\chapterimage{matriochka}
\chaptertext{}

%\newcommand{\C}{\bbc}

\chapter{COMPLEXES : LE RETOUR...}




\section{Approche géométrique}

% \pro 
Si je vous dis transformation du plan, vous pensez sûrement à 
% \tsx
% 
des points qui se  transforment en d'autres points et qui gardent
plein de propriétés intéressantes : les longueurs, les angles, 
les  alignements,  le parallélisme  se  conservent.  Il  y a  juste  une
exception avec l'homothétie qui multiplie les longueurs. 

% \pro
C'est en  effet un résumé de vos  aventures géométriques des années
passées. Depuis, vous avez rencontré, lors de l'étude des nombres 
complexes  notamment,   d'autres  transformations  plus   étranges,  qui
transforment des droites en cercles ou en tout autre chose d'ailleurs.  

Nous allons nous occuper aujourd'hui d'une catégorie bien particulière de transformations, parmi bien
d'autres,  mais   avant  il  faudrait  s'entendre  sur   ce  qu'est  une
transformation du plan... 


\begin{definition}[transformation du plan]
  On dit que $f$ est une \textbf{transformation du plan} si 
\begin{itemize}
\item tout point du plan a une unique image par f
\item tout point du plan admet un unique antécédent par f
\end{itemize}
\end{definition}


Par exemple, une projection orthogonale n'est pas une transformation du plan selon notre définition.

Un exemple très important en géométrie, que vous connaissez depuis tout
petit (agrandissement-réduction), est l'homothétie~:

\begin{definition}[homothétie]
  Soit C un point du plan et $\lambda$ un réel non nul. \\ On appelle \textbf{homothétie de centre C et de rapport
\mg{$\lambda$}} la transformation qui à tout point M du plan associe le point M$'$ tel que $$\ve{CM'}=\lambda\ve{CM}$$
\end{definition}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{simi.1}
\end{center}
\end{figure}

Un autre cas simple est la translation~:


\begin{definition}[translation]
   La \textbf{translation} de vecteur $\ve{v}$ est la transformation qui à tout point $M$ associe le point $M'$ tel que
$$\ve{MM'}=\ve{v}$$
\end{definition}


\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{simi.5}
\end{center}
\end{figure}

Nous étudierons enfin les rotations~:



\begin{definition}[rotation]
   La \textbf{rotation} de centre C et d'angle $\al$ est la transformation qui, à tout point M du plan, associe le point M$'$ tel
que \begin{itemize}
\item si M$\neq M'$, alors $CM=CM'$ et $(\ve{CM},\ve{CM'})=\al$
\item si $M=C$, alors $M'=C$
\end{itemize}
\end{definition}



\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics{simi.6}
\end{center}
\end{figure}



\section{Forme exponentielle d'un nombre complexe}


\pro Avant d'aller plus loin, nous allons avoir besoin d'un petit outil technique. Notons $f$ la fonction définie sur $\bbr$ par
$f(x)=\cos x+\mathrm{i}\sin x$. C'est une fonction un peu spéciale puisqu'elle est définie sur $\bbr$ mais est à valeurs dans $\bbc$. Que vaut
$f(0)$~?

\tsx $f(0)=\cos 0+\mathrm{i}\sin 0=1$ : jusqu'ici, tout va bien.

\pro Je vous demande à présent un petit effort d'imagination : on peut supposer que $f$ est dérivable sur $\bbr$ en considérant $i$ comme
un coefficient quelconque et en extrapolant les formules de dérivations des fonctions à valeurs réelles. Qu'est-ce que ça peut donner~?

\tsx $f'(x)=-\sin x+\mathrm{i}\cos x$

\pro Essayez alors de faire le lien avec $f(x)$.

\tsx $f'(x)=\mathrm{i}(\mathrm{i}\sin x+\cos x)=\mathrm{i} f(x)$ : oui, et alors~? 

\pro Récapitulons : $f$ vérifie $f'=\mathrm{i} f$ avec $f(0)=1$. Ça ne vous rappelle rien~? 

\tsx Ciel~! Ma fonction exponentielle ! On avait $f'=kf$ et $f(0)=1$ alors on en concluait que $f(x)=\mathrm{e}^{kx}$.

\pro Donc vous ne  serez pas choqué si nous écrivons, par convention  d'écriture à notre niveau, que
$f(x)=\exp(\mathrm{i} x)=\mathrm{e}^{\mathrm{i} x}$. 


\begin{theoreme}[notation exponentielle]
  On convient d'écrire, pour tout réel $x$ $$\E^{\mathrm{i} x}=\cos x+\mathrm{i}\sin x$$
\end{theoreme}



Notez  au passage  que les  formules d'additions  sont  alors plus  faciles à  retrouver. En  effet,
$\mathrm{e}^{\mathrm{i}(a+b)}=\mathrm{e}^{\mathrm{i} a}\mathrm{e}^{\mathrm{i} b}$, donc

\begin{eqnarray*}
  \cos(a+b)+\mathrm{i}\sin(a+b)&=&(\cos a+\mathrm{i}\sin a)(\cos b+\mathrm{i}\sin b)\\
&=&(\cos a\cos b-\sin a\sin b)+\mathrm{i}(\cos a\sin b+\cos b\sin a)
\end{eqnarray*}


 Alors, par unicité de
la forme algébrique d'un complexe, on obtient~:
$$\cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b\quad \text{et} \quad \sin(a+b)=\cos a\sin b+\cos b\sin a$$

Voici une illustration du côté extrêmement pratique de l'outil complexe.





\section{Écriture complexe des transformations usuelles}

\subsection{Translations}


\pro Considérons la translation de vecteur $\ve{v}$ d'affixe $b$ et les habituels points $M$ et $M'$ d'affixes $z$ et $z'$. Par
définition, on  a $\ve{MM'}=\ve{v}$. Traduisez ceci à  l'aide de l'outil
complexe. 

\tsx Facile : $z_{\ve{MM'}}=z'-z=b$, i.e. $z'=z+b$. Impeccable, car on retrouve une expression du type $az+b$, donc c'est bien une
similitude directe  de rapport $|a|=|1|=1$,  donc une isométrie  : c'est
sûr que ça commence à me plaire de travailler avec les complexes. 

\pro J'espère que vous n'êtes pas ironique. Notons ce résultat au passage


\begin{propriete}[translation : version complexe]
   La transformation complexe définie par  $$z\mapsto z+b$$ est la translation de vecteur d'affixe $b$
\end{propriete}


\subsection{Rotations}

\pro Essayez de vous débrouiller avec la rotation de centre $C$ d'affixe $c$ et d'angle de mesure $\al$.

\tsx  Bon,   on  sait  que   $\ao{CM}{CM'}=\al=\arg  \fr{z'-c}{z-c}$  et
$CM'=CM$, donc 

$$\fr{CM'}{CM}=1=\ab{\fr{z'-c}{z-c}}$$ On en déduit que $(z'-c)/(z-c)$
est un nombre complexe de module 1 et d'argument de mesure $\al$. On peut à la rigueur écrire $$(z'-c)/(z-c)=\cos\al+\mathrm{i}\sin \al$$ Tout ceci
ne nous mène pas à grand chose.

\pro Au contraire ! Mais avant tout, vous avez un $CM$ au dénominateur, il faut donc s'assurer qu'il est non nul, donc que $M\neq C$. On
verra ensuite si on rattraper le coup. Pour ce qui est de l'interprétation, nous pouvons utiliser un outil tout juste découvert quelques
lignes plus haut : un complexe de module 1 et de mesure congrue à $\al$ modulo $2\pi$ s'écrit $\mathrm{e}^{\mathrm{i}\al}$.

Ainsi $(z'-c)=\mathrm{e}^{\mathrm{i}\al}(z-c)$. Vous remarquerez que cette formulation reste valable si $z=c$ : en effet, $c'=c$ car le centre de la
rotation est invariant.

\MATA{Là, je vais lui clouer le bec...\textbf{(tout haut)}} Et je suppose qu'on vérifie que, réciproquement, toutes les transformations de
ce style sont des rotations d'angle $\al$. Finalement, toute rotation s'exprime sous la forme $z'=z\mathrm{e}^{\mathrm{i}\al}+b$.

\pro Justement non, et c'est pourquoi ces vérifications ne sont pas anodines : en effet, si $\al\equiv0[2\pi]$, nous sommes bien embêtés
car nous obtenons une translation de vecteur d'affixe $b$.


\begin{propriete}[rotation : version complexe]
  La transformation complexe définie par $$z\mapsto ze^{i\al}+b$$ est une rotation d'angle $\al$ avec $\al\not\equiv0[2\pi]$
\end{propriete}


En fait, ça se comprend. Notons $z-c=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}$ l'affixe du vecteur $\ve{CM}$, alors $$z'-c=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}e^{\mathrm{i}\al}=r\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\al+\theta)}$$
ce qui peut se traduire par~:~<<~on garde la même distance, on tourne de $\al$~>>

\begin{center}
\includegraphics{simi.8}
\end{center}

\subsection{Homothéties}

\pro Pas grand chose à dire ici. Avec les  notations habituelles, on obtient $\ve{CM'}=k\ve{CM}$, d'où $z'-c=k(z-c)$, i.e.
$z'=kz+c(1-k)$. Ainsi une homothétie a une représentation complexe de la forme $z\mapsto kz+b$.

\MATA{Soyons prudent...\textbf{(tout haut)} Il faut faire attention : on ne doit pas avoir $z=z+b$ qui nous fait retomber sur une
translation, donc $k$ doit être différent de 1.}

\pro Vous progressez, mon brave Téhessin. Pour éviter toute confusion, nous prendrons l'habitude de commencer notre étude par la
recherche des points invariants : c'est ce que nous verrons un peu plus loin dans notre étude générale des similitudes.


\begin{propriete}[homothéties : version complexe]
  La transformation complexe définie par $$z\mapsto kz+b\quad \text{avec}\quad k\in\bbr\setminus\{0,1\}$$ est une homothétie
de rapport $k$
\end{propriete}


\modeexercice % entre en mode exercice
\section{EXERCICES}


\begin{listeexercices}
%

  \begin{exercice}[]
    
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv.

\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble $\bbc$ des nombres complexes, l'équation díinconnue $z$ :

\[z^2 - 2\sqrt{3}z + 4 = 0.\]
\item On considère les points A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} - \text{i}$, B d'affixe  $z_{\text{B}} = \sqrt{3} + \text{i}$ et C le milieu de [OB] d'affixe $z_{\text{C}}$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la forme exponentielle de $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$.
		\item Sur une figure, placer les points A, B et C, en prenant 2~cm pour unité.
		\item Montrer que le triangle OAB est équilatéral.
	\end{enumerate}

\item Soit D l'image de C par la rotation $r$ de centre O, d'angle $- \dfrac{\pi}{2}$ et E l'image de D par la translation $t$ de vecteur $2\vect{v}$.
	\begin{enumerate}
		\item Placer les points D et E sur une figure.
		\item Montrer que l'affixe $z_{\text{E}}$ du point E vérifie : $z_{\text{E}} = \dfrac{1}{2}\left[1 + \text{i}\left(4 - \sqrt{3}\right)\right]$.
		\item Montrer que OE = BE $ = \sqrt{5 - 2\sqrt{3}}$.
	\end{enumerate}
 
\item Montrer que les points A, C et E sont alignés.

\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

\end{enumerate}

  \end{exercice}



%

  \begin{exercice}
    
\textbf{\color{\exercicecolor}\fontfamily{ugq}\selectfont Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM).}\\

\noindent \emph{Pour chaque question, une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il sera attribué un point si la réponse est exacte, zéro sinon.}\\


\noindent Dans le plan orienté, ABCD est un carré direct $\left(\left(\vect{\text{AB}},~\vect{\text{AD}}\right) = \dfrac{\pi}{2}\right)$. On note I son centre et J le  milieu de [AI].

\begin{enumerate}
\item C est le barycentre des points pondérés (A, $m$), (B, 1) et (D, 1)
  lorsque :\\

  \begin{multicols}{2}
    \begin{enumerate}
    \item $m = -2$
\item $m = 2$
\item $m = -1$
\item $m = 3$
    \end{enumerate}
  \end{multicols}


\item  
	\begin{enumerate}
		\item  B est l'image de C par la rotation de centre I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}.$
		\item  Le rapport de l'homothétie de centre C qui transforme I en J est $\dfrac{2}{3}.$
		\item  Le triangle DAB est invariant par la symétrie de centre I.
		\item  J est l'image de I par la translation de vecteur $\dfrac{1}{2}\vect{\text{BA}} + \dfrac{1}{4}\vect{\text{DB}}$.
 	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que $\|\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{C}}\| = \text{AB}$  est :
	\begin{enumerate}
		\item  la médiatrice de [AC].
		\item  le cercle circonscrit au carré ABCD.
		\item  la médiatrice de [AI].
		\item  le cercle inscrit dans le carré ABCD.
	\end{enumerate}
\item L'ensemble des points $M$ du plan tels que :
		\[\left(2\vect{M\text{A}} + \vect{M\text{B}} + \vect{M\text{D}}\right) \cdot \left(\vect{M\text{A}}- \vect{M\text{C}}\right) = 0\]	 est :
	\begin{enumerate}
		\item la médiatrice de [AC].
		\item le cercle circonscrit au carré ABCD.
		\item la médiatrice de [AI].
		\item le cercle inscrit dans le carré ABCD.
	\end{enumerate}		
\end{enumerate}

  \end{exercice}









  \begin{exercice}
    
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal \Ouv.

\begin{enumerate}
\item  On considère les points A, B et C d'affixes respectives $z_{\text{A}} = 2 + 2\text{i},~ z_{\text{B}} = 2\text{i}$ et $z_{\text{C}} = 2$ ainsi que le cercle $\Gamma$ de centre A et de rayon 2.

La droite (OA) coupe le cercle $\Gamma$ en deux points H et K tels que OH $<$  OK. On note $z_{\text{H}}$ et $z_{\text{K}}$ les affixes respectives des points H et K,

	\begin{enumerate}
		\item  Faire une figure en prenant 1~cm comme unité graphique.
		\item  Calculer la longueur OA. En déduire les longueurs OK et OH.
		\item  Justifier, à l'aide des notions de module et d'argument d'un nombre complexe, que

\[z_{\text{K}} = \left(2\sqrt{2}+2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}} \quad 	z_{\text{H}} = \left(2\sqrt{2}- 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{\pi}{4}}.\]
	\end{enumerate}
			
\textbf{\color{\exercicecolor}\fontfamily{ugq}\selectfont Dans toute la suite}, on considère l'application $f$ du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z \neq 0$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que :
		\[z' = \dfrac{-4}{z}.\]


\item
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer et placer les points images de B et C par $f$.

		\item  On dit qu'un point est invariant par $f$ s'il est confondu avec son image.
		
Déterminer les points invariants par $f$.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout point $M$ distinct de O, on a :
\[\text{O}M  \times \text{O}M' = 4.\]

		\item  Déterminer arg$\left(z'\right)$ en fonction de arg$(z)$.
	\end{enumerate}

\item  Soient K$'$ et H$'$ les images respectives de K et H par $f$.

	\begin{enumerate}
		\item  Calculer OK$'$ et OH$'$.

		\item Démontrer que $z_{\text{K}'} = \left(2\sqrt{2} - 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$ et $z_{\text{H}'} = \left(2\sqrt{2} + 2\right)\text{e}^{\text{i}\frac{3\pi}{4}}$.

		\item  Expliquer comment construire les points K$'$ et H$'$ en utilisant uniquement la règle et le compas à partir des points K et H. Réaliser la construction.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \end{exercice}






  \begin{exercice}
    
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormé \Ouv, on considère les points A, B, C d'affixes respectives $a = - 1 + 2\text{i},~   b = 1 + 3\text{i},~   c = 4\text{i}$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que le triangle ABC est isocèle en A.

\item   Soit I le milieu de [BC] et $z_{\text{I}}$ son affixe.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est l'ensemble des points $M$ du plan distincts de A dont l'affixe $z$ est telle que $\dfrac{z - z_{\text{I}}}{z - a}$ soit un réel?
		\item Déterminer l'unique réel $x$ tel que $\dfrac{x - z_{\text{I}}}{x - a}$ soit un réel.
		\item Soit $z_{\vect{\text{AI}}}$ l'affixe du vecteur  $\vect{\text{AI}}$, donner une forme trigonométrique de $z_{\vect{\text{AI}}}$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Soit G le point d'affixe $-3$. Montrer qu'il existe deux rotations de centre G, dont on déterminera les angles, telles que les images de A et I par ces rotations soient toutes deux sur l'axe des réels.
		\item Soit $r_{1}$ la rotation de centre G et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{4}$.
		
Déterminer l'écriture complexe de $r_{1}$.
	\end{enumerate}
	
\item Soit A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives de A, B, et C par la rotation $r_{1}$; soient $a',~ b'$ et $c'$ leurs affixes.

Quelle est l'image par $r_{1}$ de l'axe de symétrie du triangle ABC?

En déduire que $b' = \overline{c'}$.
\end{enumerate}

  \end{exercice}




  \begin{exercice}
    
Le plan est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 1~cm. On considère les points A et B d' affixes respectives $z_{\text{A}} = 1$ et $z_{\text{B}} = 3 + 4\text{i}$.
 
Soit C et D les points d'affixes respectives $z_{\text{C}} = 2\sqrt{3} + \text{i}(- 2 - \sqrt{3})$ et 

$z_{\text{D}} =  -2\sqrt{3} + \text{i}( -2 +  \sqrt{3})$.

 L' objet de l'exercice est de proposer une construction géométrique des points D et C.
  
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'image du point B par la rotation de centre A et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$ est le point D. 
	\item En déduire que les points B et D sont sur un cercle $\mathcal{C}$ de centre A dont on déterminera le rayon.
	\end{enumerate} 
\item Soit F, l'image du point A par l'homothétie de centre B et de rapport $\dfrac{3}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que l'affixe $z_{\text{F}}$ du point F est $-2\text{i}$. 
	\item  Montrer que le point F est le milieu du segment [CD]. 
	\item  Montrer que $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}} = - \text{i}\sqrt{3}$. En déduire la forme exponentielle de $\dfrac{z_{\text{C}} - z_{\text{F}}}{z_{\text{A}} - z_{\text{F}}}$. 

Déduire des questions précédentes que la droite (AF) est la médiatrice du segment [CD].
	\end{enumerate} 
\item Proposer un programme de construction pour les points D et C à partir des points A, B et F et réaliser la figure.
 
\emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l 'évaluation.} 
\end{enumerate}

  \end{exercice}



  \begin{exercice}
    
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

 Soit A, B et C les points d'affixes respectives: 
\[a = 3 - \text{i},\quad  b = 1- 3\text{i}~~ \text{et}~~ c = -1- \text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? 
		\item Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.
	\end{enumerate}	
\item  Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, image de A dans la rotation $r$ de centre $M$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$. 
		\item En déduire une expression de $n$ en fonction de $m$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe.  

Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2}	+ 2 + \text{i}$.  
\item Dans cette question, $M$ est un point du cercle $\Gamma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'un réel $\theta$ tel que : $m = \sqrt{10} \text{e}^{\text{i}\theta}$. 
		\item Calculer $|q - 2 - \text{i}|$. Quel est le lieu $\Gamma'$ de $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \end{exercice}




  \begin{exercice}
    
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv. On prendra pour unité graphique 2~cm.

 Soit A, B et C les points d'affixes respectives: 
\[a = 3 - \text{i},\quad  b = 1- 3\text{i}~~ \text{et}~~ c = -1- \text{i}.\] 

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Placer ces points sur une figure que l'on complètera au fur et à mesure. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? 
		\item Démontrer que les points A et B appartiennent à un même cercle $\Gamma$ de centre O, dont on calculera le rayon.
	\end{enumerate}	
\item  Soit $M$ un point quelconque du plan d'affixe notée $m$ et $N$ le point d'affixe notée $n$, image de A dans la rotation $r$ de centre $M$ et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner l'écriture complexe de la rotation $r$. 
		\item En déduire une expression de $n$ en fonction de $m$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $Q$ le milieu du segment [A$N$] et $q$ son affixe.  

Montrer que : $q = \dfrac{(1 - \text{i})m}{2}	+ 2 + \text{i}$.  
\item Dans cette question, $M$ est un point du cercle $\Gamma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier l'existence d'un réel $\theta$ tel que : $m = \sqrt{10} \text{e}^{\text{i}\theta}$. 
		\item Calculer $|q - 2 - \text{i}|$. Quel est le lieu $\Gamma'$ de $Q$ lorsque $M$ décrit le cercle $\Gamma$ ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \end{exercice}




  \begin{exercice}
    
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv{} (unité graphique : 2~cm).

 On considère les points A, B et C d' affixes respectives :
 \[ z_{\text{A}} = -\dfrac{3}{2} + \text{i}\dfrac{\sqrt{3}}{2},~z_{\text{B}}  = \overline{z_{\text{A}} }~\text{et}~ z_{\text{C}} =   - 3.\] 

\medskip

\textbf{\color{\exercicecolor}\fontfamily{ugq}\selectfont Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire les nombres complexes $z_{\text{A}}$ et $z_{\text{B}}$ sous forme exponentielle. 
\item Placer les points A, B et C. 
\item Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. 
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\color{\exercicecolor}\fontfamily{ugq}\selectfont Partie B}

\medskip
 
Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ du plan d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z' = \dfrac{1}{3}\text{i}z^2$.
 
On note O$'$, A$'$, B$'$ et C$'$ les points respectivement associés par $f$ aux points O, A, B et C.
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer la forme exponentielle des affixes des points A$'$, B$'$ et C$'$. 
		\item Placer les points A$'$, B$'$ et C$'$ . 
		\item Démontrer l'alignement des points O, A et B$'$ ainsi que celui des points O, B et A$'$.
	\end{enumerate}  
\item Soit G l'isobarycentre des points O, A, B et C. On note G$'$ le point associé à G par $f$. 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les affixes des points G et G$'$. 
		\item Le point G$'$ est-il l'isobarycentre des points O$'$ A$'$, B$'$ et C$'$ ? 
	\end{enumerate}
\item Démontrer que si $M$ appartient à la droite (AB) alors $M'$ appartient à la parabole d'équation $y = - \dfrac{1}{3}x^2 + \dfrac{3}{4}$. (On ne demande pas de tracer cette parabole)
\end{enumerate} 

  \end{exercice}


  \begin{exercice}
    
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.


On place dans ce repère, les points A d'affixe 1, $B$ d'affixe $b$ où $b$ est un nombre complexe dont la partie imaginaire est strictement positive.

On construit à l'extérieur du triangle OA$B$, les carrés directs O$DC$A et O$BEF$.



\begin{enumerate}
\item Déterminer les affixes $c$ et $d$ des points C et D. 

\item On note $r$ la rotation de centre O et d'angle $+\frac{\pi}{2}$. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $r$. 
	\item En déduire que l'affixe $f$ du point $F$ est  $\text{i}b$. 
	\item Déterminer l'affixe $e$ du point $E$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $G$ le point tel que le quadrilatère O$FG$D soit un parallélogramme. 

Démontrer que l'affixe $g$ du point $G$ est égal à $\text{i}(b -1)$. 

\item Démontrer que $\dfrac{e - g}{c - g} = \text{i}$ et en déduire que le triangle 
$EG$C est rectangle et isocèle.
\end{enumerate} 
  \end{exercice}






  \begin{exercice}
    
\textbf{\color{\exercicecolor}\fontfamily{ugq}\selectfont Partie A : Restitution organisée de connaissances}
 
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct.

On supposera connus les résultats suivants :



$\bullet~$ Pour tous points A, B et C du plan d'affixes respectives $a,~ b$ et $c$, avec A $\neq$ C  et A~$\neq$~B :

$\left|\dfrac{b - a}{c - a}\right| = \dfrac{\text{AB}}{\text{AC}}$ et arg$\left(\dfrac{b - a}{c - a}\right) = \left(\vect{\text{AC}},~\vect{\text{AB}} \right) + k \times 2\pi$~où $k$ est un entier relatif  ;

$\bullet~$ Soit $z$ un nombre complexe et soit $\theta$ un nombre réel : 

$z = \text{e}^{\text{i}\theta}$ si et seulement si $|z| = 1$ et arg$(z) = \theta  + k \times  2\pi$ où $k$ est un entier relatif. 

\medskip

Démontrer que la rotation $r$ d'angle $\alpha$ et de centre $\Omega$ d' affixe $\omega$ est la transformation du plan qui à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : $z'- \omega= \text{e}^{\text{i}\theta}(z - \omega)$. 

\medskip

\textbf{\color{\exercicecolor}\fontfamily{ugq}\selectfont Partie B }

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv, unité graphique 1~cm. 

Soit $f$ l'application qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que : 
\[z'= \text{i}z + 4+ 4\text{i}.\]
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'affixe $\omega$ du point $\Omega$ tel que $f(\Omega) = \Omega$ 
\item Montrer que, pour tout nombre complexe $z$ on a : $z'- 4\text{i} = \text{i}(z -4\text{i})$. 
		\item En déduire la nature et les éléments caractéristiques de $f$.
	\end{enumerate} 
\item On note A et B les points d'affixes respectives $a = 4 - 2\text{i}$ et $b = -4 + 6\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
	\item Placer les points A,   B et  $\Omega$  sur une figure que l'on completera au fur et à mesure des questions. 
	\item Déterminer les affixes des points A$'$ et B$'$ images respectives des points A et B par $f$. 
	\end{enumerate}
\item On appelle $m,~ n,~ p$ et $q$ les affixes des points M N, P et Q, milieux respectifs des segments [AA$'$],  [A$'$B], [BB$'$] et [B$'$A].
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $m$. On admettra que $n = 1 + 7\text{i},~p = -3 + 3\text{i}$ et $q = 1 -\text{i}$. 
	\item Démontrer que MNPQ est un parallélogramme. 
	\item Déterminer la forme algëbrique du nombre complexe $\dfrac{q - m}{n - m}$.
		 
		En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. 
	\end{enumerate}
\item  Démontrer que les droites (B$'$A) et ($\Omega$N) sont perpendiculaires. 

\end{enumerate} 
  \end{exercice}



  \begin{exercice}
    
Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal direct \Ouv, on associe à tout point $M$ d'affixe $z$ non nulle, le point $M'$ milieu du segment $\left[MM_{1}\right]$ où $M_{1}$ est le point d'affixe $\dfrac{1}{z}$. 

Le point $M'$ est appelé l'image du point $M$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que les distances O$M$ et O$M_{1}$ vérifient la relation O$M \times \text{O}M_{1}= 1$ et que les angles $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right)$ et $\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ vérifient l'égalité des mesures suivantes 
		$\left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M_{1}}\right) = - \left(\vect{u}~;~\vect{\text{O}M}\right)$ à $2\pi$ près. 
	\item Sur une figure placez le point A appartenant au cercle de centre O et de rayon 2. 
	
Construire le point A$'$ image du point A. (On laissera apparents les traits de construction).
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que pour tout nombre complexe $z$ non nul, le point $M'$ a pour affixe $z' = \dfrac{1}{2}\left( z + \dfrac{1}{z}\right)$. 
	\item Soient B et C les points d'affixes respectives 2i et $-$2i. Calculer les affixes des points B$'$ et C$'$ images respectives des points B et C. 
	\item  Placer les points B, C, B$'$ et C$'$ sur la figure.
	\end{enumerate} 
\item  Déterminer l'ensemble des points $M$ tels que $M' = M$. 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
Montrer que si le point $M$ appartient au cercle de centre O et de rayon 1 alors son image $M'$ appartient au segment [KL] où K et L sont les points d'affixes respectives $-1$ et 1.  
\end{enumerate}
  \end{exercice}

  \begin{exercice}
    
\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiple (QCM). \\
Pour chaque question une seule des propositions est exacte. Le candidat portera sur la copie, sans justification, la lettre correspondant à la réponse choisie. Il est attribué un point si la réponse est exacte, aucun point n'est enlevé pour une réponse inexacte ou une absence de réponse.}

\medskip
 
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct \Ouv. 

\begin{enumerate}
\item Soit (E) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant : $z = 1- 2\text{i} + \text{e}^{\text{i} \theta}$,~$\theta$ étant un nombre réel. 
	\begin{enumerate}
		\item (E) est une droite passant par le point d'affixe $2 - 2\text{i}$. 
	\item (E) est le cercle de centre d'affixe $-1 + 2\text{i}$ et de rayon 1.
	\item  (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon 1. 
	\item  (E) est le cercle de centre d'affixe $1- 2\text{i}$ et de rayon $\sqrt{5}$.
	\end{enumerate} 
\item Soit $f$ l'application du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ tel que $z'= -\text{i}z - 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est une homothétie. 
	\item Le point d'affixe $-1 - 2\text{i}$ est un antécédent du point d'affixe $\text{i}$. 
	\item  $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $1 + \text{i}$ et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$ 
	\item  $f$ est la rotation de centre le point d'affixe $-1- \text{i}$
	 et d'angle $- \dfrac{\pi}{2}.$
	\end{enumerate}
\item Soit (F) l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ vérifiant $|z -1 +\text{i}| = |z + 1 + 2\text{i}|$.
 
Soient les points A, B et C d' affixes respectives $1- \text{i},~ -1 + 2\text{i}$ et $-1- 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item C est un point de (F). 
	\item (F) est la médiatrice du segment [AB].
	\item (F) est la médiatrice du segment [AC].
	\item (F) est le cercle de diamètre [AB]. 
	\end{enumerate}
\item On considère dans l'ensemble des nombres complexes l'équation \mbox{$z + |z|^2 = 7 + \text{i}$}. 
Cette équation admet : 
	\begin{enumerate}
		\item  Deux solutions distinctes qui ont pour partie imaginaire 1. 
	\item Une solution réelle. 
	\item Deux solutions dont une seule a pour partie imaginaire 1. 
	\item Une solution qui a pour partie imaginaire 2. 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

  \end{exercice}


  \begin{exercice}
    

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv.
 
\medskip
  
Soit A, B et P les points d'affixes respectives $a = 5 + 5\text{i},~b = 5 - 5\text{i}$ et $p = 10$.

On considère un point $M$, distinct de O, d'affixe $z$.
 
On note $U$ le point d'affixe $u$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{A}}$ de centre A et d'angle de mesure $- \dfrac{\pi}{2}$.
 
On note $T$ le point d'affixe $t$, image du point $M$ par la rotation $R_{\text{B}}$ de centre B et d'angle de mesure $\dfrac{\pi}{2}$.

Soit $D$ le symétrique du point $M$ par rapport à O.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Démontrer que l'affixe du point $U$ est $u = \text{i}(10 - z)$ ; exprimer en fonction de $z$ l'affixe du point $T$ puis justifier que le quadrilatère $MUDT$ est un parallélogramme de centre O. 
\item Déterminer l'ensemble $\Gamma$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que : $z\overline{z} - 5z - 5\overline{z} = 0$.

Justifier que le quadrilatère OAPB est inscrit dans $\Gamma$. 
\item On suppose que le point $M$ est distinct de O, A et P. Les points O, $M$ et $U$ sont donc distincts deux à deux. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $\dfrac{u}{z} = \dfrac{\overline{u}}{\overline{z}}$. 
		\item Démontrer que les points O, $M$ et $U$ sont alignés si et seulement si $M$ appartient à $\Gamma$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer l'ensemble des points $M$ du plan tels que O$MU$ soit un triangle isocèle en O. Quelle est dans ce cas la nature du quadrilatère $MUDT$ ? 
\item Déterminer l'ensemble des nombres complexes $z$ tels que $\dfrac{u}{z}$ soit un imaginaire pur. En déduire la nature du quadrilatère $MUDT$ dans le cas où $M$ est un point de la droite (OP) privée de O et P.

Prouver finalement qu'il existe une unique position du point $M$ tel que $MUDT$ soit un carré. 

\end{enumerate} 


  \end{exercice}



  \begin{exercice}
    

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal \Ouv{} ; unité graphique: 4~centimètres.
 
On considère la transformation $f$ du plan qui, à tout point $M$ d'affixe $z$, associe le point $M'$ d'affixe $z'$ telle que

\[ z' = \dfrac{\sqrt{2}}{2}(-1 + \text{i})z.\] 
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la transformation $f$ est une rotation dont on déterminera le centre et l'angle. 
\item On définit la suite de points $\left(M_{n}\right)$ de la façon suivante : $M_{0}$ est le point d'affixe $z_{0} = 1$ et, pour tout nombre entier naturel $n,~ M_{n+1} = f\left(M_{n}\right)$. On note $z_{n}$ l'affixe du point $M_{n}$. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout nombre entier naturel $n,~z_{n} = \text{e}^{\text{i}\left(\frac{3 n \pi}{4} \right)}$. 
		\item Construire les points $M_{0},~M_{1},~M_{2},~M_{3}$ et $M_{4}$.
		\item  Montrer que pour tout nombre entier naturel $n$, les points $M_{n}$ et $M_{n+8}$ sont confondus.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.} 

Prouver que les triangles $M_{0}M_{1}M_{2}$ et $M_{7}M_{0}M_{1}$ ont la même aire. Préciser la valeur exacte de cette aire.
\end{enumerate}


  \end{exercice}



  \begin{exercice}
    
Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal direct \Ouv.
 
\begin{enumerate}
\item On considère le point I d'affixe i et le point A d'affixe $z_{\text{A}} = \sqrt{3} + 2\text{i}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point A appartient au cercle $\Gamma$ de centre le point I et de rayon 2.
		 
Sur une figure (unité graphique 1~cm), qu'on complètera au fur et à mesure de l'exercice, placer le point I, tracer le cercle $\Gamma$, puis construire le point A. 
		\item On considère la rotation $r$ de centre le point I et d'angle $\dfrac{\pi}{2}$.
		 
Démontrer que le point B image du point A par la rotation $r$ a pour affixe $z_{\text{B}} = -1 + \text{i}\left(\sqrt{3} + 1\right)$.

Justifier que le point B appartient au cercle $\Gamma$. 
		\item Calculer l'affixe du point C symétrique du point A par rapport au point I. 
		\item Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
 
On considère les points E et F tels que : $\vect{\text{AE}} = \vect{\text{IB}}$ et $\vect{\text{AF}}  = \vect{\text{BI}}$.
 
Que peut-on conjecturer pour les droites (BF) et (CE) ?

Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration. 
\end{enumerate}


  \end{exercice}






  \begin{exercice}
    


Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} (unité : 1~cm).
 
On fera une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.

\medskip
 
On considère les points A, B, S et $\Omega$ d'affixes respectives $a = -2 + 4\text{i},~b = -4 + 2\text{i},$

$s = -5 + 5\text{i}$ et $\omega = -2 + 2\text{i}$.

\medskip
 
Soit $h$ l'homothétie de centre S et de rapport $3$.
 
On appelle C l'image du point A par $h$ et D l'image du point B par $h$. 


\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'écriture complexe de $h$. 
		\item Démontrer que le point C a pour affixe $c = 4 + 2\text{i}$ et que le point D a pour affixe $d=-2-4\text{i}$.
	\end{enumerate} 
\item Démontrer que les points A, B, C et D sont sur un même cercle dont on précisera le centre et le  rayon. 
\item  Démontrer que la droite (S$\Omega$) est la médiatrice du segment [AB]. 
\item  Soit P le milieu du segment [AC]. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'affixe $p$ du point P. 
		\item Démontrer que $\dfrac{\omega - p}{d - b} = - \dfrac{1}{2}\text{i}$. En déduire une mesure de l'angle $\left(\vect{\text{BD}}~;~\vect{\text{P}\Omega}\right)$. 
		\end{enumerate}
\item Soit Q le milieu du segment [BD].
 
Que représente le point $\Omega$ pour le triangle PQS ?  
\end{enumerate} 

  \end{exercice}



  \begin{exercice}
    

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv{} d'unité graphique 2~cm.

On considère les points A, B et C d'affixes respectives 

\[z_{\text{A}} = -2\text{i},\quad  z_{\text{B}} = -\sqrt{3} + \text{i}~~ \text{et}~~ z_{\text{C}} = \sqrt{3} + \text{i}.\]

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire $z_{\text{A}},~z_{\text{B}}$ et $z_{\text{C}}$ sous forme exponentielle. 
		\item En déduire le centre et le rayon du cercle $\Gamma$ passant par les points A, B et C. 
		\item Faire une figure et placer le point A, tracer le cercle $\Gamma$ puis placer les points B et C.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire le quotient $\dfrac{z_{\text{B}} - z_{\text{A}}}{z_{\text{C}} - z_{\text{A}}}$ sous forme algébrique puis sous forme exponentielle. 
		\item En déduire la nature du triangle ABC .
	\end{enumerate} 
\item On note $r$ la rotation de centre A et d'angle mesurant $\dfrac{\pi}{3}$~radians. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le point O$'$, image de O par $r$, a pour affixe  $- \sqrt{3} - \text{i}$. 
		\item Démontrer que les points C et O$'$ sont diamétralement opposés sur le cercle $\Gamma$. 
		\item Tracer l'image $\Gamma'$ du cercle $\Gamma$ par la rotation r. 
		\item Justifier que les cercles $\Gamma$ et $\Gamma '$ se coupent en A et B.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'ensemble $(E)$ des points $M$ d'affixe $z$ tels que 
		
		\[|z| = \left|z + \sqrt{3} + \text{i}\right|.\] 
		\item Montrer que les points A et B appartiennent à $(E)$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

  \end{exercice}





  \begin{exercice}
    


Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Ouv{} d'unité 1~cm.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Restitution organisée de connaissances}

\smallskip

Pour $M \neq \Omega$, on rappelle que le point $M'$ est l'image du point $M$ par la rotation $r$ de centre $\Omega$ et d'angle de mesure $\theta$ si et seulement si:
\[
\left\{
\begin{array}{rclc}
\Omega M'&=&\Omega M & (1)\\
\left(\vect{\Omega M}~;~\vect{\Omega M'}\right)&=&\theta \text{ à }2k\pi\text{ près }(k\in\Z) &(2)
\end{array}
\right.
\]
\begin{enumerate}
\item Soient $z$, $z'$ et $\omega$ les affixes respectives des points $M$, $M'$ et $\Omega$.

Traduire le relations (1) et (2) en termes de modules et d'arguments.
\item En déduire l'expression de $z'$ en fonction de $z$, $\theta$ et $\omega$

\end{enumerate}
\item 
Résoudre dans l'ensemble $\bbc$ des nombres complexes l'équation:

\[z^2 - 4\sqrt{3}z + 16 = 0.\]

On donnera les solutions sous forme algébrique.
\item Soient $A$ et $B$ les points d'affixes respectives $a=2\sqrt{3}-2\i$ et $b=2\sqrt{3}+2\i$.
\begin{enumerate}
\item Écrire $a$ et $b$ sous forme exponentielle.
\item Faire une figure et placer les points $A$ et $B$.
\item Montrer que O$AB$ est un triangle équilatéral.
\end{enumerate}
\item Soit $C$ le point d'affixe $c=-8\i$ et $D$ son image par la rotation de centre O et d'angle $\dfrac{2\pi}{3}$.

Placer les points $C$ et $D$.

Montrer que l'affixe du point $D$ est $d=4\sqrt{3}+4\i$.
\item Montrer que $D$ est l'image du point $B$ par une homothétie de centre O dont on déterminera le rapport.
\item Montrer que O$AD$ est un triangle rectangle.
\end{enumerate}


  \end{exercice}

\end{listeexercices}


\modenormal

%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyTs.tex"
%%% End: 
