al_1+\al_2+\cdots+\al_n}\pav{\al_1\ve{GA_1}+\al_2\ve{GA_2}+\cdots+
\al_n\ve{GA_n}}\]}

En particulier, en prenant $M=O$, on obtient 
\[\begin{cases}x_G=\fr{1}{\al_1+\al_2+\cdots+\al_n}\pa{\al_1 x_{A_1}+\al_2x_{A_2}+\cdots+\al_nx_{A_n}}\\
y_G=\fr{1}{\al_1+\al_2+\cdots+\al_n}\pa{\al_1 y_{A_1}+\al_2y_{A_2}+\cdots+\al_n y_{A_n}}\\
z_G=\fr{1}{\al_1+\al_2+\cdots+\al_n}\pa{\al_1 z_{A_1}+\al_2z_{A_2}+\cdots+\al_nz_{A_n}}
\end{cases}\]


\SUBSECTION{Quelques nouveautés}

Nous commenterons en classe les résultats suivants

\ENC{\Thm Caractérisations barycentriques des droites et des plans}{%
\bel 
\item La droite (AB) est l'ensemble des barycentres des points A et B.
\item Le segment $[A\pv B]$ est l'ensemble des barycentres de A et B affectés de coefficients positifs.
\item Soient A, B et C trois points non alignés. Le plan (ABC) est l'ensemble des barycentres des points A, B et C
\el}


Ce chapitre est assez riche en cours, mais surtout en applications de ces résultats~:~les exercices qui suivent peuvent donc être considérés comme faisant partie intégrante du cours.




\SECTION{\'ENONC\'ES DES EXERCICES}{\'Enoncés des exercices}

\Exot{QCM1}{
L'espace est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal \oijk.

\begin{enumerate} \item L'ensemble des points $M$ de l'espace tels que $\|
\ve{M\text{A}}\| = \|\ve{M\text{B}}\|$ est :

\textbf{a)}~~ l'ensemble vide~~~~~  \textbf{b)}~~ un plan~~~~~  \textbf{c)}~~ une sph\`ere

\item   On consid\`ere les points A(0 ; 1 ; $-2$) et B(2 ; 1 ; 0).

\noindent Les coordonn\'ees du barycentre $G$ de (A ; 1) et (B ; 3) sont :

\textbf{a)}~~ G(6 ; 4 ; -2)~~~~~\textbf{b)}~~ G(1,5 ; 1 ; -0,5)~~~~~ \textbf{c)}~~ G(0,5 ; 1 ; 1,5)

\item La droite $d$ a pour repr\'esentation param\'etrique $x=2-t~;~y
=3t~;~z = -3,~ t \in \bbr$.

\noindent On consid\`ere les points A(2 ; 3; $-3$), B(2; 0 ; $-3$) et C(0 ; 6; 0). On a :

\textbf{a)}~~ $d$ = (AB)~~~~~\textbf{b)}~~$d$ = (BC)~~~~~\textbf{c)}~~ $d \neq$ (AB) et $d \neq $ (BC) et $d \neq $ (CA)

\item Les droites de repr\'esentations param\'etriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 2+t\\
y& =& 1-t\\
z&=&1 +t, t \in R,\end{array}\right.
    ~~~~~\left\{\begin{array}{l c l}
x& =& -t'\\
y& =& -2-1,5t'\\
z& =& 3+t',~ t' \in R\end{array}\right.$
    admettent comme point commun :

\textbf{a)}~~I(3 ; 0 ; 2)~~~~~\textbf{b)}~~ J(2 ; 1 ; 1)~~~~~ \textbf{c)}~~K(0 ; 2 ; $-3$)

\item Les droites de repr\'esentations param\'etriques respectives :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& 1\\
y &=& 1+2t\\
z &=& 1+t,~ t \in R,\end{array}\right.~~~~ \left\{\begin{array}{l c l}
x &= &3-2t'\\
y &=& 7-4t'\\
z &=& 2-t',~ t' \in R\end{array}\right.$

\noindent sont :

\textbf{a)}~~ parall\`eles~~~~~ \textbf{b)}~~ s\'ecantes~~~~~  \textbf{c)}~~ non coplanaires

\item   La droite de repr\'esentation param\'etrique $x = -4t~ ;~ y =
1 + 3t~ ;~ z  = 2 + 2t,~ t \in \bbr$ et le plan d'\'equation $x - 2y + 5z - 1 = 0$ sont :

\textbf{a)}~~ orthogonaux~~~~~\textbf{b)}~~ parall\`eles~~~~~ \textbf{c)}~~ ni orthogonaux ni parall\`eles

\item   L'ensemble des points tels que $x - y + 2z - 1 =
0$ et $-2x + 4y - 4z + 1 = 0$ est :

\textbf{a)}~~ l'ensemble vide~~~~~\textbf{b)}~~ une droite~~~~~\textbf{c)}~~ un plan

\end{enumerate}}


\Exot{QCM2}{
Dans l'espace rapporté à un repère orthonormal \oijk~, on donne le point S$(1 ~;~ - 2~;~ 0)$ et le plan P d'équation $x + y - 3z + 4 =
0$.

\begin{enumerate} \item Une représentation paramétrique de la droite D passant par le point S et
perpendiculaire au plan P est :

\[\text{A} : \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1 + t\\
y &= &1 - 2t\\
z&=&-3\\
  \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \text{B} :
\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &2 + t\\
y &= &-1 + t\\
z&= & 1 - 3t \end{array}\right.,~ t \in \R\]

\[ \quad \text{C} :
\left\{\begin{array}{l c l}
x&= &1+t\\
y&=&-2 - 2t\\
z&=&3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R \quad \text{D} : \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 + t\\
y&=&-1 + t\\
z&=&-3 - 3t\\ \end{array}\right.,~ t \in \R.\]

\item Les coordonnées du point d'intersection H de la droite D avec le plan P sont :

\[\text{A} : (-4~;~0~;~0) \quad \text{B} :
\left(\cfrac{6}{5}~;~\cfrac{-9}{3}~;~\cfrac{1}{3} \right) \quad \text{C} : \left(\cfrac{7}{9}~;~\cfrac{-2}{3}~;~\cfrac{1}{3} \right)
\quad \text{D} ; \left(\cfrac{8}{11}~;~\cfrac{-25}{11}~;~\cfrac{9}{11}\right)\]

\item La distance du point S au plan P est égale à :

\[\text{A} : \cfrac{\sqrt{11}}{3} \qquad \text{B} : \cfrac{3}{\sqrt{11}}
\qquad \text{C} : \cfrac{9}{\sqrt{11}} \qquad \text{D} : \cfrac{9}{11}\]

\item On considère la sphère de centre S et de rayon 3. L'intersection de la sphère
 S et du plan P est égale

A : au point I$(1 ~;~-5~;~0)$

B : au cercle de centre H et de rayon $r = 3\sqrt{\cfrac{10}{11}}$

C : au cercle de centre S et de rayon $r = 2$

D : au cercle de centre H et de rayon $r = \cfrac{3\sqrt{10}}{11}$.

\end{enumerate}
}



\exot{QCM3}

\emph{Pour chacune des $5$ propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et donner une d\'emonstration de la r\'eponse choisie.\\ 
Une r\'eponse non d\'emontr\'ee ne rapporte aucun point.}\\
L'espace est muni d'un rep\`ere orthonormal \oijk.\\
On consid\`ere la droite ($d$) dont un syst\`eme d'\'equations param\'etriques est :\\
 $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&2 - \dfrac{t}{2}\\
y &=& 1\\	
z &=&5 - \dfrac{3t}{2}\\
\end{array}\right. ~~(t \in \R)$

\noindent On note A le point de coordonn\'ees $(2~;~-1~;~1)$, B le point de coordonn\'ees $(4~;~-2~;~2)$ et C le point de ($d$)
d'abscisse $1$.
\begin{enumerate}
\item Proposition 1\\
\og La droite ($d$) est parall\`ele à l'axe $\left(\text{O}~;~\ve{\jmath}\right)$ \fg.
\item  Proposition 2\\
\og  Le plan $P$ d'\'equation $x+ 3z - 5=0$ est le plan passant par A et orthogonal à ($d$)  \fg.
\item Proposition 3\\
\og  La mesure de l'angle g\'eom\'etrique $\widehat{\text{BAC}}$ est $\dfrac{\pi}{3}$ radians  \fg.
\item  Soit G le barycentre des points pond\'er\'es (A ; $-1$), (B ; 1) et (C ; 1).\\
Proposition 4\\
\og Les segments [AG] et [BC] ont le même milieu  \fg.
\item Proposition 5
\og La sph\`ere de centre C et passant par B coupe le plan $P$ d'\'equation $x+3z -5 = 0$  \fg.
\end{enumerate}








\exot{QCM4}


Dans l'espace rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal \oijk, on consid\`ere les points :\\
A de coordonn\'ees $(3 ~;~ 1 ~;~-5)$, B de coordonn\'ees $(0 ~;~ 4 ~;~ -5)$, C de coordonn\'ees $(-1 ~;~ 2 ~;~ -5)$ et D de coordonn\'ees (2 ; 3 ; 4).\\

\noindent \emph{Pour chacune des six affirmations ci-dessous, pr\'eciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n'est demand\'ee. Le candidat doit indiquer sur sa copie le num\'ero de la question et la mention} \og VRAI \fg{}  \emph{ou} \og FAUX \fg.  \emph{On attribue} 0,5  \emph{point par r\'eponse correcte et on retranche} 0,25  \emph{point par r\'eponse incorrect.\\
 L'absence de r\'eponse n'est pas p\'enalis\'ee. Un \'eventuel total n\'egatif est ramen\'e \`a} 0.
\begin{enumerate}
\item Les points A, B et D sont align\'es.
\item La droite (AB) est contenue dans le plan d'\'equation cart\'esienne : $x + y = 4$.
\item Une \'equation cart\'esienne du plan (BCD) est : $18x - 9y - 5z + 11 = 0$.
\item Les points A, B, C et D sont coplanaires.
\item La sph\`ere de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD).

\item Une repr\'esentation param\'etrique de la droite (BD) est : \[\left\{\begin{array}{l c r}
x&=&1-2k\\
y&=&\dfrac{7}{2}+k,~~\\
z&=& - \dfrac{1}{2} - 9k\\
\end{array}\right.  k \in \R\]
\end{enumerate}






\exot{QCM5}



\noindent \textbf{Premi\`ere partie}\\
L'espace est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormal \oijk.	On consid\`ere :

\begin{itemize}
\item les points A(0 ; 0 ; 3),  B(2 ; 0 ; 4), C$(-1~;~1~;~2)$ et D$(1~;~-4~;~0)$
\item les plans $(P_{1})~ :~7x + 4y - 3z + 9 = 0$ et $(P_{2}) : x - 2y = 0$.
\item les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ d\'efinies par leurs syst\`emes d'\'equations param\'etriques respectifs
\end{itemize}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x &= &-1 + t\\
y &=&-8 + 2t\\
z&= &-10 + 5t\\
\end{array}\right. 	t \in \R \qquad 	\left\{\begin{array}{l c l}
x & = &7 + 2t'\\
y&=&8 + 4t'\\
z&=&8 - t'\\
\end{array}\right. t' \in \R\]

\noindent Pour chaque question, une seule des quatre propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le num\'ero de la question et la lettre correspondant \`a la r\'eponse choisie. Aucune justification n'est demand\'ee.\\
 Une r\'eponse exacte rapporte 0,5 point ; une r\'eponse inexacte enl\`eve 0,25 point ;  l'absence de r\'eponse est compt\'ee $0$ point. Si le total est n\'egatif, la note est ramen\'ee \`a $0$.
 
 
\hspace{-1.2cm} 



\begin{center}\begin{tabular}{|p{2,8cm}|p{2.5cm}|*{3}{p{2.3cm}|}}\cline{2-5}
\multicolumn{1}{c|}{}	&a.&	b.&	e.&	d.\\ \hline
1. Le plan $(P_{1})$ est&	Le plan (ABC)&	Le plan (BCD) & 	Le plan (ACD)&	Le plan (ABD)\\ \hline
2. La droite $(\Delta_{1})$ contient&	Le point A&	Le point B&	Le point C&	Le point D\\ \hline
3. Position relative de $(P_{1})$ et de $(\Delta_{2})$&	$(\Delta_{1})$ est strictement	parall\`ele a $(P_{1})$&	$(\Delta_{1})$ est incluse dans $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ coupe $(P_{1})$&$(\Delta_{1})$ est orthogonale \`a $(P_{1})$\\ \hline
4. Position relative de  $(\Delta_{1})$ et de $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ est strictement parall\`ele \`a $(\Delta_{2})$&$(\Delta_{1})$ et  $(\Delta_{2})$ sont confondues&$(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$	) sont 	 s\'ecantes&$(\Delta_{1})$ et  $(\Delta_{2})$ sont non coplanaires.\\ \hline
5. L'intersection de $(P_{1})$ et de $(P_{2})$ est une droite dont une repr\'esentation param\'etrique est &$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&t\\
 y&=&- 2 + \dfrac{1}{2}t\\
 z&=&3t\\
 \end{array}\right.$&$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&2t\\
 	y& =&t\\
	z&=&3 + 6t\\
	\end{array}\right.$&$\left\{\begin{array}{l c l}x&=&5t\\y&=&1 - 2t\\z&=&t\\
	\end{array}\right.$&$\left\{\begin{array}{l c l} x&=&-1 + t\\y&=&2 + t\\ z&=&-3t\\
	\end{array}\right.$\\ \hline
	\end{tabular}
	\end{center}


\noindent \textbf{Deuxi\`eme partie}\\
L'espace est rapport\'e \`a un rep\`ere orthonormai \oijk. On consid\`ere la droite (D) passant par
A(0 ; 0 ; 3) et dont un vecteur directeur est $\ve{u}(1~;~0~;~ -1)$ et la droite (D$'$) passant par B(2 ; 0 ; 4)  et dont un vecteur directeur est $\ve{v}(0~:~ 1~;~1)$.\\
L'objectif est de d\'emontrer qu'il existe une droite unique perpendiculaire \`a la fois \`a (D) et \`a (D$'$), de la d\'eterminer et de d\'egager une propri\'et\'e de. cette droite.

\begin{enumerate}
\item  On consid\`ere un point $M$ appartenant \`a (D) et un point $M'$ appartenant \`a (D$'$). d\'efinis par $\ve{\text{A}M} = a\ve{u}$	 et $\ve{\text{B}M'} = b\ve{v}$ , où $a$ et $b$ sont de nombres r\'eels.\\
 Exprimer les coordonn\'ees de $M$, de $M'$ puis du vecteur $\ve{MM'}$	en fonction de $a$ et $b$.
\item D\'emontrer que la droite ($MM'$) est perpendiculaire \`a (D) et \`a (D$'$) si et seulement si le couple $(a~;~ b)$ est solution du syst\`eme 
 \[ \left\{\begin{array}{l c r}
 2a + b&=&1\\
 a + 2b&=&-1\\
 \end{array}\right.\]

\item R\'esoudre ce syst\`eme. En d\'eduire les coordonn\'ees des deux uniques points $M$ et $M'$, que nous noterons ici H et H', tels que la droite (HH$'$) soit bien perpendiculaire commune \`a (D) et \`a
(D$'$). Montrer que HH$' = \sqrt{3}$ unit\'es de longueur.
\item On consid\`ere un point $M$ quelconque de la droite (D) et un point $M'$ quelconque de la droite (D$'$).
\begin{enumerate}
\item  En utilisant les coordonn\'ees obtenues \`a la question 1, d\'emontrer que
\[MM'^2=	 (a + b)^2 +(a - 1)^2 + (b+ 1)^2 + 3.\]
\item  En d\'eduire que la distance $MM'$ est minimale lorsque $M$ est en H et $M'$ est en H$'$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\Exot{Distinguer l'affine du vectoriel}  {On considère deux réels $a$ et $b$ ainsi que les parties D et $D'$ de l'espace données par leurs équations dans un repère cartésien :
 $$D \ : \
\bsyc
x-z-a&=&0\\
y+3z+1&=&0 \esyc {\rm \ \ et\ \ } D'\  : \ \bsyc
x+2y+z-2b&=&0\\
3x+3y+2z-7&=&0 \esyc$$

 Montrer que $D$ et $D'$ sont des droites.}




\exot{Bac}

L'espace est muni du rep\`ere orthonormal \oijk. Soient (P) et (P$'$) les plans d'\'equations respectives $x + 2y - z + 1 = 0$ et $- x + y + z = 0$. Soit A le point de coordonn\'ees (0 ; 1 ; 1).
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que les plans (P) et (P$'$) sont perpendiculaires.
\item  Soit ($d$) la droite dont une repr\'esentation param\'etrique est :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
x&=&- \dfrac{1}{3} + t\\
y&=&- \dfrac{1}{3}\\
z &=& t\\
\end{array}\right. ~~\text{o\`u}~ t~ \text{est un nombre r\'eel.}\]	
D\'emontrer que les plans (P) et (P$'$) se coupent selon la droite ($d$).
\item  Calculer la distance du point A \`a chacun des plans (P) et (P$'$).
\item  En d\'eduire la distance du point A \`a la droite ($d$).
 \end{enumerate}



\exot{Bac}


L'espace est rapport\'e au rep\`ere orthonorm\'e \oijk. On consid\`ere les points $A(3~;~0~;~6)$ et $I(0~;~0~;~6)$, et l'on appelle $(D)$ la droite passant par $A$ et $I$.\\
On appelle $(P)$ le plan d'\'equation $2y + z - 6 = 0$ et $(Q)$ le plan d'\'equation $y - 2z + 12 = 0$.
\begin{enumerate}
\item D\'emontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item D\'emontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$  est la droite $(D)$.
\item D\'emontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(\text{O}~;~\ve{\jmath}\right)$ et d\'eterminer les coordonn\'ees des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(\text{O}~;~\ve{\jmath}\right)$.
\item D\'emontrer qu'une \'equation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\ve{AC}$ est
$$x+4y+2z-12=0.$$
\item Donner une repr\'esentation param\'etrique de la droite $(OA)$.\\
D\'emontrer que la droite $(\text{O}A)$ et le plan $(T)$ sont s\'ecants en un point $H$ dont on d\'eterminera les coordonn\'ees.
\item Que repr\'esente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier.
\end{enumerate}
\begin{center}
\psset{xunit=6mm,yunit=6mm}
\begin{pspicture}(-13,-2)(9,9)
	\pstGeonode[PosAngle=135](-12,-2){C}
	\pstGeonode[PosAngle=-90](3,0.5){B}
	\pstGeonode[PosAngle=45](0,6){I}
	\pstGeonode[PosAngle=-130](0,0){O}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-8.475,-2.974){E}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](3.53,5.029){F}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](6.529,-0.471){H}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-13.567,-2.261){N}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,1.5){R}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,10){Q}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,3.53){T}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-5.353,-0.892){D}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](5.749,0.958){G}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,2.678){J}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](-12,9.3){S}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](9,-2.475){P}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](1,0.166666){Y}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0.835,-0.228){X}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](0,1){Z}
	\pstGeonode[PointSymbol=none,PointName=none](2.558,4.402){K}
	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](B)(H)(F)(I)
	\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray](C)(E)(F)(I)
	\pstGeonode[PosAngle=45](2.492,5.315){A}
	\psline(N)(C)
	\psline[linestyle= dotted](C)(D)
	\psline(D)(B)
	\psline[linestyle= dotted](B)(G)
	\psline(G)(R)
	\psline(O)(J)
	\psline[linestyle= dotted](J)(I)
	\psline(I)(Q)
	\psline(S)(T)
	\psline(O)(P)
	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(X)
	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Y)
	\psline[linewidth=1.5pt]{->}(O)(Z)
	\psline(C)(A)
	\psline[linestyle=dotted](A)(K)
	\psline(K)(B)
	\uput[-45](E){$(Q)$}
	\uput[-45](H){$(P)$}
	\uput[45](T){$(D)$}
	\uput[45](P){\tiny$x$}
	\uput[-45](R){\tiny$y$}
	\uput[-45](Q){\tiny$z$}
	\uput[180](X){$\tiny\ve{i}$}
	\uput[135](Y){$\tiny\ve{j}$}
	\uput[-135](Z){$\tiny\ve{z}$}
\end{pspicture}
\end{center}




\exot{Bac}

Dans l'espace muni d'un rep\`ere orthonormal \oijk, on consid\`ere les points A$\left(\dfrac{2}{3}~;~-3~;~2\right)$ et  B$\left(-\dfrac{4}{3}~;~0~;~-4\right)$.\\
On note I le milieu du segment [AB] et (S) la sph\`ere de diam\`etre [AB].
\begin{enumerate}
\item  Soit E le barycentre des points pond\'er\'es (A ; 2) et (B ; 1).
\begin{enumerate}
\item  Calculer les coordonn\'ees de E.
\item  Montrer que l'ensemble (P) des points $M$ de l'espace tels que \\$\left\|2\ve{M\text{A}} + \ve{M\text{B}}\right\| = 3\left\|\ve{M\text{O}}\right\|$ est le plan m\'ediateur du segment [OE].
\item  Montrer qu'une \'equation du plan (P) est $y = -1$.
\end{enumerate}
\item \begin{enumerate}
\item  Calculer le rayon de la sph\`ere (S) et la distance du centre I de la sph\`ere au plan (P).\\
En d\'eduire que l'intersection (C) du plan (P) et de la sph\`ere (S) n'est pas vide.
\item  Montrer qu'une \'equation de (C) dans le plan (P) est \\$\left(x + \dfrac{1}{3}\right)^2 +  (z +1)^2 =12$.\\
En d\'eduire que (C) est un cercle dont on pr\'ecisera le centre et le rayon.
 \end{enumerate}
\item Soit D le point de coordonn\'ees	$\left(- \dfrac{1}{3}~;~- \dfrac{1}{2}~;~4\sqrt{3} - 1 \right)$.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer une repr\'esentation param\'etrique de la droite (ID).
\item  En d\'eduire que la droite (ID) est s\'ecante au cercle (C) en un point not\'e F dont on donnera les coordonn\'ees.
\end{enumerate}
\end{enumerate} 
 






\exot{Bac}

L'espace est rapport\'e au rep\`ere orthonormal \oijk.\\
On consid\`ere le plan $\mathcal{P}$ d'\'equation $2x + y - 2z + 4 =  0$ et les points A de coordonn\'ees (3 ; 2 ; 6), B de coordonn\'ees (1 ; 2 ; 4), et C de coordonn\'ees $(4~;~-2~;~5)$.
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  V\'erifier que les points A, B et  C d\'efinissent un plan.
\item   V\'erifier que ce plan est le plan $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}
\item   \begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle ABC est rectangle.

\item  \'Ecrire un syst\`eme d'\'equations param\'etriques de la droite $\Delta$ passant par O et perpendiculaire
au plan $\mathcal{P}$.

\item Soit K le projet\'e orthogonal de O sur $\mathcal{P}$. Calculer la distance OK.

\item  Calculer le volume du t\'etra\`edre OABC.
 \end{enumerate}
\item  On consid\`ere, dans cette question, le syst\`eme de points pond\'er\'es
 \[S = \left\{(\text{O},~3),~(\text{A},~1),~(\text{B},~1),~(\text{C},~1)\right\}\]
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que ce syst\`eme admet un barycentre, qu'on notera G.
\item   On  note I le centre de gravit\'e du triangle ABC. Montrer que G appartient \`a (OI).

\item   D\'eterminer la distance de G au plan $\mathcal{P}$.
 \end{enumerate}
\item   Soit $\Gamma$ l'ensemble des points $M$ de l'espace v\'erifiant :
\[\left\|3\ve{M\text{O}} +\ve{M\text{A}}+\ve{M\text{B}} + \ve{M\text{C}}\right\| = 5.\]

D\'eterminer $\Gamma$. Quelle est la nature de l'ensemble des points communs \`a $\mathcal{P}$ et $\Gamma$ ?
\end{enumerate}




\exot{Bac}


\noindent  On  consid\`ere  dans  l'espace  un  cube  de  3  cm  de  c\^ot\'e,  not\'e  ABCDEFGH  et
repr\'esent\'e ci-dessous.\\


\begin{center}
\begin{pspicture}(-2,-3)(5,9)
\uput[dl](0,0){A}\uput[d](3,-2){D}\uput[dr](8,-1){C}\uput[r](5,1){B}
\uput[dl](0.5,5){E}\uput[u](3.5,3){H}\uput[dr](8.5,4){G}\uput[r](5.5,6){F}
\psline(0,0)(3,-2)
\psline(3,-2)(8,-1)
\psline[linestyle=dashed](8,-1)(5,1)
\psline[linestyle=dashed](5,1)
\psline(0.5,5)(3.5,3)
\psline(3.5,3)(8.5,4)
\psline(8.5,4)(5.5,6)
\psline(5.5,6)(0.5,5)

\psline(0.5,5)(0,0)
\psline(3.5,3)(3,-2)
\psline(8.5,4)(8,-1)
\psline[linestyle=dashed](5.5,6)(5,1)

\end{pspicture}

\end{center}








Soit I le barycentre des points pond\'er\'es (E ; 2) et (F ; 1), J celui de (F ; 1) et (B ; 2) et enfin K celui de (G ; 2) et (C ; 1).\\\\
\emph{On veut d\'eterminer l'ensemble des points $M$ \'equidistants de} I,  J \emph{et} K. \emph{On note }$\Delta$ \emph{cet ensemble.}

\begin{enumerate}
\item Placer les points l, J et K sur la figure de \textbf{l'annexe qui sera rendue avec la copie.}

\item Soit $\Omega$ le point de $\Delta$ situ\'e dans le plan (IJK). Que repr\'esente ce point pour le triangle IJK ?\\

\emph{Pour la suite de l'exercice, on se place maintenant dans le rep\`ere orthonormal suivant :} $\left(\text{A}~;~\dfrac{1}{3}\ve{\text{AD}}~;~\dfrac{1}{3}\ve{\text{AB}}~;~\dfrac{1}{3}\ve{\text{AE}}\right)$.

\item Donner les coordonn\'ees des points l, J et K.

\item Soit P(2~;~0~;~0) et Q(1~;~3~;~3) deux points que l'on placera sur la figure. D\'emontrer que la droite (PQ) est orthogonale au plan (IJK).

\item Soit $M$ un point de l'espace de coordonn\'ees $(x~;~y~;~z)$.
\begin{enumerate}
\item  D\'emontrer que $M$ appartient \`a $\Delta$ si, et seulement si, le triplet $(x~;~y~;~z)$ est solution d'un syst\`eme de deux \'equations lin\'eaires que l'on \'ecrira. Quelle est la nature de $\Delta$ ?

\item V\'erifier que P et Q appartiennent \`a $\Delta$. Tracer $\Delta$ sur la figure.
\end{enumerate}

\item 
\begin{enumerate}
\item D\'eterminer un vecteur normal au plan (IJK) et en d\'eduire une \'equation cart\'esienne de ce plan.

\item D\'eterminer alors les coordonn\'ees exactes de $\Omega$. 
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{Bac}

Dans un  cube ABCDEFGH, on d\'esigne par I et J  les milieux respectifs
des segments  [AB] et [GH]. K d\'esigne le centre de la face BCGE. Les calculs   seront effectu\'es dans le rep\`ere orthonormal  $\left(\text{A}~;~ \ve{\text{AB}},~ \ve{\text{AD}},~ \ve{\text{AE}}\right)$.\\

\parbox{0.65\linewidth}{\textbf{1. a.}  D\'emontrer que le quadrilat\`ere DIFJ est un parall\'elogramme.\\
\'Etablir  que DIFJ est en fait un losange et
montrer que l'aire de ce losange est \'egale \`a $\dfrac{\sqrt{6}}{2}$.} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\begin{pspicture}(3.5,3.5)
\psframe(0.4,0)(2.4,2)%ABFE
\psline(2.4,0)(3.1,1)(3.1,3)(2.4,2)%BCGF
\psline(3.1,3)(1.1,3)(0.4,2)%GHE
\psline[linestyle=dashed](0.4,0)(1.4,1)(3.1,1)
\psline[linestyle=dashed](1.4,1)(1.4,3)
\uput[dl](0.4,0){A}  \uput[d](1.4,0){I}  \uput[dr](2.4,0){B}  
\uput[r](3.1,1){C}  \uput[u](2.75,1){K}  \uput[ul](1.4,1){D}  
\uput[l](0.4,2){E}  \uput[ul](2.4,2){F}  \uput[ur](3.1,3){G}  
\uput[u](2.1,3){J}  \uput[ul](1.1,3){H}
\psline(1.4,0.1)(1.4,-0.1) \psline(2.1,3.1)(2.1,2.9)
\rput(2.73,1.48){$\times$}  
\end{pspicture}}\\
\hspace*{1.2cm}\textbf{b.}  V\'erifier que le vecteur $\ve{n}\left(\begin{array}{c}2\\1\\-1\\
\end{array}\right)$ est un vecteur normal au plan (DIJ).\\
En d\'eduire une \'equation cart\'esienne de ce plan.\\
\hspace*{1.2cm}\textbf{c.} D\'eterminer la distance du point E au plan (DIJ), puis calculer le
volume de la pyramide EDIFJ. On rappelle que le volume V d'une pyramide de hauteur $h$ et de base correspondante $\mathcal{B}$ est donn\'e par la formule
suivante  V $= \dfrac{1}{3} \times  \mathcal{B}\times  h$.
\begin{enumerate}\item[\textbf{2.}]	Soit  ($\Delta$) la droite passant par E et orthogonale au plan (DIJ)
\begin{enumerate}\item Donner  une repr\'esentation param\'etrique de ($\Delta$) et prouver que K est un point  de ($\Delta$). 
\item D\'eterminer les coordonn\'ees du point d'intersection L de ($\Delta$) et du plan (DIJ).
\item V\'erifier que L est le centre de gravit\'e du triangle BEG. 
\end{enumerate}
\item[\textbf{3.}]  Soit (S) l'ensemble des points de l'espace dont les coordonn\'ees v\'erifient  l'\'equation $x^2 + y^2 + z^2 - 2x - y- x + \dfrac{4}{3} =  0$.
\begin{enumerate}
\item V\'erifier que (S) est une sph\`ere dont on pr\'ecisera le centre et le rayon.
\item Montrer que L est un point de (S), Quelle propri\'et\'e g\'eom\'etrique relative
\`a 	(S) et au plan (DIJ) peut-un d\'eduire de ce dernier r\'esultat ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}





\exot{Bac}

L'espace est muni d'un rep\`ere orthonormal \oijk.\\
Soit $\left(P_{1}\right)$ le plan d'\'equation cart\'esienne $-2 x +y + z-6 = 0$  et $\left(P_{2}\right)$ le plan d'\'equation cart\'esienne $x-2y+ 4z-9 =0$.
\begin{enumerate}
\item  Montrer que $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$ sont perpendiculaires.\\
On rappelle que deux plans sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal non
nul \`a l'un est orthogonal \`a un vecteur normal non nul \`a l'autre.
\item  Soit (D) la droite d'intersection de $\left(P_{1}\right)$ et $\left(P_{2}\right)$.


Montrer qu'une repr\'esentation param\'etrique de (D) est : \[\left\{\begin{array}{l c r}
x &=& -7 + 2t\\
y&=& - 8 + 3t\\
z& =&t\\
\end{array}\right. (t~\in~\R).\]
\item  Soit $M$ un point quelconque de (D) de param\`etre $t$ et soit A le point de coordonn\'ees
$(-9~;~-4~;~- 1)$.
\begin{enumerate}
\item  V\'erifier que A n'appartient ni \`a $\left(P_{1}\right)$, ni \`a $\left(P_{2}\right)$.
\item  Exprimer A$M^2$ en fonction de $t$.
\item  Soit $f$ la fonction d\'efinie sur $\R$ par $f(t)=2t^2 -2t + 3.$
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$]  \'Etudier les variations de $f$.
\item[$\bullet~$] Pour quel point $M$, la distance A$M$ est-elle minimale ?\\
Dans la suite, on d\'esignera ce point par I.
\item[$\bullet~$] Pr\'eciser les coordonn\'ees du point I.
 \end{itemize}
 \end{enumerate}
\item  Soit (Q) le plan orthogonal \`a (D) passant par A.
\begin{enumerate}
\item  D\'eterminer une \'equation de (Q).
\item  D\'emontrer que I est le projet\'e orthogonal de A sur (D).
\end{enumerate}
\end{enumerate} 




\Exot{Résolution de systèmes}{ Dans l'espace muni d'un repère cartésien, on consid\`ere :
\begin{itemize}
\item
les points $A(1,2,3)$ et $B(2,-1,2)$
\item
les droites affines ${\mathcal D}_1:\bsyc
x&=&3-\lambda\\
y&=&1+2\lambda\\
z&=&-1+\lambda\esyc$ \ \ et\ \ ${\mathcal D}_2:\bsyc
x&=&1+3\lambda\\
y&=&-2\lambda\\
z&=&3+5\lambda\esyc$
\item
les plans affines ${\mathcal P}_1:\bsyc
x&=&1-2\lambda+3\mu\\
y&=&-2+\lambda+\mu\\
z&=&4-\lambda-2\mu\esyc$,\ \ ${\mathcal P}_2: 2x-y+3z-1=0$\ et\
${\mathcal P}_3: x+2z-4=0$.
\end{itemize}


\been
\item Montrer que ${\mathcal P}_1$ est bien un plan dont on donnera une équation cartésienne.

\item Donner une \'equation cart\'esienne du plan passant
par  $A$ et contenant ${\mathcal D}_1$.
\item Donner une repr\'esentation param\'etrique  de
${\mathcal P}_2\cap{\mathcal P}_3$.

\item Donner une \'equation cart\'esienne du plan  contenant
${\mathcal D}_1$ et tel que ${\mathcal D}_2$ lui soit parallèle.

\item D\'eterminer l'intersection de  ${\mathcal P}_1$ et de la droite $(AB)$.

\een}


\Exot{Distance d'un point à une droite }{ Dans l'espace  muni d'un repère orthonormé, on considère les plans
$$P:x+y+z=3\ \ {\rm et}\ \ P':x-3y+2z=3$$
\been
\item \'Etablir le résultat classique~: si $\QR$ est un plan d'équation $ax+by+cz+d=0$ dans un repère orthonormé, alors $\d(M_0,\QR)=\fr{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$. 
\item Calculer alors la distance de l'origine à $P$, et la distance
de l'origine à $P'$.
\item \m $P\cap P'$ est une droite. On la notera $D$.
\item Déduire du 2. la valeur de la distance de l'origine à $D$.
 \een}





\Exot{Médiatrices et plans médiateurs}{
\been \item Dans l'Espace, quel est l'ensemble des points équidistants à deux points distincts donnés~?



\item Dans l'Espace, quel est l'ensemble des points équidistants à trois points distincts donnés~?


\item Dans l'espace muni d'un repère orthonormé, montrer qu'il existe une unique sphère passant par les points
$$A(4,5,1)\ B(2,5,-5)\ C(-4,5,1)\ D(4,3,3)$$
On déterminera le centre et le rayon de cette sphère.\een}



\Exot{Molécule de méthane}{
La molécule de méthane est constituée d'un atome de carbone et de
quatre atomes d'hydrogène équidistants de l'atome de carbone et situés à égale
distance l'un de l'autre.

\begin{center}
\includegraphics{geo3d.10} 
\end{center}

J est le milieu du segment $[H_3, H_4]$, K est le projeté orthogonal de $H_2$ sur le plan $(H_1H_3H_4)$ et G est le centre de gravité du triangle $H_2H_3H_4$.

\been
\item \m $K$ est le centre de gravité du triangle $H_1H_3H_4$.
\item En travaillant dans le plan $H_1H_2K$, calculer la distance
$H_2K$.
\item En déduire le <<~volume~>> de la molécule.
\item Montrez que les arêtes opposées sont orthogonales.
\item Où est placé le point C représentant l'atome de carbone~?
\item Calculez la mesure de l'angle $\widehat{H_3CH_4}$.
 \een
}

\Exot{Barycentre, tétraèdre et paramètre}


On considère le tétraèdre ABCD; on note I milieu du segment [AB] et J celui
 de [CD].

\begin{enumerate} \item

\begin{enumerate} \item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés

 $\{(\text{A},~ 1)~;~ (\text{B},~ 1)~;~ (\text{C},~-1)~;~ (\text{D},~1)\}$.

Exprimez $\overrightarrow{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille
annexe).

\item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés
$\{(A,~ 1)~;~ (B,~ 1)~ ;~ (D,~ 2)\}$.

Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$.

\item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J.

\end{enumerate}

\item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés
$\{(A,~ 1)~;~(B,~ 1)~;~(C,~m-2)~;~(D,~m)\}$.

\begin{enumerate} \item Précisez l'ensemble $\mathcal{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre
$G_{m}$ existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathcal{E}$.

\item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD).

\item Démontrez que le vecteur $m\overrightarrow{\text{J}G_{m}}$ est constant.

\item En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit
l'ensemble $\mathcal{E}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}


\Exot{}


L' espace est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal \oijk.

\begin{enumerate} \item D\'eterminer une \'equation du plan $P$ passant par le point
A( 1 ; 0 ; 1) et de vecteur normal $\ve{n}\begin{pmatrix} -1
\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

\item Soit $P'$ le plan d'\'equation $x + 2y - z + 1 = 0$ et M le point de coordonn\'ees
(0 ; 1 ; 1).

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que les plans $P$ et $P'$ sont perpendiculaires.

\item Calculer les distances $d$ et $d'$ du point M aux plans
$P$ et $P'$ respectivement.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Donner une repr\'esentation param\'etrique de la droite D intersection des
plans $P$ et $P'$.

\item D\'eterminer les coordonn\'ees du point $H$ de D tel que la droite
(M$H$) soit perpendiculaire à la droite D.

\item V\'erifier que M$H^2 =  d^2 + d'^2$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}



\Exot{Distances}


Dans l'espace muni du rep\`ere orthonormal \oijk, on consid\`ere les points :

\[\text{A}(2~;~0~;~0),\quad \text{B}(-1~;~\sqrt{3}~;~0) \text{et~
C}(-1~;~-\sqrt{3}~;0)\]

\begin{enumerate} \item Placer sur une figure les points A, B et C dans le plan  \oij.

\item Montrer que le triangle ABC est \'equilat\'eral et que O est son centre.

\item \begin{enumerate} \item D\'eterminer l'ensemble des points $M$ de l'espace \'equidistants
des points A et B.

\item D\'eterminer l'ensemble des points $N$ de l'espace \'equidistants des points B et C.

\item En d\'eduire que l'ensemble des points $P$ de l'espace \'equidistants des points
A, B et C est l'axe $\left(\text{O}~;~\ve{k}\right)$.

\end{enumerate}

\item Montrer qu'il existe un unique point D dont la troisi\`eme coordonn\'ee
est positive tel que le t\'etra\`edre ABCD soit r\'egulier et calculer ses coordonn\'ees.

\item Soit $M$ un point quelconque du segment [CD]. On
pose $\ve{\text{C}M}  = \lambda \ve{\text{CD}}$ avec $\lambda \in  [0~;~1]$.


\begin{enumerate} \item Montrer que $\cos \widehat{\text{A}M\text{B}} =
\cfrac{2\lambda ^2 -2\lambda +1}{2(\lambda^2 - \lambda + 1)}$.

On d\'efinit une fonction $f$ de $\bbr$ dans $\bbr$ par la relation

\[f(\lambda) = \cfrac{2\lambda ^2 -2\lambda +1}{2(\lambda^2 - \lambda +
1)} = 1 - \cfrac{1}{2(\lambda^2 - \lambda + 1)}\]

\item \'Etudier les variations de la fonction $f$.

\item En d\'eduire la position de $M$ pour laquelle l'angle
$\widehat{\text{A}M\text{B}}$ est maximum.

\item Quelle est la valeur de ce maximum ?

\end{enumerate}

\end{enumerate}




\Exot{Dans un cube}


\noindent \parbox[l]{0.70\textwidth}{Soit ABCDEFGH un cube de côt\'e 1. On choisit le rep\`ere orthonormal
$\left(\text{A}~;~\ve{\imath}~;~\ve{\jmath}~; ~\ve{k}\right)$ avec $\ve{\imath} = \ve{\text{AB}},~\ve{\jmath} = \ve{\text{AD}}$ et
$\ve{k} =  \ve{\text{AE}}$.

On appelle I, J, K, L, M et N les milieux respectifs des segments [BC], [CD], [DH], [HE], [EF] et [FB].}\hfill \noindent
\parbox[c]{0.20\textwidth}{\begin{pspicture}(3,3) \psframe(0,0)(2.2,2.2) \psline(0,2.2)(0.6,3)(2.8,3)(2.8,1)(2.2,0)
\psline(2.2,2.2)(2.8,3) \psline[linestyle=dotted](0,0)(0.6,1)(2.8,1) \psline[linestyle=dotted](0.6,3)(0.6,1) \uput[dl](0,0){A}
\uput[dr](2.2,0){B} \uput[r](2.8,1){C} \uput[l](0.6,1){D} \uput[l](0,2.2){E} \uput[r](2.2,2.2){F} \uput[r](2.8,3){G} \uput[l](0.6,3){H}
\end{pspicture}}


\begin{enumerate} \item D\'eterminer les coordonn\'ees des points I, K, M.

\item Montrer que les six points I, J, K, L, M et N sont coplanaires,
dans un plan que l'on notera $\mathcal{P}$ (on donnera une \'equation du plan $\mathcal{P}$ dans le rep\`ere choisi).

\item Montrer que le vecteur
$\ve{\text{AG}}$ est un vecteur normal au plan $\mathcal{P}$.

\item Montrer que les projet\'es orthogonaux des points I, J, K, L, M et N
sur la droite (AG) sont confondus en un même point. On appellera T ce point.

\noindent D\'eterminer la position du point T sur le segment [AG].

\item Montrer que IJKLMN est un hexagone inscriptible dans un cercle dont
on pr\'ecisera le centre et le rayon, et que tous ses côt\'es ont même longueur.

\item On consid\`ere la pyramide ayant pour base cet
hexagone et pour sommet le point G.

\noindent Quelle fraction du volume du cube repr\'esente le volume de cette pyramide ?

\end{enumerate}




\Exot{Produit scalaire}



On consid\`ere un cube ABCDEFGH, d'arête de longueur $a$ ($a$ r\'eel strictement positif). Soit I le point d'intersection de la droite
(EC) et du plan (AFH).

\vspace{0,8cm}

\noindent \parbox[c]{0.30\textwidth}{\begin{pspicture}(4,4) \psframe(0,0)(3,3)
\psline[linestyle=dotted](3.7,1.3)(0.7,1.3)(0.7,4.3)(0,0)(0.7,1.3) \psline(0,3)(0.7,4.3)(3,3)(3.7,4.3)(0.7,4.3)
\psline(3,0)(3.7,1.3)(3.7,4.3) \uput[dl](0,0){A} \uput[dr](3,0){B} \uput[r](3.7,1.3){C} \uput[ul](0.7,1.3){D} \uput[ul](0,3){E}
\uput[r](3,3){F} \uput[r](3.7,4.3){G} \uput[ul](0.7,4.3){H}
\end{pspicture}} \hfill
\parbox[c]{0.65\textwidth}{\noindent \textbf{1.} Calculer, en fonction de $a$, les produits scalaires
suivants :\\
$\ve{\text{EA}} \cdot \ve{\text{AF}},~\ve{\text{AB}} \cdot \ve{\text{AF}},~
\ve{\text{BC}} \cdot \ve{\text{AF}}$\\
\noindent \textbf{2.} En d\'eduire que les vecteurs $\ve{EC}$ et $\ve{AF}$ sont orthogonaux.\\
On admettra de même que les vecteurs $\ve{EC}$ et $\ve{AH}$ sont orthogonaux.\\
\noindent \textbf{3.} En d\'eduire que le point I est le projet\'e orthogonal de E sur le plan (AFH).}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{4. a.} Justifier les r\'esultats suivants: les droites (AF) et (EH) sont orthogonales, ainsi que les droites (AF) et
(EI).

\textbf{b.} En d\'eduire que la droite (AF) est orthogonale à la droite (HI).

\textbf{c.} \'Etablir de même que la droite (AH) est orthogonale à la droite (FI).

\noindent \textbf{5.} Que repr\'esente le point I pour le triangle AFH ?





\Exot{Volume d'un tétraèdre}



L'espace est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal \oijk.

\noindent On consid\`ere les points A, B, C et S de coordonn\'ees respectives :

\[\text{A}(- 1~;~ 0~;~ 1) \quad  \text{B}(1~;~ 4~;~ -1) \quad
\text{C}(3~;~-4~;~-3) \quad  \text{S}(4~;~0~;~4)\]

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que le triangle ABC est un triangle rectangle en A.

\item \begin{enumerate} \item Montrer que le vecteur
$\ve{\text{SO}}$ est orthogonal aux vecteurs $\ve{\text{AB}}$ et $\ve{\text{AC}}$.

\item En d\'eduire une \'equation cart\'esienne du plan (ABC).

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item D\'emontrer que O est le barycentre des points A, B, C affect\'es de coefficients que l'on d\'eterminera.

\item En d\'eduire que O est situ\'e dans le triangle ABC.

\end{enumerate}

\item Calculer le volume V du t\'etra\`edre SABC.

\end{enumerate}

\exot{Barycentre, tétraèdre et paramètre}


On considère le tétraèdre ABCD; on note I milieu du segment [AB] et J celui
 de [CD].

\begin{enumerate} \item

\begin{enumerate} \item Soit G$_{1}$ le barycentre du système de points pondérés

 $\{(\text{A},~ 1)~;~ (\text{B},~ 1)~;~ (\text{C},~-1)~;~ (\text{D},~1)\}$.

Exprimez $\overrightarrow{\text{IG}_{1}}$ en fonction de $\overrightarrow{\text{CD}}$. Placez I, J et G$_{1}$ sur la figure (voir feuille
annexe).

\item Soit G$_{2}$ le barycentre du système de points pondérés
$\{(A,~ 1)~;~ (B,~ 1)~ ;~ (D,~ 2)\}$.

Démontrez que G$_{2}$ est le milieu du segment [ID]. Placez G$_{2}$.

\item Démontrez que IG$_{1}$DJ est un parallélogramme.

En déduire la position de G$_{2}$ par rapport aux points G$_{1}$ et J.

\end{enumerate}

\item Soit $m$ un réel. On note $G_{m}$ le barycentre du système de points pondérés
$\{(A,~ 1)~;~(B,~ 1)~;~(C,~m-2)~;~(D,~m)\}$.

\begin{enumerate} \item Précisez l'ensemble $\mathcal{E}$ des valeurs de $m$ pour lesquelles le barycentre
$G_{m}$ existe.

Dans les questions qui suivent, on suppose que le réel $m$ appartient à l'ensemble $\mathcal{E}$.

\item Démontrez que $G_{m}$, appartient au plan (ICD).

\item Démontrez que le vecteur $m\overrightarrow{\text{J}G_{m}}$ est constant.

\item En déduire l'ensemble $\mathcal{F}$ des points $G_{m}$ lorsque $m$ décrit
l'ensemble $\mathcal{E}$.

\end{enumerate}

\end{enumerate}





\exot{Tétraèdre forever}


L'espace est rapporté à un repère orthonormal \oijk ; on considère les points A(3 ; 0 ; 10), B(0 ;  0 ; 15) et C(0 ; 20 ; 0).

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Déterminer une représentation paramétrique de la droite (AB).

\item Montrer que la droite (AB) coupe l'axe des abscisses au point
E(9~ ;~ 0~  ;~0).

\item Justifier que les points A, B et C ne sont pas alignés.

\end{enumerate}

\item Soit H le pied de la hauteur issue de O dans le triangle OBC.

\begin{enumerate} \item Justifier que la droite (BC) est perpendiculaire au plan (OEH). En déduire que (EH)
est la hauteur issue de E dans le triangle EBC.

\item Déterminer une équation cartésienne du plan (OEH).

\item Vérifier que le plan (ABC) admet pour équation cartésienne

\[ 20x + 9y + 12z - 180 = 0.\]

\item Montrer que le système $\left\{\begin{array}{l c l}
x & = & 0\\
4y -3z &= & 0\\
20x + 9y + 12z - 180& =& 0\\
\end{array}\right.$ a une solution unique. Que représente cette solution ?

\item Calculer la distance OH, en déduire que EH =  15 et l'aire du triangle EBC.

\end{enumerate}

\item En exprimant de deux façons le volume du tétraèdre OEBC, déterminer la
 distance du point O au plan (ABC). Pouvait-on prévoir le résultat à partir de l'équation
 obtenue en \textbf{2. c.} ?

 \end{enumerate}







\Exot{Section plane d'un tétraèdre}{


L'espace est rapport\'e à un rep\`ere orthonormal  \oijk. On \'etudie le t\'etra\`edre OABC, où les points A, B et C sont d\'efinis par
leurs coordonn\'ees : A(0, 0, 2), B($\sqrt{3}$, 1, 0) et C($\sqrt{3},~ -1,~ 0$).

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie A. G\'eom\'etrie analytique dans un t\'etra\`edre}

\begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Faire une figure repr\'esentant le rep\`ere et le t\'etra\`edre.

\item D\'eterminer la nature g\'eom\'etrique et calculer les dimensions de chacune des
faces du t\'etra\`edre.

\end{enumerate}

 \item On consid\`ere le vecteur $\ve{u}$ de coordonn\'ees
$\left(2~;~ 0~;~  \sqrt{3}\right)$.

\begin{enumerate} \item V\'erifier que le vecteur $\ve{u}$ est normal au plan (ABC).

\item En d\'eduire une \'equation du plan (ABC).

\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{\gray Partie B. \'Etude d'une section plane}

Soit J le milieu de l'arête [BC]. Le point $N$ est un point mobile du segment [OJ]. On appelle $(\PR)$ le plan passant par le point $N$ et
orthogonal à la droite (OJ).

\begin{enumerate} \item On pose $t$ = O$N$. V\'erifier que $t$ appartient à l'intervalle
$\left[0~;~ \sqrt{3}\right]$.

\item On se propose de d\'eterminer la nature de la section plane du
t\'etra\`edre OABC par le plan $(\PR)$. Le plan $(\PR)$ coupe :

- l'arête [OC] au point $R$ ;

- l'arête [AC] au point $S$ ;

- l'arête [AB] au point $T$ ;

- l'arête [OBI au point $U$.

\begin{enumerate} \item D\'emontrer que les droites ($ST$), (BC) et ($RU$) sont parall\`eles. D\'emontrer que
les droites ($RS$), (OA) et ($TU$) sont parall\`eles.

\item D\'emontrer que le quadrilat\`ere $RSTU$ est un rectangle.

\item D\'eterminer avec soin les dimensions du rectangle $RSTU$ en fonction du nombre
r\'eel $t$.

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item Soit $S(t)$ l'aire de la section plane d\'efinie
à la question \textbf{B. 2.}

\noindent D\'emontrer que $S(t) = \cfrac{4t}{3}\left(\sqrt{3} - t\right)$.

\item \'Etudier les variations de la fonction $S$, d\'efinie sur l'intervalle
$\left[0\pv \sqrt{3}\right]$ par $S(t)$.

\item   Pour quelle valeur du nombre r\'eel $t$ l'aire
$S(t)$ est-elle maximale ?

\noindent Quelle est alors la nature g\'eom\'etrique particuli\`ere de la section plane \'etudi\'ee ?

\end{enumerate}

\item \begin{enumerate} \item On rappelle que le volume $\VR$ du t\'etra\`edre OABC est \'egal à
l'int\'egrale $\displaystyle\int_{0}^{\sqrt{3}} S(t)\: \text{d}t$.

\noindent Calculer $\VR$ par cette m\'ethode.

\item Calculer $\VR$ en utilisant l'aire d'une face et la hauteur
correspondante du t\'etra\`edre.

\item V\'erifier la coh\'erence des deux r\'esultats.

\end{enumerate}

\end{enumerate}}









\Exot{Quatre-quarts breton et coordonnées barycentriques}

\partie[Préambule]{A}

\begin{description}
\item[Définition] Soient A, B et C trois points non alignés. Montrez que pour tout point M, il existe un unique triplet $(\al,\beta,\gamma)$ tel que 
\bel
\item M est le barycentre du système $\Big\{(A,\al),(B,\beta),(C,\gamma)\Big\}$
\item $\al+\beta+\gamma=1$
\el

On dit que $\al$, $\beta$ et $\gamma$ sont les coordonnées barycentriques de M par rapport à A, B et C.


\item[Système GPL]
Parmi les critères utilisés pour analyser la qualité de ce que nous
mangeons, la
répartition en glucides, protides et lipides fournit une première approche.
\newline
En effet les substances nutritives contenues dans un aliment se répartissent en
trois groupes : les glucides (\og sucres \fg), les protides (\og matières
azotées \fg) et les lipides (\og graisses \fg).
\newline
À chaque aliment correspond donc une répartition en pourcentages.

\begin{center}
     \begin{tabular}{|*{2}{l|*{3}{D{.}{,}{0}|}}}
	\hline
	\multicolumn{8}{|c|}{\sc Répartition $(G \pv P \pv L)$ des aliments
	courants} \\
	\hline
	\hline
	\multicolumn{1}{|c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{G} &
	\multicolumn{1}{c|}{P} & \multicolumn{1}{c|}{L} &
	\multicolumn{1}{c|}{} & \multicolumn{1}{c|}{G} &
	\multicolumn{1}{c|}{P} & \multicolumn{1}{c|}{L} \\
	\hline
	Riz & 90 & 10 & 0 & Haricots vert & 75 & 25 & 0 \\
	\hline
	Biscuits & 80 & 10 & 10 & Viande & 0 & 50 & 50 \\
	\hline
	Tarte aux pommes & 75 & 5 & 20 & Farine & & & \\
	\hline
	Chocolat & 70 & 5 & 25 & Confiture & 98 & 2 & 0 \\
	\hline
	Pâtes & 90 & 10 & 0 & Beurre, huile & 0 & 0 & 100 \\
	\hline
	\OE{}uf & 0 & 40 & 60 & \'Epinards & 55 & 40 & 5 \\
	\hline
	Sucre & 100 & 0 & 0 & Poisson & & & \\
	\hline
	Pomme de terre & 90 & 10 & 0 & Pomme (fruit) & 95 & 5 & 0 \\
	\hline
	Pain & 90 & 10 & 0 & Lait& & & \\
	\hline
	Carotte & & & & Miel & 100 & 0 & 0 \\
	\hline
	Fromage & 0 & 50 & 50 & Chou-fleur & 70 & 25 & 5 \\
	\hline
	Lentilles & 75 & 25 & 0 & Chou & 60 & 35 & 5 \\
	\hline
     \end{tabular}
\end{center}

Par exemple, les épinards contiennent $55\:\%$ de glucides, $40\:\%$
de protides
et $5\:\%$ de lipides.

\begin{center}
     \psset{xunit=1cm,yunit=1cm}
     \begin{pspicture}(-1,-1.5)(11,9.5)
	\psline[linewidth=1pt]{<-}(-.5,0)(10,0)
	\rput(4.5,-.5){\psframebox{55}}
	\uput{.2}[270](0,0){100} \uput{.2}[225](10,0){0}
	%
	\psline[linewidth=1pt]{->}(0,0)(5.25,9.1)
	\rput(1.3,3.47){\psframebox{40}}
	\uput{.2}[135](0,0){0} \uput{.2}[180](5,8.66){100}
	%
	\psline[linewidth=1pt]{<-}(10.25,-.43)(5,8.66)
	\rput(6.1,8.23){\psframebox{5}}
	\uput{.2}[0](10,0){100} \uput{.2}[0](5,8.66){0}
	%
	\psline[linewidth=.1pt](1,1.73)(9,1.73)
	\psline[linewidth=.1pt](2,3.47)(8,3.47)
	\psline[linewidth=.1pt](3,5.2)(7,5.2)
	\psline[linewidth=.1pt](4,6.93)(6,6.93)
	\psline[linewidth=.1pt](2,0)(6,6.93)
	\psline[linewidth=.1pt](4,0)(7,5.2)
	\psline[linewidth=.1pt](6,0)(8,3.47)
	\psline[linewidth=.1pt](8,0)(9,1.73)
	\psline[linewidth=.1pt](2,0)(1,1.73)
	\psline[linewidth=.1pt](4,0)(2,3.47)
	\psline[linewidth=.1pt](6,0)(3,5.2)
	\psline[linewidth=.1pt](8,0)(4,6.93)
	%
	\psline[linewidth=.05pt](1,0)(5.5,7.8)
	\psline[linewidth=.05pt](3,0)(6.5,6.07)
	\psline[linewidth=.05pt](5,0)(7.5,4.33)
	\psline[linewidth=.05pt](7,0)(8.5,2.6)
	\psline[linewidth=.05pt](9,0)(9.5,.87)
	\psline[linewidth=.05pt](1,0)(.5,.87)
	\psline[linewidth=.05pt](3,0)(1.5,2.6)
	\psline[linewidth=.05pt](5,0)(2.5,4.33)
	\psline[linewidth=.05pt](7,0)(3.5,6.07)
	\psline[linewidth=.05pt](9,0)(4.5,7.8)
	\psline[linewidth=.05pt](.5,.87)(9.5,.87)
	\psline[linewidth=.05pt](1.5,2.6)(8.5,2.6)
	\psline[linewidth=.05pt](2.5,4.33)(7.5,4.33)
	\psline[linewidth=.05pt](3.5,6.07)(6.5,6.07)
	\psline[linewidth=.05pt](4.5,7.8)(5.5,7.8)
	%
	\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.49,3.47)(2,3.47)
	\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.49,3.47)(5.25,8.23)
	\psline[linewidth=.5pt,linestyle=dashed]{->}(2.49,3.47)(4.5,0)
	%
	\psdots[dotstyle=*,dotscale=1]%
	(2.49,3.47)(1,.87)(5,1.73)(.75,1.3)(6.25,6.5)
	\uput{.2}[30](2.49,3.47){$E$} \uput{.2}[270](1,.87){$C$}
	\uput{.2}[35](5,1.73){$L$} \uput{.2}[180](.75,1.3){$F$}
	\uput{.2}[0](6.25,6.5){$P$}
	%
	\rput(1.9,-.5){80} \rput(3.9,-.5){60} \rput(5.9,-.5){40}
	\rput(7.9,-.5){20} \rput(.6,1.73){20} %\rput(1.6,3.47){40}
	\rput(2.6,5.2){60}  \rput(3.6,6.93){80} \rput(6.4,6.93){20}
	\rput(7.4,5.2){40} \rput(8.4,3.47){60} \rput(9.4,1.73){80}
	\rput(1.5,-1){$\%$ de glucides}
	\rput{60}(3,6.93){$\%$ de protides}
	\rput{300}(9.8,2){$\%$ de lipides}
     \end{pspicture}
\end{center}

Le graphique ci-dessus est une carte des principaux aliments, c'est-à-dire un
graphique où chaque aliment est représenté par un point.
\end{description}


\partie[La \og carte \fg des aliments]{B}

Dans cette partie, on va dresser la carte des principaux aliments.
\newline
À titre d'exemple, le point $E$ représentant les épinards a été dessiné.
\newline
On dira que $E$ a pour \og coordonnées \fg $(55 \pv 40 \pv 5)$.
\newline
Pour lire les coordonnées $(G \pv P \pv L)$ d'un point quelconque du graphique,
on trace des parallèles aux axes passant par ce point.

\begin{enumerate}
     \item On a figuré les points $L$, $C$, $F$ et $P$ représentant le lait,
     la carotte, la farine et le poisson.
     \newline
     Quelles sont les proportions en glucides, protides et lipides :
     \begin{nliste}{4}
	    \item du lait ;

	    \item de la carotte ;

	    \item de la farine ;

	    \item du poisson.
	\end{nliste}
     

     \item Grâce au tableau ci-avant, placer les points suivants :
     \begin{nliste}{2}
	    \item $O$ représentant l'\oe{}uf ;

	    \item $S$ représentant le sucre ;

	    \item $B$ représentant le beurre ;

	    \item $V$ représentant la viande.
	\end{nliste}
     

     \item Où seront situés les points représentant des aliments
comportant :
     \begin{nliste}{3}
	    \item $10\:\%$ de protides ?

	    \item $50\:\%$ de glucides ?

	    \item $25\:\%$ de lipides ?
	\end{nliste}
     
\end{enumerate}

\partie[La zone idéale]{C}

On note $G$, $P$ et $L$ les proportions en pourcentages d'un aliment
quelconque.
\newline
Dans la carte des aliments, on hachurera les régions qui ne conviennent pas.

\begin{enumerate}
     \item Où se trouvent les aliments tels que :
     \begin{nliste}{3}
	    \item $P > 10$ ?

	    \item $G > 50$ ?

	    \item $L > 25$ ?
     \end{nliste}

     \item Les diététiciens ont établi que les proportions en glucides,
     protides et lipides les mieux adaptées à l'Homme vérifient :
     \begin{center}
	\begin{systeme}{5}
	    50 & < & G & < & 60 \\
	    10 & < & P & < & 20 \\
	    25 & < & L & < & 35
	\end{systeme}
     \end{center}
     Déterminer la région correspondante du graphique.

     \item Quels aliments se trouvent à l'intérieur de cette zone ?
\end{enumerate}

\partie[Où commence la cuisine ? Le gâteau breton \og quatre-quarts \fg]{D}

Le principe est le suivant : en mélangeant les aliments, arriver à ce que les
proportions $G$, $P$ et $L$ du mélange soient dans la zone idéale.
\newline
La recette du \og quatre-quarts \fg est simple : un quart de sucre, un quart de
farine, un quart de beurre, un quart d'\oe{}uf (les quarts sont comptés en
masses).

\begin{enumerate}
     \item Quelles sont les coordonnées $(G \pv P \pv L)$ du point $Q$
     représentant le \og quatre-quarts \fg ?

     \item On va donner une construction géométrique du point $Q$.
     \begin{enumerate}
	\item Quelles sont les coordonnées de $M_{1}$, le milieu
de $[BS]$ ?
	\newline
	Montrer que $M_{1}$ représente un mélange à parts égales de
beurre et de
	sucre.

	\item Quelles sont les coordonnées de $M_{2}$, le milieu
de $[FO]$ ?
	\newline
	Que peut-on dire de $M_{2}$ ?

	\item En déduire une construction géométrique simple de $Q$.
     \end{enumerate}

     \item $Q$ n'est pas dans la zone idéale : comment peut-on modifier la
     recette pour qu'il y soit ?
\end{enumerate}


\Exot{ Fonctions-vecteurs...}{

Nous avons défini le produit scalaire de deux vecteurs de l'espace
$\ER$ <<~avec les moyens du bord~>> du lycée. Vous découvrirez
bientôt qu'on peut définir un produit scalaire de manière bien
plus générale : c'est une <<~forme~>> (notons-la $\f$) qui
<<~transforme~>> deux vecteurs en un réel et qui vérifie certaines
propriétés
\begin{itemize}
\item$\f$ est symétrique : $\f(u,v)=\f(v,u)$.
\item $\f$ est bilinéaire : $\f(\lambda u+\mu v, w)=\lambda
\f(u,w)+\mu \f(v,w)$ avec $\lambda$ et $\mu$ deux réels
quelconques.
\item $\f$ est positive : $\f(u,u)\se0$.
\item$\f$ est définie : $\f(u,u)=0\ssi u=0$.
\end{itemize}

\been

\item Vérifiez que le produit scalaire usuel est un produit
scalaire.

\item On travaille maintenant dans l'ensemble $E$ des fonctions
continues de $[-\pi,\pi]$ dans $\bbr$. \been

\item Vérifiez que la fonction nulle appartient à $E$ et que si $f$ et $g$ sont deux fonctions appartenant à
$E$ et $\lambda$ et $\mu$ deux réels, alors $\lambda f+\mu g$
appartient encore à $E$ (Vous direz un jour que $E$ a une
structure d'\textsl{espace vectoriel} et donc que ses éléments -
ici des fonctions - sont des vecteurs).

\item On considère la <<~forme~>> $\f$ qui à deux fonctions
 $f$ et $g$ de $E$ associe le réel
 $\f(f,g)=\ds\int_{-\pi}^{\pi}f(t)g(t)\,dt$.

 Montrez que $\f$ est un produit scalaire sur $E$.



 \item On peut, comme on l'a fait dans l'espace $\ER$, définir
l'\textsl{orthogonalité} de deux vecteurs : deux fonctions
(vecteurs) $f$ et $g$ sont orthogonales si et seulement si
$\f(f,g)=0$.

Soit $k$ un entier. On note $u_k$ la fonction qui à un réel $x$ de
$[-\pi,\pi]$ associe $u_k(x)=\cos(kx)$.

Calculez $\f(u_n,u_p)$ avec $n$ et $p$ deux entiers supérieurs à
1. \een\een
}












\Exot{Résolvons un système de 8 équations et 10
inconnues~!...}

 \emph{Quand vous rencontrez le symbole (*), appelez votre
professeur préféré et
  expliquez-lui vos r\'esultats.}


\textbf{D\'efinition et objectifs}

\sm

 Dans cet exercice, on appellera
\emph{carr\'e magique} un tableau carr\'e contenant $9$ nombres
r\'eels, tel que les sommes des nombres de chaque ligne, de chaque
colonne et des deux diagonales soient \'egales~:
$$
\begin{tabular}{|ccc|}
\hline
a & b & c \\
d&e&f\\
g&h&i \\
\hline
\end{tabular}
$$
avec
$$
\begin{array}{ccc}
a+b+c=S  &a+d+g=S & a+e+i=S \\
d+e+f=S &\dots &  c+e+g=S \\
g+h+i=S &\dots
\end{array}
$$
o\`u le nombre $S$ s'appelle \emph{la somme} du carr\'e.
\footnote{Les amateurs de casse-t\^ete rajoutent d'autres types de
  conditions, ce qui change radicalement la nature du probl\`eme (et le
  rend bien plus difficile): les coefficients doivent être des entiers distincts compris entre 1 et 9 par exemple.}

Le but de l'exercice est de trouver \emph{tous} les carr\'es
magiques.

%\textbf{Sur le plan p\'edagogique, l'exercice est en quelque sorte un pr\'etexte pour introduire
% dans ce cadre certaines des notions-cl\'es de l'alg\`ebre lin\'eaire~: \emph{espaces
% vectoriels, bases, dimension, sommes directes, applications
% lin\'eaires}.
%\footnote{Les notions introduites ici de mani\`ere un peu floue seront pr\'ecis\'ees en
%cours.}}
% Notamment, on n'essaiera pas de r\'esoudre le probl\`eme de la
% mani\`ere la plus simple ou la plus courte, on tentera plut\^ot de bien
% comprendre les propri\'et\'es des objets \'etudi\'es.





%Plus pr\'ecis\'ement,
Voici une strat\'egie possible~: le probl\`eme revient \`a
r\'esoudre un syst\`eme de 8 \'equations lin\'eaires \`a 10
inconnues, et on a des m\'ethodes pour faire ça. Mais ça n'est pas
tr\`es agr\'eable~: avec un peu d'astuce et de r\'eflexion, on va
essayer de diminuer le nombre de calculs.

\bigskip
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Fabrication de quelques carr\'es magiques}

\sm



\been

 \item Trouvez des exemples de carr\'es
magiques les plus simples possibles. Essayez d'obtenir deux
exemples <<~les plus diff\'erents possibles~>>.

\item Comment peut-on obtenir de nouveaux exemples \`a partir de
carr\'es magiques connus~? Essayez de trouver le plus possible de
tels proc\'ed\'es.  (*) \een
\bigskip

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{Une r\'eduction du probl\`eme}

\been


\item Montrez que tout carr\'e magique peut se d\'ecomposer comme
somme d'un carr\'e magique constant (tous les coefficients sont
égaux) et d'un carr\'e magique de somme nulle.

\item Montrez que cette d\'ecomposition est unique.

\item Soient $\lambda_1$ et $\lambda_2$ deux réels et $K_1$ et $K_2$  deux carrés magiques.
Vérifiez que si $K_1$ et $K_2$ sont constants, alors $\lambda_1
K_1+\lambda_2 K_2$ l'est aussi.


Vérifiez que si $K_1$ et $K_2$ sont de somme nulle, alors
$\lambda_1 K_1+\lambda_2 K_2$ l'est aussi.

%On traduit les propri\'et\'es de cette partie
% en disant que \emph{l'espace vectoriel des
%  carr\'es magiques est la somme directe du sous-espace form\'e des carr\'es
%  de somme nulle et du sous-espace form\'e des carr\'es constants}.

En quoi ceci permet-il de simplifier le probl\`eme~? \een

\bigskip


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\textbf{R\'esolution}


 On va chercher maintenant \`a d\'eterminer
tous les carr\'es magiques de somme nulle (r\'ep\'etons-le, en
\'evitant de r\'esoudre un <<~gros~>> syst\`eme d'\'equations : il
reste quand même 9 inconnues...).

\been

\item En pratique, quand on essaie de construire un carr\'e magique
 (de somme nulle), on commence
par remplir quelques cases par des valeurs arbitraires (il y a
bien s\^ur \'enorm\'ement de choix possibles), puis, au bout d'un
moment, on n'a plus du tout le choix~: la suite du remplissage du
carr\'e est enti\`erement d\'etermin\'ee par les valeurs choisies
dans les premi\`eres cases. Donnez un ou plusieurs exemples de
remplissages de quelques cases du carr\'e qui forcent ainsi toute
la suite du remplissage du carr\'e.(*)


\item Choisissez l'un des sch\'emas trouv\'es \`a la question
pr\'ec\'edente, et compl\'etez dans le carr\'e les cases restantes
en fonction des cases pr\'es\'electionn\'ees.
 Obtient-on toujours ainsi un carr\'e magique de somme nulle~? Sinon, que
 faut-il rajouter~?

\item \`A partir de la question pr\'ec\'edente, exprimez tous les
carr\'es
 magiques de somme nulle \`a partir de quelques
carr\'es particuliers.

Déduisez-en  l'ensemble de tous les carr\'es magiques, sous la
m\^eme forme. (*) \een


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\textbf{Quelques notions d'alg\`ebre lin\'eaire}

\sm

 Combien faut-il de coefficients, au minimum, pour exprimer
l'ensemble des carr\'es magiques~?

Ce nombre minimum de param\`etres \`a utiliser pour d\'ecrire un
<<~espace vectoriel~>> s'appelle la \emph{dimension} de l'espace
vectoriel. Donnez de m\^eme la dimension du <<~sous-espace
vectoriel~>> des carr\'es magiques constants, puis celle des
carr\'es magiques de somme nulle.


 Les carr\'es magiques particuliers utilis\'es  pour
d\'ecrire l'ensemble de tous les \'el\'ements de l'espace
vectoriel forment \emph{une base} de l'espace vectoriel (\`a
condition toutefois qu'on en ait pris le moins possible).

Quel lien y a-t-il entre une base et la dimension~?

Un espace vectoriel peut-il avoir plusieurs bases
diff\'erentes~?(*)

\bigskip


\textbf{En guise de conclusion}

\sm

 \emph{A quoi sert l'alg\`ebre
lin\'eaire~?} Malheureusement, il n'y a pas de r\'eponse simple au
niveau Terminale~: en effet, la plupart des probl\`emes pour
lesquels on pourrait utiliser l'alg\`ebre lin\'eaire peuvent aussi
se r\'esoudre de mani\`ere \'el\'ementaire, la plupart du temps en
resolvant un syst\`eme d'\'equations~; et ceci peut donner
l'impression qu'on remplace des calculs fastidieux mais simples
par des arguments et des concepts tr\`es compliqu\'es, tr\`es
abstraits~: donc, l'utilit\'e en tant qu'\emph{outil} n'est pas
tr\`es claire (au lycée en tout cas !)

On peut quand m\^eme faire sentir l'int\'er\^et de l'alg\`ebre
lin\'eaire~: celle-ci permet d'\emph{unifier} des probl\`emes et
des situations a priori tr\`es diff\'erentes, en donnant un cadre
g\'en\'eral dans lequel ces probl\`emes vont avoir le m\^eme
aspect. Une telle d\'emarche s'appelle \emph{la m\'ethode
axiomatique}, et est fondamentale dans les math\'ematiques
r\'ecentes.

Plus pr\'ecis\'ement, on commence par remarquer que l'on sait
additionner deux vecteurs de l'Espace $\ER$, ou deux fonctions, ou
deux polyn\^omes, deux intégrales ou deux suites de r\'eels
(comment~?...), ou deux carr\'es magiques~; et qu'on sait aussi
multiplier chacun de ces objets par des r\'eels.

Puisque ces objets (diff\'erents) peuvent subir le m\^eme type
d'op\'eration, ayant les m\^emes propri\'et\'es formelles,
 les raisonnements ou les concepts qui utilisent uniquement ces
 op\'erations vont \^etre valables dans chacun des six cadres cit\'es. Par
 exemple, les notions de droite, de plan, de rep\`ere (on dira
 \emph{base}), que l'on connaît d\'ej\`a dans l'Espace $\ER$, vont aussi \^etre valables
 pour des espaces de fonctions ou de polyn\^omes~! On pourra donc
 considérer une suite, une fonction continue sur $\bbr$, une
 intégrale, un carré magique comme autant de vecteurs...

 Ce point de vue donne \'egalement un support g\'eom\'etrique, et permet
de visualiser les objets~: dans l'exercice, l'ensemble des
carr\'es magiques s'av\`ere \^etre un espace vectoriel de
dimension 3, ce qui permettra d'y faire exactement les m\^emes
op\'erations et les m\^eme raisonnements que dans l'Espace $\ER$
avec ses plans et ses droites, que l'on <<~voit~>> beaucoup mieux
que l'espace des carr\'es magiques.

M\^eme si le lycée n'en donne qu'un tout petit aperçu, la
quantit\'e de situations qui peuvent \^etre mod\'elis\'ees par
l'alg\`ebre lin\'eaire est immense, et va de questions purement
math\'ematiques jusqu'\`a des probl\`emes tr\`es concrets
d'\'ecologie (dynamique des populations), de m\'et\'eorologie,
d'\'economie, de physique, d'informatique...


\pagebreak


\SECTION{Quelques corrigés}


\sol{}{

\begin{enumerate}
\item (P) a pour \'equation cart\'esienne : $x+2y-z+1=0$. Un vecteur normal \`a (P) est : $\overrightarrow{n}
\begin{pmatrix}
1\\2\\-1
\end{pmatrix}$.\\
(P') a pour \'equation cart\'esienne : $-x+y+z=0$. Un vecteur normal \`a (P) est : $\overrightarrow{n'}
\begin{pmatrix}
-1\\1\\1
\end{pmatrix}$.\\
Alors : $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n'}=(1\times (-1))+(2\times 1)+(-1\times 1)=-1+2-1=0$ donc les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ sont orthogonaux. Les plans (P) et (P') sont perpendiculaires.

\item Les deux plans \'etant perpendiculaires, ils se coupent selon une droite (d). Les coordonn\'ees $(x~;~y~;~z)$ des points de (d) v\'erifient les deux \'equations des plans et sont solutions du syst\`eme form\'e par ces deux \'equations\\
$\left\{\begin{array}{lcl}x+2y-z+1&=&0\\-x+y+z&=&0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcl}x+2y=z-1&=&0\\-x+y&=&-z\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcl}-x+y&=&-z\\3y&=&-1\end{array}\right.\\
\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{lcl}x&=&-\dfrac{1}{3}+t\\y&=&-\dfrac{1}{3}\\z&=&t\end{array}\right.,~t\in\mathbb{R}$ qui est la repr\'esentation param\'etrique de (d) donn\'ee dans le texte.

\item Pour un plan d'\'equation (P) cart\'esienne $ax+by+cz+d=0$ et un point A$(x_{\text{A}}~;~y_{\text{A}}~;~z_{\text{A}})$, la distance entre A et (P) est : d(A~;~(P))$=\dfrac{|ax_{\text{A}}+by_{\text{A}}+cz_{\text{A}}+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$.\\
On en d\'eduit : d(A~;~(P))$=\dfrac{2}{\sqrt{6}}$ et d(A~;~(P'))$=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$.\\
Notons H et H' les projet\'es orthogonaux de A sur (P) et sur (P'). Comme les deux plans (P) et (P') sont orthogonaux, le projet\'e orthogonal de H sur (P') est cofondu avec le projet\'e orthogonal de H' sur (P). Le quadrilat\`ere AHDH' est donc un rectangle.
Soit $\delta$ la distance entre A et (d). $\delta$ est la longueur de la diagonale de ce rectangle. On applique le th\'eor\`eme de Pythagore : $\delta^2=\left(\dfrac{2}{\sqrt{6}}\right)^2+\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)^2=\dfrac{2}{3}+\dfrac{4}{3}= 2$. D'o\`u $\delta = \sqrt{2}$.
\end{enumerate}
}


\sol{}{

\begin{enumerate}
\item Les plans $(P)$ et $(Q)$ ont pour vecteurs normaux respectifs $\ve{n}(0;2;1)$ et $\ve{n'}(0~;~1~;~-2)$. On a $\ve{n}\cdot\ve{n'}=0$, donc $\ve{n}\perp\ve{n'}$ et par suite, les plans $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
%D\'emontrer que $(P)$ et $(Q)$ sont perpendiculaires.
\item L'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est une droite (plans perpendiculaires). \\
$A\in(P)$ car $2\times 0+6-6=0$ et $A\in(Q)$ car $0-12+12=0$, donc $A\in(P)\cap(Q)$;\\
on montre de la même fa\c con que $I\in(P)\cap(Q)$.\\
Les points $A$ et $I$ \'etant distincts, la droite d'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$ est donc la droite $(AI)$, c'est-\`a-dire la droite $(D)$.
%D\'emontrer que l'intersection des plans $(P)$ et $(Q)$  est la droite $(D)$.
\item Soit $M(x~;~y~;~z)$ un point de l'espace. $M$ appartient \`a l'axe $\left(O;\ve{j}\right)$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\ z&=&0\end{array}\right.$.\\
$M$ appartient \`a l'axe $\left(O;\ve{j}\right)$ et au plan $(P)$ si et seulement si $\left\{\begin{array}{ccl}x&=&0\\z&=&0\\2y+z-6&=&0\end{array}\right.$ c'est-\`a-dire si et seulement si $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&0\\y&=&3\\z&=&0\end{array}\right.$. Le plan $(P)$ coupe donc l'axe $\left(O;\ve{j}\right)$ au point $B(0~;~3~;~0)$.\\
Un raisonnement analogue montre que le plan $(Q)$ coupe l'axe $\left(O;\ve{j}\right)$ en un  point $C(0~;~-12~;~0)$.\\
%D\'emontrer que $(P)$ et $(Q)$ coupent l'axe $\left(O;\ve{j}\right)$ et d\'eterminer les coordonn\'ees des points $B$ et $C$, intersections respectives de $(P)$ et $(Q)$ avec l'axe $\left(O;\ve{j}\right)$.
\item On a $\ve{AC}(-3~;~-12~;~-6)$ donc le plan $(T)$ a une \'equation cart\'esienne de la forme:
$-3x-12y-6z+d=0$. Et $B(0~;~3~;0)\in(T)$, donc $0-12\times 3-0+d=0$, d'où $d=36$. Le plan $(T)$ a donc pour \'equation cart\'esienne $-3x-12y-6z+36=0$, ou encore, en simplifiant par $-3$: $x+4y+2z-12=0$.
%D\'emontrer qu'une \'equation du plan $(T)$ passant par $B$ et de vecteur normal $\ve{AC}$ est
%$$x+4y+2z-12=0.$$
\item La droite $(OA)$ passe par $O(0~;~0~;~0)$ et  a pour vecteur directeur $\ve{OA}(3~;~0~;~6)$. Une repr\'esentation param\'etrique de $(OA)$ est donc: $\left\{\begin{array}{rcl}x&=&3t\\y&=&0\qquad(t\in\mathbb{R})\\z&=&6t\end{array}\right.$.\\
Un point $M$ appartient \`a la droite $(OA)$ et au plan $(T)$ si et seulement si il existe un r\'eel $t$ tel que $M(3t~;~0~;~6t)$ et $(3t)+4\times 0+2\times (6t)-12=0$, ce qui donne une unique valeur: $t=\dfrac45$. La droite $(OA)$ et le plan $(T)$ sont donc s\'ecants en un point $H$ qui a pour coordonn\'ees $\left(3\times\dfrac45~;~0~;~6\times\dfrac45\right)$, c'est-\`a-dire $H\left(\dfrac{12}{5}~;~0~;~\dfrac{24}{5}\right)$.
%Donner une repr\'esentation param\'etrique de la droite $(OA)$.\\
%D\'emontrer que la droite $(OA)$ et le plan $(T)$ sont s\'ecants en un point $H$ dont on d\'eterminera les coordonn\'ees.
\item Les points $B$ et $H$ appartiennent au plan $(T)$ qui a pour vecteur normal $\ve{OA}$, donc $(BH)\perp(AC)$: le point $H$ appartient \`a la hauteur issue de $B$ du triangle $ABC$.\\
$\ve{AH}\left(-\dfrac35;0;-\dfrac65\right)$ et $\ve{BC}(0~;~-15~;~0)$, donc $\ve{AH}\cdot\ve{BC}=0$ et $(AH)\perp(BC)$: le point $H$ 	appartient donc \`a la hauteur issue de $A$ du triangle $ABC$.\\
Le point $H$ est donc l'orthocentre du triangle $ABC$.
 
%Que repr\'esente le point $H$ pour le triangle $ABC$~? Justifier.
\end{enumerate}
}



\sol{}{

\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item   Les vecteurs $\ve{\text{AB}}$ et $\ve{\text{AC}}$ ont pour coordonn\'ees $\ve{\text{AB}}(-2~;~0~;~-2)$ et \\$\ve{\text{AC}}(1~;~-4~;~-1)$. Ils ne sont manifestement pas   colinéaires. Conclusion : 
les trois points A, B et C définissent  un plan.
\item 	A $\in \mathcal{P} \iff 2\times 3 +2 -2\times 6+4 = 0$ est vrai ;\\ 
B $\in \mathcal{P} \iff 	2 \times 1 + 2 - 2 \times 4 +  4=0$ est vrai ;\\
C $\in \mathcal{P} \iff 	2 \times 4 +  (-2) -2 \times 5 +4=0$ est vrai.\\
Le plan $\mathcal{P}$ est donc bien le plan (ABC).
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item D'apr\`es 1., $\ve{\text{AB}} \cdot \ve{\text{AC}} =  (-2)\times 1 + 0 \times (-4)+ (-2) \times (-1)=0$. Les vecteurs $\ve{\text{AB}}$ et $\ve{\text{AC}}$ sont donc orthogonaux, les droites (AB) et (AC) perpendiculaires. Conclusion :  le triangle ABC est rectangle en A.

\item 	Le vecteur $\ve{n}(a~;~b~;~c)$ est un vecteur normal au plan d'\'equation \\$ax + by + cz = d = 0$. Ici le vecteur $\ve{n}(2~;~ 1 ~;~ - 2)$,  vecteur normal au plan $\mathcal{P}$ est donc un vecteur directeur de la droite $(\Delta$). Si $M \in (\Delta)$ alors $\ve{\text{O}M} = \lambda \ve{n}$. Cette \'egalit\'e vectorielle se traduit par le syst\`eme : \\
 $\left\{\begin{array}{l c l}
x	&=	&2\lambda\\
y	&=	&\lambda\\ 
z 	&=	& - 2\lambda\\
\end{array}\right.,~ \lambda \in  \R$.

\item  Puisque ($K$O) $\perp  \mathcal{P},~(K\text{O}) = \Delta$. Le point $K$ est commun \`a $(\Delta)$ et \`a $\mathcal{P}$. En utilisant la question pr\'ec\'edente, on a $2x_{K} + y_{K} - 2z_{K} + 4 = 0 \iff 2\times \lambda + \lambda - 2 \times (- 2\lambda) + 4 = 0 \iff 9\lambda + 4 = 0 \iff \lambda = - \dfrac{4}{9}$.\\
Conclusion : les coordonn\'ees de K sont donc $\left(- \dfrac{8}{9}~;~ - \dfrac{4}{9}~;~ \dfrac{8}{9}\right)$.\\
Donc O$K^2 = \left(- \dfrac{8}{9} \right)^2  +  \left(- \dfrac{8}{9} \right)^2  + \left( - \dfrac{8}{9}\right)^2 = \dfrac{64}{81} + \dfrac{16}{81} + \dfrac{64}{81}  = \dfrac{144}{81} = \dfrac{16}{9}$. Conclusion :   O$K  = \dfrac{4}{3}$.

\item  On prend pour base (ABC) et la hauteur est donc [OK]. D'apr\`es 1., AB$^2 = 4 + 4 = 8$, donc AB $ = 2\sqrt{2}$ ; AC$^2 = 1 + 16 + 1 = 18$, donc AC $= 3\sqrt{2}$. L'aire du triangle rectangle ABC est : $\dfrac{\text{AB} \times \text{AC}}{2} = \dfrac{2 \sqrt{2} \times 3\sqrt{2}}{2} = 6$.\\
Donc $V(\text{OABC}) = \dfrac{6 \times \text{O}K}{3} = \dfrac{6 \times \frac{4}{3}}{3} = \dfrac{8}{3}$.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item Le  barycentre  G existe car la somme des coefficients $3 + 1 + 1 + 1$ est non nulle. Il est tel que $3\ve{\text{GO}} + \ve{\text{GA}} + \ve{\text{GB}} + \ve{\text{GC}} = \ve{0}$. 

\item  I  centre de gravité du triangle ABC est l'isobarycentre du système de
points pondérés ~ \{(A, 1),(B, 1),(C, 1)\}.\\
D'après l'associativité du barycentre, G est  le barycentre (plus pr\'ecisement l'isobarycentre) du système de points pondérés \{(O, 3), (I, 3)\}. G est donc le milieu de [OI], donc appartient \`a la droite (OI).

\item  On sait que $\ve{\text{OI}} = \dfrac{1}{3}\left(\ve{\text{OA}} + \ve{\text{OB}} + \ve{\text{OC}}\right)$. Les coordonn\'ees de I sont donc $\left(\dfrac{8}{3}~;~\dfrac{2}{3}~;~\dfrac{15}{3}\right)$. Celles de G : $\left(\dfrac{4}{3}~;~\dfrac{1}{3}~;~\dfrac{5}{2}\right)$.\\
La distance de G au plan $\mathcal{P}$ est donn\'ee par 
\[ d(\text{G},~\mathcal{P}) = \dfrac{\left|2x_{\text{G}} + y_{\text{G}} -2z_{\text{G}} + 4 \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (-2)^2}} = \dfrac{\left|\frac{8}{3} + \frac{1}{3 } - 5\right|}{3} = \dfrac{2}{3}.\]
\end{enumerate}

\item  En utilisant la relation de Chasles $3\ve{M\text{O}} +\ve{M\text{A}}+\ve{M\text{B}} + \ve{M\text{C}} = 3\ve{M\text{G}} + 3\ve{\text{GO}} + \ve{M\text{G}} + \ve{\text{GA}} + \ve{M\text{G}} + \ve{\text{GB}} + \ve{M\text{G}} + \ve{\text{GC}} = 6\ve{M\text{G}}$, par d\'efinition du barycentre.\\
On a donc $\left\|3\ve{M\text{O}}  +\ve{M\text{A}}+\ve{M\text{B}} + \ve{M\text{C}}\right\| = 5. \iff
\left\|6\ve{M\text{G}}\right\| = 5 \iff \text{G}M = \dfrac{5}{6}$.\\
L'ensemble $\Gamma$ est donc la sp\`ere de centre G et de rayon $\dfrac{5}{6}$.\\
D'apr\`es la question 3 c, la distance de G au plan $\mathcal{P}$ est \'egale \`a $\dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} < \dfrac{5}{6}$. Le plan $\mathcal{P}$ et la sp\`ere $\Gamma$ sont donc s\'ecants : l'intersection est un cercle.
\end{enumerate}
}



\sol{}{
\textbf{Première partie}\\
\begin{enumerate}
\item A$ \in (P_{1}) \iff - 9 + 9 = 0$ : vrai ;\\
B$ \in (P_{1}) \iff 14 - 12 +9 = 0$ : faux ;\\
C $ \in (P_{1}) \iff -7 + 4 - 6 + 9 = 0$ vrai ;\\
D $ \in (P_{1}) \iff 7 - 16 + 9 = 0$ : vrai.\\
$\ve{\text{AC}}(-1~;~1~;~-1),~\ve{\text{AD}}(1~;~-~4~-3)$ : ces vecteurs ne sont pas colin\'eaires, donc 
$(P_{1})$ est  le plan (ACD).
\item A $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
0 &= &-1 + t\\
0 &=&-8 + 2t\\
3&= &-10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 1~\text{et}~t = 4$. Pas de solution. Donc faux ;\\
B $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2 &= &-1 + t\\
0 &=&-8 + 2t\\
4&= &-10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 3
~\text{et}~t = 4$. Pas de solution. Donc faux ;\\
C $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 &= &-1 + t\\
1 &=&-8 + 2t\\
2&= &-10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 2
~\text{et}~t = 4,5$. Pas de solution. Donc faux ;\\
D $ \in (\Delta_{1}) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1 &= &-1 + t\\
-4 &=&-8 + 2t\\
0&= &-10 + 5t\\
\end{array}\right.  \Rightarrow t = 2
~\text{et}~t = 2 ~\text{et}~t = 2 $. Donc vrai ;
\item Un vecteur $\ve{u}$ directeur de la droite $(\Delta_{1})$ a pour coordonn\'ees $\ve{u}(1~;~2~;~5)$. $\ve{v}(7~;~4~;~-3)$ est un vecteur normal au  plan $(P_{1})$.\\
Or $\ve{u}\cdot \ve{v} = 7 + 8 - 15 = 0$. La droite $(\Delta_{1})$ est parall\`ele au plan $(P_{1})$. Or en 1 et 2 on a trouv\'e que D est un point de $(\Delta_{1})$ et de $(P_{1})$. Donc la droite $(\Delta_{1})$ est incluse dans $(P_{1})$.
\item Un point commun \`a $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ a ses coordonn\'ees qui v\'erifient le syst\`eme :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
-1 + t &=& 7 + 2t'\\
-8 + 2t&=&8 + 4t'\\
-10 + 5t &=&8 - t'\\
\end{array}\right. \iff  \left\{\begin{array}{l c l}
 t - 2 &=& 8\\
 t - 2 &=& 8\\
5t + t'&=&18 \\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
t&=&4\\
t'&=&-2\\
\end{array}\right.\]
On obtient donc une solution unique qui donne comme coordonn\'ees $(3~;~0~;~10)$.\\
Les droites $(\Delta_{1})$ et $(\Delta_{2})$ sont s\'ecantes (et donc complanaires).
\item Un point commun aux deux plans a ses coordonn\'ees qui v\'erifient le syst\`eme : $\left\{\begin{array}{l c l}
7x + 4y - 3z + 9&=&0\\
x - 2y&=&0\\
\end{array}\right.$\\
En posant $y = t$, on obtient le syst\`eme \'equivalent : $\left\{\begin{array}{l c l}
y&=&t\\
7x +4t - 3z + 9 &=&0\\
x &=&2t\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
y&=&t\\
x&=&2t\\
z &=&6t + 3\\
\end{array}\right.$\
La bonne r\'eponse est la deuxi\`eme.
\end{enumerate}
\textbf{Deuxi\`eme partie}\\
\begin{enumerate}
\item On traduit pour un point $M(x~;~y~;~z)$ l'\'egalit\'e vectorielle $\ve{\text{A}M} = a\ve{u} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x- 0&=& a\\
y - 0&=&0\\
z - 3&=&-a\\
\end{array}\right.$\\
On a donc $M(a~;~0~;~3 - a)$.\\
De m\^eme  $\ve{\text{B}M'} = b\ve{v} \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x' - 2&=&0\\
y' - 0&=&b\\
z' - 4 &=&b\\
\end{array}\right.$.\\
On a donc $M'(2~;~b~;~4 + b)$.\\
Il s'ensuit que $\ve{MM'}(2 - a~;~b~;~a + b + 1).$
\item La droite $(MM')$ est perpendiculaire \`a (D) et à (D$'$) si et seulement si :
\[\left\{\begin{array}{l c l}
\ve{MM'}\cdot \ve{u}&=&0\\
\ve{MM'}\cdot \ve{v}&=&0\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
2 - a -a - b - 1&=&=0\\
b + a + b + 1&=&=0\\
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
2a + b&=&1\\
a + 2b&=&-1\\
\end{array}\right.\]
\item $\left\{\begin{array}{l c l}
2a + b&=&1\\
a + 2b&=&-1\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
4a + 2b&=&2\\
a + 2b&=&-1\\
\end{array}\right. \Rightarrow 3a = 3 \iff a = 1$. On en d\'eduit que $b = -1$.\\
On a donc H(1 ; 0 ; 2) et H$'(2~;~-1~;~3)$.\\
On calcule HH$'^2 = 1^2 + (-1)^2 + 1^2 = 3 \iff \text{HH}' = \sqrt{3}$.
\item \begin{enumerate}
\item 

Avec $M(a~;~0~;~3 - a)$ et $M'(2~;~b~;~4 + b)$, on calcule $MM'^2 = \|\ve{MM'}\|^2 = (2 - a)^2 + b^2 + (a + b + 1)^2 = 4 - a^2 - 4a + b^2 + a^2 + b^2 + 1 + 2a + 2b + 2ab = 2a^2 + 2b^2 - 2a + 2b + 2ab + 5 = a^2 + b^2 + 2ab a^2 + 1 - 2a + b^2 + 2b + 1 + 3$.\\
Soit enfin $MM'^2 = (a + b)^2 + (a - 1)^2 + (b + 1)^2 + 3$.
\item Les trois premiers termes de la somme pr\'ec\'edente sont des carr\'es dont la plus peitie valeur est $0$. On a donc $MM'^2 \geqslant 3$ et cette valeur $3$ est atteinte lorsque les trois carr\'es sont nuls, c'est-\`a-dire quand $\left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&0\\
a - 1&=&0\\
b + 1&=&0\\
\end{array}\right.  \iff \left\{\begin{array}{l c l}
a + b&=&0\\
a&=&1\\
b&=&-1\\
\end{array}\right.$\\
On retrouve donc les valeurs $a = 1$ et $b = -1$ et la distance (la plus courte) entre les deux droites : elle vaut $\sqrt{3}$.
 \end{enumerate}
\end{enumerate}
}







\sol{}{
\begin{enumerate}
\item $\ve{\text{AB}}\left(\begin{array}{l}-3\\ 3\\0\\
\end{array}\right),~\ve{\text{AD}}\left(\begin{array}{l}-1\\ 2\\9\\
\end{array}\right)$. Il n'existe pas de r\'eel $\alpha$ tel que $\ve{\text{AB}} = \alpha\ve{\text{AD}}$. Les points A, B et D  ne sont pas  align\'es.
\item Les \'egalit\'es $3 + 1 = 4$ et $0 + 4= 4$ sont vraies ; les points A et B appartiennent au plan. Donc la droite (AB) est contenue dans le plan d'\'equation cart\'esienne : $x + y = 4$.
\item Les coordonn\'ees des trois points v\'erifient l'\'equation. L'\'equation propos\'ee est bien celle du plan (BCD), ces trois points \'etant manifestement disjoints deux \`a deux.
\item Les coordonn\'ees de A ne v\'erifient pas l'\'equation pr\'ec\'edente. Donc A n'appartient pas au plan (BCD). Les points A, B, C et D ne sont pas  coplanaires.
\item La sph\`ere de centre A et de rayon 9 est tangente au plan (BCD) si et seulement si la distance de A \`a ce plan est \'egale au rayon du cercle, c.\`a.d si $d(\text{A},~(\text{BCD)}) = \dfrac{81}{\sqrt{18^2 + 9^2 + 5^2}} = 9 \iff  \dfrac{81}{\sqrt{430}} = 9$ qui est une \'egalit\'e fausse. La proposition est fausse.
\item Une repr\'esentation param\'etrique de la droite (BD) est obtenue en traduisant l'\'egalit\'e vectorielle $\ve{\text{B}M} = \lambda \ve{\text{BD}}$ qui se traduit par le syst\`eme : $\left\{\begin{array}{l c l}
x&=& 2\lambda\\
y&=&4 - \lambda\\
z&=& - 5 - 5\lambda\\
\end{array}\right.$  qui se traduit en posant $2\lambda = 1 - 2k \iff \lambda = \dfrac{1}{2} - k$ par le syst\`eme propos\'e par l'\'enonc\'e. La proposition est vraie.
\end{enumerate}
}



\sol{}{

\begin{enumerate}
\item Un vecteur $\ve{n}_{1}$ normal \`a $(P_{1})$ est $\ve{n}_{1}\left(\begin{array}{rrr}-2\\1\\1\\\end{array}\right)$.  Un vecteur $\ve{n}_{2}$ normal \`a $(P_{2})$ est $\ve{n}_{1}\left(\begin{array}{rrr}1\\-2\\4\\\end{array}\right)$.
Ces deux vecteurs sont non nuls et $\ve{n}_{1} \cdot \ve{n}_{2} = -2 \times 1 + 1 \times (-2) + 1 \times 4 = 0.$ Ces vecteurs \'etant orthogonaux, les deux plans sont perpendiculaires.
\item En posant $z = t$ les coordonn\'ees de la droite commune aux deux plans v\'erifient $\left\{\begin{array}{l c l}
-2x + y &=& 6 - t\\
x - 2y &=& 9 -4t\\
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
-2x + y &=& 6 - t\\
2x - 4y &=& 18 -8t\\
\end{array}\right. \Rightarrow -3y = 24 - 9t \iff y = - 8 + 3t$ et en reportant dans l'une des \'equations des plans $x = - 7 + 2t$.\\
Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (P_{1} \cap (P_{2}) = (\text{D} \iff \left\{\begin{array}{l c r}
x&=&-7 + 2t\\y&=&-8 + 3t\\z&=&t\\\end{array}\right.$.

\item \begin{enumerate}
\item On a $-18 - 4 - 1 - 6 = 0$ Faux et $-9 + 8 - 4 - 9 = 0$ Faux
\item A$M^2 = (x + 9)^2 + (y + 4)^2 + (z + 1)^2 = (2 + 2t)^2 + (-4 + 3t)^2 + (t + 1)^2 = 14t^2 - 14t + 21 = 7\left(2t^2 - 2t + 3\right).$
\item $f(t) = 2t^2 - 2t + 3 = 2\left(t^2 - t + \dfrac{3}{2}\right) =
 2\left[\left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 - \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{2}\right] =
  2\left[\left(t - \dfrac{1}{2}\right)^2 + \dfrac{5}{4}\right] \geqslant 2\times \dfrac{5}{4}=\dfrac{5}{2}> 0$. Ce trin\^ome est donc d\'ecroissant sur $]- \infty~;~\dfrac{1}{2}]$, croissant sur $[\dfrac{1}{2}~;~+ \infty[$ et a un minimum en $\dfrac{1}{2}.$\\
Le point correspondant est $M_{\text{mini}} = \text{I}\left(- 6~;~ - \dfrac{13}{2}~;~\dfrac{1}{2}\right)$.
\end{enumerate}

\item \begin{enumerate}
\item La repr\'esentation param\'etrique de (D) donne les coordonn\'ees d'un vecteur directeur de (D), donc un vecteur normal \`a (Q), c'est le vecteur
$\ve{q}\left(\begin{array}{l}
2\\3\\1\\\end{array}\right)$.\\
Une \'equation de (Q) est donc : $2x + 3y + z + \alpha = 0$. A
$\in (\text{Q}) \iff \\-18 - 12 - 1 + \alpha = 0 \iff \alpha = 31$.\\
Une \'equation de (Q) est donc : $M \in  (\text{Q}) \iff 2x + 3y + z + 31 = 0.$
\item Le triangle A$M$I est rectangle en I. Le c\^ot\'e [AI] a une longueur inf\'erieure \`a celle de l'hypot\'enuse [A$M$] : I est bien le projet\'e orthogonal de A sur (D) .
\end{enumerate}
\end{enumerate}
}


\end{document}
