




\documentclass[10pt,a4paper,twoside]{article}
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\usepackage{graphicx}

\graphicspath{{/home/moi/Lycee/1ES/20089/calculatrice/}}

\usepackage{picins}
\usepackage{fancyvrb,amsmath,amssymb,amsbsy,amsfonts,amstext,amscd,amsopn,amsxtra}

\usepackage{filecontents}


%\DeclareGraphicsRule{*}{mps}{*}{}


\usepackage{tocloft}
%ajoute de l'espace entre le
%numero de chapitre (chap) et le titre
%dans la table des matieres

\addtolength{\cftsecnumwidth}{2em}
\addtolength{\cftsubsecnumwidth}{1em}

\usepackage[xcas]{pro-statdiv,pro-2varstat,pro-1varstat}
\usepackage[upright]{fourier}
      \let\danger\undefined
	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{25}%

	\DeclareMathSymbol{\mthdotlessiup}{\mathalpha}{operators}{16}%
	


\newcommand{\eme}{\textsuperscript{e}}

\usepackage[frenchb]{babel}

\usepackage{fancyhdr,bclogo}
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\usepackage{asymptote}
\usepackage[french]{varioref}

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\setlength{\headheight}{12.5pt}


\usepackage{pst-all,pstricks,pst-plot,pst-text,pst-tree,pstricks-add,pst-eucl}


\usepackage{xcolor}
\definecolor{0.6white}{rgb}{0.6,0.6,0.6}
\definecolor{0.4white}{rgb}{0.4,0.4,0.4}
\definecolor{0.8white}{rgb}{0.8,0.8,0.8}
\definecolor{0.2white}{rgb}{0.2,0.2,0.2}
\definecolor{0.9white}{rgb}{0.9,0.9,0.9}

\usepackage{sectsty}


\sectionfont{\LARGE \sffamily\color{0.2white}}
\subsectionfont{\sffamily\color{0.4white}}
\renewcommand\thesection{\Roman{section} -}
\renewcommand\thesubsection{\alph{subsection}. }
\subsubsectionfont{\sffamily\color{0.6white}}
\renewcommand\thesubsubsection{\roman{subsubsection}. }

\newcommand{\xcas}{\lstset{numbers=none,language=mupad,xleftmargin=10pt,%
keywordstyle =\color{0.2white}\usefont{OT1}{cmtt}{b}{n},basicstyle=\ttfamily,commentstyle=\normalfont\scriptsize\slshape,
    backgroundcolor=\color{0.8white},breaklines=true}
}

% %%% un ; avec un peu d'espace autour pour les intervalles
\newcommand{\pv}{\ensuremath{\: ; \,}}

\newcommand{\NoLecon}{}
\newcommand{\NomSection}{}
\newcommand{\NomChap}{}
\newcommand{\NomLecon}{}
\newcommand{\NumLecon}{}


%%%%%%%%%%%%%%%%%NUL
%%%   LECOND{numero}{ecrire  trucieme}{titre}{suite   du  titre   en  dessous}{titre   en   un  seul
%%% morceau}{image sur le côté}


\newcommand{\LECOND}[6]{
%\setcounter{pb}{0}\setcounter{sec}{0}\setcounter{num}{0}\setcounter{solnum}{0}
%\setcounter{Def}{0}\setcounter{Prop}{0}\setcounter{Th}{0}
\renewcommand{\NomLecon}{#5}
\renewcommand{\NumLecon}{#1}\renewcommand{\NoLecon}{#2}
%\thispagestyle{empty}
\begin{minipage}[t]{0.75\textwidth}\vspace{0cm}
\begin{center}
%\pscharpath[linestyle=none,fillstyle=gradient,gradbegin=black,gradend=bleu,gradmidpoint=0.5]
\textcolor{0.4white}{\LARGE\textsc{#2 Le\c con}}\\
\bigskip\bigskip\bigskip
\textcolor{0.4white}{\bfseries \Huge{ #3}} \\ 
\textcolor{0.4white}{\bfseries\Huge{ #4}}   
%\addcontentsline{toc}{chapter}{\protect\numberline{}{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\! \textcolor{bleu}{\textsc{#2\ \ Leçon} : \ #5}} \ \sm}
\end{center}
\end{minipage}
\begin{minipage}[t]{0.3\textwidth}\vspace{0cm}      % ï¿½rajouter si on veut une illustration
\hspace{-1.5cm}
\includegraphics[width=\textwidth]{#6}
\end{minipage}
}

\newcommand{\Mathbold}[1]{\mbox{\boldmath$#1$\unboldmath}}

\newcommand{\sm}{\smallskip} 



% %%% Fraction en oblique
\newcommand{\ofr}[2]{%
	\raisebox{0ex}{$#1$}\negthinspace\slash
	\raisebox{-.5ex}{$#2$}}



\newcommand{\ie}{\leqslant}  % infï¿½ieur ou ï¿½al
\newcommand{\se}{\geqslant}  % supï¿½ieur ou ï¿½al



\newcommand\ath[1]{\foreignlanguage{greek}{\athnum{#1}}}



\fancyfoot[C]{{\scriptsize\textsl{ BTS Domotique 2 - Lycée Jean \textsc{Perrin} - 2009/2010 }}}
 \fancyhead[RO,LE]{\thepage} \fancyhead[RE,LO]{ }
 \fancyhead[CO]{ \sffamily\MakeLowercase{\leftmark} } 
  \fancyhead[CE]{\large\textbf{STATISTIQUES I} }
\renewcommand{\headrulewidth}{0.4pt}
 \pagestyle{fancy}









\usepackage{tabularx}

%%%%%%% Colonne épaisse
\newcolumntype{I}{!{\vrule width 2pt}}

%%%%%%%%%%%%%%% ligne épaisse
\newlength\savedwidth
\newcommand\whline{\noalign{\global\savedwidth\arrayrulewidth
                                             \global\arrayrulewidth 2pt}%
                                 \hline
                                 \noalign{\global\arrayrulewidth\savedwidth}}




%%%%%%%%%%%%% entete tableau normal
\newcolumntype{N}[1]{  I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}I@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}*#1{|@{\vrule height.5cm width0pt depth.2cm\hspace{.5cm}}c@{\hspace{.5cm}}}I  }

\setlength\extrarowheight{4pt}

\renewcommand\tabularxcolumn[1]{m{#1}}  % pour centrer verticalement
\newcolumntype{Z}{>{\centering\arraybackslash}X} % pour centrer horizontalement
\newcolumntype{Y}[1]{IcIZ*{#1}{|Z} I}


\newcommand{\vtabb}{\rule[-1.3em]{0pt}{4em}}






\usepackage{casio,ti83font,keystroke,xlop} 


\graphicspath{{/home/moi/Photos/Tehessin/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/}{/home/moi/Figures/FigSeconde/20078/}{/home/moi/Photos/Maths/}{/home/moi/Lycee/1ES/20089/stats2008/}{/home/moi/Lycee/1ES/20089/stats2008/calculatrice/}}

%%% pointillé


\usepackage{docacompleter}



\newcommand{\cacheb}[1]{\dotfill\textcolor{white}{#1}\textcolor{white}{#1}}
\newcommand{\cacheg}[1]{\dotfill\textcolor{0.9white}{#1}\textcolor{0.9white}{#1}}
\newcommand{\cachegg}[1]{\dots\dots\textcolor{0.8white}{#1}\textcolor{0.8white}{#1}}

% \renewcommand{\cacher}{}
% \renewcommand{\cacheg}{}
% \renewcommand{\cachegg}{}
% \renewcommand{\cacheb}{}



%%% bclogo



% petits environnements bclogo

\newcounter{remar}\newcounter{exem}\newcounter{definit}\newcounter{propri}
\newcounter{theor}\newcounter{retenir}


\newenvironment{DANGER}[1][Attention !]{%
\begin{bclogo}[logo=\bctakecare,arrondi=0.1,couleur=white]{#1}}
{\end{bclogo}}

\newenvironment{Idee}[1]{%
\begin{bclogo}[logo=\bclampe,arrondi=0.1,couleur=white]{#1}}
{\end{bclogo}}


\newenvironment{Remarque}[1][]{%
\refstepcounter{remar}
\begin{bclogo}[logo=\bcnote,arrondi=0.1,couleur=white]{Remarque \theremar\ : #1}}
{\end{bclogo}}


\newenvironment{Retenir}[1][]{%
\refstepcounter{retenir}
\begin{bclogo}[logo=\bcnote,arrondi=0.1,couleur=white]{À retenir (\theretenir)\ : #1}}
{\end{bclogo}}


\newenvironment{Exemple}[1][]{%
\refstepcounter{exem}
\begin{bclogo}[logo=\bcpanchant,arrondi=0.1,couleur=white]{Exemple \theexem\ : #1}}
{\end{bclogo}}



\newenvironment{Definition}[1][]{%
\refstepcounter{definit}
\begin{bclogo}[ombre=true,logo=\bcbook,arrondi=0.1,couleur=0.9white]{Définition \thedefinit\ : #1}}
{\end{bclogo}}




\newenvironment{Propriete}[1][]{%
\refstepcounter{propri}
\begin{bclogo}[ombre=true,logo=\bccoeur,arrondi=0.1,couleur=0.9white]{Propriété \thepropri\ : #1}}
{\end{bclogo}}




\newenvironment{Theoreme}[1][]{%
\refstepcounter{theor}
\begin{bclogo}[ombre=true,logo=\bctrefle,arrondi=0.1,couleur=0.9white]{Théorème \thetheor\ : #1}}
{\end{bclogo}}





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%     FIN DU PREAMBULE

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%





\begin{document}
\setlength{\parindent}{0pt}
\thispagestyle{empty}

\xcas

\LECOND{I}{Première}{STATISTIQUES I}{}{Statistiques}{URHere.eps}

\vspace{2cm}

\section{Lissage par les moyennes mobiles}



Voici un tableau qui donne l'extension de la banquise au minimum de septembre de 1979 à 2007~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{14}}
	     \whline
             Année&79&80&81&82&83&84&85&86&87&88&89&90&91&92&93\\
             \hline
             Extension ($\overline{M}\, {\text km}^2$)&5,3&5,5&4,95&5,13&5,37&4,7&5&5,37&5,3&5,2&4,8&4,62&4,5&5,05&4,45\\
             \whline
             Année&94&95&96&97&98&99&00&01&02&03&04&05&06&07&08\\
\hline
Extension ($\overline{M}\, {\text km}^2$)&4,85&4,4&5,25&4,9&4,26&4,2&4,14&4,55&4,05&4,12&4,3&4,05&4,06&3,75&3,8*\\
             \whline
             \end{tabularx}\caption{Extension de la banquise au  minimum de septembre de 1979 à 2007 en millions de  km$^2$  }\label{pol}
             \end{center}


Représentons cette évolution par un nuage de points~:

 \begin{center}
% \begin{asy}
% import graph_pi;

% graphicrules(xunit=.4cm, yunit=3cm,xmin=1978, xmax=2009,ymin=3, ymax=6);
% xaxis("Ann\'ee",BottomTop,
%        Ticks(Step=5,step=1, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+grey,
%              extend=true));
% yaxis("Extension de la banquise (en $\overline{M}$ de km\textsuperscript{2})",LeftRight,
%        Ticks(Step=1,step=1, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+grey,
%              extend=true));

% // Tableau des annees
% real[] tabxi={1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008};
% // Tableau des extensions
% real[] tabyi={5.3,5.5,4.95,5.13,5.37,4.7,5,5.37,5.3,5.2,4.8,4.62,4.5,5.05,4.45,4.85,4.4,5.25,4.9,4.26,4.2,4.14,4.55,4.05,4.12,4.3,4.05,4.06,3.75,3.8};

% // Tracé du polygone 
% path polygone=graph(tabxi,tabyi);
% draw(polygone,1bp+red);
% dot(polygone);

% //shipout(bbox(3mm,white));

		   

% \end{asy}
\begin{figure}[!h]

\begin{pro-lissage}{2}
[1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008], // liste X
[5.3,5.5,4.95,5.13,5.37,4.7,5,5.37,5.3,5.2,4.8,4.62,4.5,5.05,4.45,4.85,4.4,5.25,4.9,4.26,4.2,4.14,4.55,4.05,4.12,4.3,4.05,4.06,3.75,3.8], // liste Y
1978,2009,3,6, // xmin, xmax,ymin,ymax
3.5,0.35, // 1cm=ux,1cm=uy,
5,1, // ecart_legende_x,ecart_legende_y
1,0.1, // ecart_grille_x,ecart_grille_y
[ // ----------------- debut des options
["mmc",1,"rouge"]
] // ----------------- fin des options
\end{pro-lissage}

\caption{Extension de la banquise au minimum de septembre de 1979 à 2007
  en millions de km$^2$ - Graphe}\label{gmm}
\end{figure}
 \end{center}


On «~sent~» une tendance à la baisse mais des variations saisonnières la
masque. Pour y  remédier, on peut remplacer chaque  terme par sa moyenne
avec les termes voisins.


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[moyenne mobile]
    On appelle  moyenne mobile d'ordre $k$ la  moyenne arithmétique d'un
    terme avec les $k$ termes voisins.
    \end{Definition}
  \end{figure}


{\bfseries EN PRATIQUE}

\begin{itemize}
\item si  $k$ est  impair, c'est-à-dire s'écrit  sous la  forme $k=2p+1$
  alors on  remplace chaque terme  par la moyenne  de ce terme,  des $p$
  termes suivants et des $p$ termes précédents~;
\item Si $k$ est pair,  c'est-à-dire s'écrit sous la forme $k=2p$, c'est
  moins évident~:~on remplace chaque terme  par la moyenne  de ce terme,  des $p$
  termes suivants et des $p$  termes précédents mais les termes extrêmes
  sont affectés d'un coefficient 1/2.
\end{itemize}



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[Lissage par moyennes mobiles]
    Lisser une série chronologique c'est remplacer la série initiale par
    la série des moyennes mobiles.
    \end{Definition}
  \end{figure}

Par exemple, reprenons les données du tableau~\vref{pol} et effectuons
un  lissage  par  moyennes mobiles  d'ordre  5.  Il  y  a 30  termes  au
départ.  L'ordre 5 étant  impair, on  va remplacer  chaque terme  par la
moyenne de ce terme, des 2 précédents et des deux suivants~:~on est donc
obligé  de  commencer par  le  troisième terme  et  de  terminer par  le
vingt-huitième.

On                 remplacera                 alors                $t_3$
par \[t'_3=\frac{t_1+t_2+t_3+t_4+t_5}{5}=\frac{5,3+5,5+4,95+5,13+5,37}{5}=5,25 \]


%\pagebreak

Remplissez le tableau suivant~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{\textwidth}{Y{14}}
	     \whline
             Année&79&80&81&82&83&84&85&86&87&88&89&90&91&92&93\\
             \hline
             Extension ($\overline{M}\, {\text km}^2$)&/&/&5,25&5,13&5,03&... &... &5.114 &5.134 &5.058 & 4,884& 4,834&... &4,694 & 4,65\\
             \whline
             Année&94&95&96&97&98&99&00&01&02&03&04&05&06&07&08\\
\hline
Extension ($\overline{M}\, {\text km}^2$)&...&...&4,732&4,602&4,55&4,41&4,24&4,212&4,232&4,214&4,116&4,056&...&/&/\\
             \whline
             \end{tabularx}\caption{Extension de la banquise au  minimum de septembre de 1979 à 2007 en millions de  km$^2$ lissé par moyennes mobiles d'ordre 5}
             \end{center}





Tracez alors sur le graphique \vref{gmm} la courbe obtenue.
% \begin{center}
% \begin{figure}[!h]

% \begin{asy}
% import graph_pi;

% graphicrules(xunit=.4cm, yunit=3cm,xmin=1978, xmax=2009,ymin=3, ymax=6);
% xaxis("Ann\'ee",BottomTop,
%        Ticks(Step=5,step=1, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+grey,
%              extend=true));
% yaxis("Extension de la banquise (en $\overline{M}$ de km\textsuperscript{2})",LeftRight,
%        Ticks(Step=1,step=1, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+grey,
%              extend=true));

% // Tableau des annees
% real[]
% tabxi={1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008};
% // années lissées
% real[] tabXi={1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006};
% // Tableau des extensions
% real[] tabyi={5.3,5.5,4.95,5.13,5.37,4.7,5,5.37,5.3,5.2,4.8,4.62,4.5,5.05,4.45,4.85,4.4,5.25,4.9,4.26,4.2,4.14,4.55,4.05,4.12,4.3,4.05,4.06,3.75,3.8};
% // tableau lissé
% real[] tabzi={5.25,5.13,5.03,5.114,5.148,5.114,5.134,5.058,4.884,4.834,4.684,4.694,4.65,4.8,4.77,4.732,4.602,4.55,4.41,4.24,4.212,4.232,4.214,4.116,4.056,3.992};
% // Tracé du polygone 
% path polygone=graph(tabxi,tabyi);
% draw(polygone,1bp+red);
% dot(polygone);
% // Tracé du polygone lissé
% path popolygone=graph(tabXi,tabzi);
% draw(popolygone,2.5bp+blue);
% dot(popolygone);
% //shipout(bbox(3mm,white));
% \end{asy}


% \begin{pro-lissage}{1}
% [1979,1980,1981,1982,1983,1984,1985,1986,1987,1988,1989,1990,1991,1992,1993,1994,1995,1996,1997,1998,1999,2000,2001,2002,2003,2004,2005,2006,2007,2008], // liste X
% [5.3,5.5,4.95,5.13,5.37,4.7,5,5.37,5.3,5.2,4.8,4.62,4.5,5.05,4.45,4.85,4.4,5.25,4.9,4.26,4.2,4.14,4.55,4.05,4.12,4.3,4.05,4.06,3.75,3.8], // liste Y
% 1978,2009,3,6, // xmin, xmax,ymin,ymax
% 3.5,0.35, // 1cm=ux,1cm=uy,
% 5,1, // ecart_legende_x,ecart_legende_y
% 1,0.1, // ecart_grille_x,ecart_grille_y
% [ // ----------------- debut des options
% ["mmc",5,"rouge"]
% ] // ----------------- fin des options
% \end{pro-lissage}

% \caption{Extension de la banquise au minimum de septembre de 1979 à 2007
%   en millions de km$^2$ }
% \end{figure}
%  \end{center}


% \begin{pro-lissage}{1}
% [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29],[5.3,5.5,4.95,5.13,5.37,4.7,5,5.37,5.3,5.2,4.8,4.62,4.5,5.05,4.45,4.85,4.4,5.25,4.9,4.26,4.2,4.14,4.55,4.05,4.12,4.3,4.05,4.06,3.75,3.8],0,30,3,6,2,0.33,5,1,5,1,[["mmc",7,"rouge"],["texte-libre",[25,5.2],"ordre 7","rt","rouge"],["mmc",10,"orange"],["texte-libre",[25,5.3],"ordre 10","rt","orange"]]
% \end{pro-lissage}




\section{Mesures de tendance centrale}

\subsection{Le mode}

\subsubsection{Définition}

\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[mode]
    Mesure qui correspond à la valeur ou à la modalité la plus fréquente. S'il y a plusieurs mode, on dit que la distribution est multimodale.
    \end{Definition}
  \end{figure}



C'est la mesure la plus simple à évaluer. 

% \subsubsection{Données groupées par valeurs ou modalités}

% Si on reprend l'exemple du tableau~\vref{election}, le mode est «~extrêmement satisfait~».


% \subsubsection{Données groupées par classes}

% Reprenons cette fois le graphique~\vref{disque}. La classe modale correspond à l'intervalle $[125\pv 150[$. Si on veut un mode plutôt que la classe modale, on prendra le milieu de la classe modale~:~ici 137,5.

\subsubsection{Distribution polymodale}


Considérons le nouvel exemple suivant~:


\begin{center}
  \begin{pro-histogramme}{3}
    [0,5,10,15,20,25,30,35,40],[5*5,53*5,10*5,10*5,55*5,10*5,5*5,2*5],0,45,5,4,5,10,5,10,[["texte-ordonnees","Nb d'élèves"]]
    \end{pro-histogramme}
\caption{Répartition des prisonniers syldaves selon la durée de leur peine (en années)}
  \end{center}


Ce graphique présente deux classes modales~:~$[5\pv 10[$ et $[20\pv 25[$.



\subsection{La médiane}


\subsubsection{Conventions}



Dans toute la suite, on étudiera une population, notée E, et une variable statistique quantitative X définie sur E.

\begin{figure}[!h]
  \begin{Exemple}[]
    Si on étudie  par exemple le nombre de  poupées Barbue que possèdent
    les élèves de la classe de BTS domotique

\begin{itemize}
\item E est l'ensemble des élèves de la classe
\item X est la fonction qui, à un élément de E, associe le nombre de poupées Barbue qu'il ou elle possède.
\end{itemize}

    \end{Exemple}
  \end{figure}


Si E possède $n$ éléments, on notera $V=\big\{x_1,x_2,\cdots,x_{n-1},x_n\big\}$ l'ensemble \textbf{ordonné par valeurs croissantes} des valeurs prises par X.

\begin{figure}[!h]
  \begin{Remarque}[]
    Notez bien que certains éléments de V peuvent être égaux : en effet, deux élèves différents peuvent avoir le même nombre de poupées Barbue.
    \end{Remarque}
  \end{figure}


%\pagebreak


\subsubsection{Définition}

\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[médiane]
    La médiane $M_e$ est un nombre tel que :

\begin{itemize}

\item \textbf{au moins} 50\% des éléments de V sont inférieurs à $M_e$,   
\item \textbf{au moins} 50\% des éléments de V sont supérieurs à $M_e$.

\end{itemize}
    \end{Definition}
\end{figure}

\begin{figure}[!h]
\begin{Exemple}[calcul de la médiane]
    \begin{itemize}
\item $V=\big\{\textcolor{0.4white}{1,2,2,5},5,\textcolor{0.2white}{8,8,9,37}   \big\}$
\item[$\rhd$] $M_e=5$
\item $V=\big\{\textcolor{0.4white}{1,2,2,5},\textcolor{0.2white}{8,8,9,37}   \big\}$
\item[$\rhd$] $M_e=\dfrac{\textcolor{0.4white}{5}+\textcolor{0.2white}{8}}{2}=6,5$

\end{itemize}
    \end{Exemple}
  \end{figure}


\subsubsection{Cas des données groupées par valeurs}


Considérons par exemple la répartition des ministres syldaves selon le nombre d'années qu'ils ont étudié après leur Brevet des Collèges~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.6\textwidth}{Y{1}}
	     \whline
             Nombre d'années après le Brevet & Nombre de ministres & Effectifs cumulés croissants\\
             \whline
             0 & 69 & 69\\
             1 & 31 & 100\\
             2 & 15 & \\
             3 & 6 & \\
             4 & 3 & \\
             5 & 1 & \\
             \whline
             \end{tabularx}\caption{ Répartition des ministres syldaves selon le nombre d'années qu'ils ont étudié après leur Brevet des Collèges}\label{brevet}
             \end{center}

Il y a un nombre impair de données (125). La médiane correspond donc à la donnée de rang 63 (62 après, 62 avant).
Grâce à la troisième colonne, on trouve que la 63\textsuperscript{e} valeur vaut 0. Ainsi la médiane $M_e=0$. On en déduit qu'au moins 50~\% des ministres n'ont pas poursuivi d'étude après le Brevet.

\bigskip

Il peut être plus pratique de travailler avec les fréquences~:



\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.8\textwidth}{Y{3}}
	     \whline
             Nombre d'années après le Brevet & Nombre de ministres &Pourcentage des ministres&Fréquence& Fréquences cumulées croissantes\\
             \whline
             0 & 69 & 69&&\\
             1 & 31 & 100&&\\
             2 & 15 & &&\\
             3 & 6 & &&\\
             4 & 3 & &&\\
             5 & 1 & &&\\
             \whline
             \end{tabularx}\caption{ Répartition en pourcentage des ministres syldaves selon le nombre d'années qu'ils ont étudié après leur Brevet des Collèges}
             \end{center}

Il suffit alors de regarder à quelle valeur correspond la fréquence cumulée 50~\%. 



\subsubsection{Cas des données groupées par classes}


Lorsque les données sont regroupées par classes, on peut, soit procéder graphiquement, soit effectuer un calcul. Dans les deux cas il s'agira d'une approximation.

Considérons l'exemple suivant~:

\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.8\textwidth}{Y{2}}
	     \whline
             Nombre d'heures & Nombre d'élèves & Pourcentage des élèves & Pourcentage cumulé des élèves\\
             \whline
             0-5 & 300 & & \\
             5-10& 420 & & \\
             10-15 & 500 & &\\
             15-20 & 330 & &\\
             20-25 & 250 & & \\
             25-30 & 160 & & \\
             30-35 & 40 & & \\
             \hline
             Total & \nombre{2000} & 100~\%&\\
             \whline
             \end{tabularx}\caption{Répartition et répartition cumulée des \nombre{2000} élèves des lycées Perrin et Goussier de Rezé selon le nombre d'heures de travail personnel par mois.}\label{tcc}
             \end{center}



\paragraph{Méthode graphique} 

On trace le \emph{polygone des fréquences cumulées croissantes~:}


% \begin{asy}

% import graph_pi;

% real xmin=0, xmax=40, ymin=0, ymax=105;
% graphicrules(xunit=.4cm, yunit=.1cm,
%              xmin=xmin, xmax=xmax,
%              ymin=ymin, ymax=ymax,
%              crop=Crop
%              );
% xaxis("Heures mensuelles de travail",BottomTop,
%        Ticks(Step=5,step=1, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+paleblue,
%              extend=true));
% yaxis("Effectifs cumul\'es croissants",LeftRight,
%        Ticks(Step=10,step=5, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+paleblue,
%              extend=true));

% // Tableau des valeurs définissant les classes
% real[] tabxi={0,5,10,15,20,25,30,35};
% // Tableau des effectifs des classes
% real[] tabni={15,21,25,16.5,12.5,8,2};
% // Calcul des effectifs cumulés
% real[] tabecc;
% tabecc[0]=0;
% for(int i=1; i <= tabni.length; ++i)
%   tabecc[i]=tabni[i-1]+tabecc[i-1];

% // Tracé du polygone des effectifs cumulés croissants
% path polygone=graph(tabxi,tabecc);
% draw(polygone,1bp+red);
% dot(polygone,6bp+red);

% draw((0,50)--(12.8,50)--(12.8,0),2bp+blue);
% label("$M_e\approx 13$",(12.8,0),S,blue);

% label("{\large $\mathbf{M_2}$}",(tabxi[2],tabecc[2]),SE,red+2bp);
% label("{\large $\mathbf{M_3}$}",(tabxi[3],tabecc[3]),SE,red+2bp);
% label("{\large $\mathbf{P}$}",(12.8,50),N,blue+2bp);

% \end{asy}

\begin{figure}[!h]
\begin{pro-cumul}{1000}
[0,5,10,15,20,25,30,35], // liste des bornes des classes
[15,21,25,16.5,12.5,8,2], // liste effectifs des classes
13,9, // largeur et hauteur de la figure en cm
0,40,  // xmin,xmax
5,10, // ecart_legende_x,ecart_legende_y
1,5,  // ecart_grille_x,ecart_grille_y
2,  // nb de chiffres après la virgule dans l'affichage des quartiles
[["quartiles",0,1,0]] // on rentre 1 ou 0 pour voir Q1,Me,Q3
\end{pro-cumul}
\caption{Polygone des fréquences cumulées croissantes des \nombre{2000} élèves des lycées Perrin et Goussier de Rezé selon le nombre d'heures de travail personnel par mois.}\label{pcc}
\end{figure}



À chaque borne supérieure des classes, on fait correspondre la fréquence
cumulée  et on relie  les points  par des  segments (cela  constitue une
approximation mais  le fait de regrouper  les élèves en  classe en était
déjà une).

Comme  la  médiane correspond  à  50~\% des  effectifs,  on  lit sur  le
graphique l'abscisse du point du polygone d'ordonnée 50~:~environ 13.



\paragraph{Méthode analytique}

P est le point de la droite $(M_2M_3)$ d'ordonnée 50. On détermine donc une équation de la droite $(M_2M_3)$ et on calcule l'abscisse cherchée.

Ici $M_2(10\pv 36)$ et $M_3(15\pv 61)$. L'équation réduite de $(M_2M_3)$ est de la forme $y=ax+b$ avec $a$ le coefficient directeur.

\[a=\frac{y_{M_3}-y_{M_2}}{x_{M_3}-x_{M_2}}=\frac{61-36}{15-10}=5\]

L'équation devient donc $y=5x+b$. Pour déterminer $b$, il suffit d'utiliser le fait que $M_2$ appartient à $(M_2M_3)$ donc vérifie son équation~:

\[36=5\times 10+b \Longleftrightarrow b=36-50=-14 \]

Finalement, l'équation réduite cherchée est $y=5x-14$. Il reste à chercher le point de cette droite d'ordonnée 50~:

\[50=5x_p-14 \Longleftrightarrow x_p=\frac{50+14}{5}=12,8 \]


On trouve donc $M_e\approx 12,8$.


\subsection{Moyenne}




\subsubsection{Données non groupées}



Soit   $x_1,   x_2,\dots,x_n$   une   série  statistique.   La   moyenne
$\overline{x}$ est l'unique valeur que devrait prendre chacune des données pour que la somme des données soit préservée.

En d'autres termes, on cherche $\overline{x}$ tel que 

\[x_1+x_2+\cdots+x_n=\underbrace{\overline{x}+\overline{x}+\cdots+\overline{x}}_{n \text{ termes}}\]

On en déduit que~:

\[\overline{x}=\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\]

On utilise souvent le symbole $\Sigma$ pour représenter une somme (sigma est la lettre grecque correspondant à notre S).

 Ainsi $\displaystyle \sum_{i=1}^5x_i=x_1+x_2+x_3+x_4+x_5$.

La formule de la moyenne devient donc~:

\[\overline{x}=\frac{\sum_{i=1}^nx_1}{1}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nx_i\]

Faut-il vraiment un exemple~?...

Bon, voici le relevé des pourcentages de réussite lors du dernier exercice de tir des généraux de l'armée syldave~:

\[ 12\ 22 \ 32 \ 2 \ 24 \ 2 \ 5 \ 33\]

Quel est le pourcentage moyen de réussite~?


\subsubsection{Données groupées par valeurs}

Reprenons le  tableau~\vref{brevet}. Si nous voulons  calculer le nombre
moyen  d'années  d'étude  après  le  brevet des  ministres  syldaves  il
faudrait additionner 69 zéros, 31 un, 15 deux, 6 trois, 3 quatre, 1 cinq
et diviser le tout par le nombre total de ministres à savoir 125 d'après
ce que nous venons de voir.

Nous pouvons simplifier les choses en notant $e_i$ l'effectif de la valeur $x_i$~:

\[\overline{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^ne_i\cdot x_i\]



Pour les ministres, $\overline{x}=\frac{1}{125}\left(69\times0+31\times1+15\times2+6\times3+3\times4+1\times5\right)=\cdots$

\subsubsection{Données groupées par classes}\label{mc}

Regrouper des données par classe constitue déjà une approximation mais a
le désavantage  de nous  empécher d'utiliser nos  moyens de  calculer la
moyenne. Pour y remédier, nous allons effectuer une approximation supplémentaire en prenant comme représentant d'une classe son \textbf{milieu}.

% Reprenons le tableau~\vref{harem} en le complétant~:


\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.6\textwidth}{Y{1}}
	     \whline
             Âge & Milieu de classe $(m_i)$& Nombre de femmes \\
             \whline
             15-20& &202\\
             20-25& &204\\
             25-35&&359\\
             35-45&&338\\
             45-65&&304\\
             65-75&&10\\
             \whline
             \multicolumn{2}{Ic|}{Total}&\nombre{1414}\\
             \whline
             \end{tabularx}\caption{Répartition des femmes du harem du Grand Protecteur de la Syldavie selon l'âge avec le milieu des classes}\label{haremcc}
             \end{center}


Nous pouvons alors trouver une approximation de l'âge moyen des femmes du Harem~:

\[\overline{x}\approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^nm_ie_i=\frac{202\times17,5+\cdots\hspace{5cm}}{\nombre{1414}}=\cdots\]


\section{Quartiles et diagrammes en boîte}


\subsection{L'idée}

Pour avoir une idée un peu plus précise de la série statistique étudiée,
on voudrait  séparer notre population  en 4 groupes  au lieu de  2 comme
cela a été fait avec la médiane.


On a donc envie de calculer les médianes des parties basses et hautes.


On a également comme cahier des charges d'avoir  au moins 25\% des valeurs prises par $x$ inférieures au premier quartile $Q_1$ et au moins 75\% des valeurs prises par $x$ inférieures au troisième quartile $Q_3$.


\subsection{Expérimentons}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Exemple}[huit éléments]
    $V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8\}$
    \end{Exemple}
  \end{figure}



On peut séparer l'effectif en quatre groupes de même effectif égal à 25\% de l'effectif total donc ça \og colle\fg

\[V=\big\{\textcolor{0.4white}{1,2},\textcolor{blue}{3,4},\textcolor{red}{5,6},\textcolor{0.6white}{7,8}\}\]



On peut prendre

\begin{itemize}
\item $Q_1=\frac{\textcolor{0.4white}{2}+\textcolor{blue}{3}}{2}=2,5$ et 25\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_1$
\item $M_e=\frac{\textcolor{blue}{4}+\textcolor{red}{5}}{2}=4,5$ et 50\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $M_e$
\item $Q_3=\frac{\textcolor{red}{6}+\textcolor{0.6white}{7}}{2}=6,5$ et 75\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_3$
\end{itemize}



et $Q_1$ et $Q_3$ sont bien les médianes respectives des parties basses et hautes.







\begin{figure}[!h]
  \begin{Exemple}[dix éléments]
    $V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$
    \end{Exemple}
  \end{figure}



On peut séparer l'effectif en parties hautes et basses 

\[V=\big\{\textcolor{0.4white}{1,2},3,\textcolor{blue}{4,5},\textcolor{red}{6,7},8,\textcolor{0.6white}{9,10}\}\]



On peut prendre

\begin{itemize}
\item $Q_1=3$ et $\ofr{3}{10}=30\%(\small\se 25\%)$\normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_1$
\item $M_e=\frac{\textcolor{blue}{5}+\textcolor{red}{6}}{2}=5,5$ et 50\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $M_e$
\item $Q_3=8$ et $\ofr{8}{10}=80\%(\small \se75\%)$ \normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_3$
\end{itemize}




et $Q_1$ et $Q_3$ sont bien les médianes respectives des parties basses et hautes.



\begin{figure}[!h]
  \begin{Exemple}[onze éléments]\label{onze}
    $V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11\}$
    \end{Exemple}
  \end{figure}

On peut séparer l'effectif en parties haute et basse

\[V=\big\{\textcolor{0.4white}{1,2},3,\textcolor{blue}{4,5},6,\textcolor{red}{7,8},9,\textcolor{0.6white}{10,11}\}\]


On peut prendre

\begin{itemize}
\item $Q_1=3$ et $\ofr{3}{11}\simeq 27\%(\small\se 25\%)$\normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_1$
\item $M_e=6$ et 50\% des effectifs ont une valeur  inférieure à $M_e$
\item $Q_3=9$ et $\ofr{9}{11}=82\%(\small \se75\%)$ \normalsize des effectifs ont une valeur  inférieure à $Q_3$
\end{itemize}



et $Q_1$ et $Q_3$ sont  bien les médianes respectives des parties basses
et hautes.




\begin{figure}[!h]
  \begin{Exemple}[neuf éléments]
    $V=\big\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$
    \end{Exemple}
  \end{figure}



On peut séparer l'effectif en parties haute et basse avec la médiane au milieu :

\[V=\big\{\textcolor{0.4white}{1,2},\textcolor{blue}{3,4},5,\textcolor{red}{6,7},\textcolor{0.6white}{8,9}\}\]



et prendre $Q_1=\frac{\textcolor{0.4white}{2}+\textcolor{blue}{3}}{2}=2,5$, mais... 


... seulement $\ofr{2}{9}\simeq 22\%$ des effectifs  ont une valeur  inférieure à $Q_1$, ce qui est contraire à notre cahier des charges. 

Dans ce cas particulier, on va inclure la médiane dans les parties basses et hautes pour éviter cet écueil. 

Cela donne~:




\begin{itemize}


\item $\text{Partie Basse}= \big\{\textcolor{0.4white}{1,2},3,\textcolor{blue}{4,5}\big\}$ donc $Q_1=3$ et $\ofr{3}{9}\simeq 33\%\se 25\%$ des effectifs  ont une valeur inférieure à $Q_1$, ce qui convient.

\item $\text{Partie Haute}= \big\{\textcolor{red}{5,6},7,\textcolor{0.6white}{8,9}\big\}$ donc $Q_3=7$ et $\ofr{7}{9}\simeq 78\%\se 75\%$ des effectifs  ont une valeur  inférieure à $Q_1$, ce qui convient.

\end{itemize}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Remarque}[cycle]
    Il est  aisé de constater que  ces observations vont  se répéter par
    cycle de longueur 4.

C'est quand V a un nombre d'éléments  égal à un multiple de 4 plus 1 que
nous devons être prudents.

D'ailleurs, toutes les machines à calculer ne s'accordent pas sur le calcul des quartiles.


La méthode que je vous propose est la plus cohérente et sera en accord avec la détermination graphique des quartiles que nous verrons bientôt.


Elle permet également d'avoir une définition rigoureuse comme nous allons le voir.
    \end{Remarque}
  \end{figure}


C'est quand V a un nombre d'éléments égal à un multiple de 4 plus 1 que nous devons être prudents.



% \subsection{Définissons}


\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[quartiles]
   \textbf{Le premier quartile} est obtenu en prenant la médiane de la sous-série contenant les observations dont le rang est strictement inférieur à celui de la médiane (\textit{la partie basse}) pour autant qu'au moins 25\% des observations soient inférieures ou égales à cette valeur.

\textbf{Sinon}, il faut inclure la médiane dans la partie basse.

\textbf{Le troisième quartile} est obtenu en prenant la médiane de la sous-série contenant les observations dont le rang est strictement supérieur à celui de la médiane (\textit{la partie haute}) pour autant qu'au moins 75\% des observations soient inférieures ou égales à cette valeur.

\textbf{Sinon}, il faut inclure la médiane dans la partie haute.


    \end{Definition}
  \end{figure}







\subsection{Lecture graphique dans le cas des données groupées en classe}




Complétez  le  graphique~\vref{pcc}  qui  avait  été  obtenu  grâce  au
tableau~\vref{tcc}.





% \begin{asy}

% import graph_pi;

% real xmin=0, xmax=40, ymin=0, ymax=105;
% graphicrules(xunit=.4cm, yunit=.1cm,
%              xmin=xmin, xmax=xmax,
%              ymin=ymin, ymax=ymax,
%              crop=Crop
%              );
% xaxis("Heures mensuelles de travail",BottomTop,
%        Ticks(Step=5,step=1, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+paleblue,
%              extend=true));
% yaxis("Effectifs cumul\'es croissants",LeftRight,
%        Ticks(Step=10,step=5, 
%              pTick=blue, ptick=dashed+paleblue,
%              extend=true));

% // Tableau des valeurs définissant les classes
% real[] tabxi={0,5,10,15,20,25,30,35};
% // Tableau des effectifs des classes
% real[] tabni={15,21,25,16.5,12.5,8,2};
% // Calcul des effectifs cumulés
% real[] tabecc;
% tabecc[0]=0;
% for(int i=1; i <= tabni.length; ++i)
%   tabecc[i]=tabni[i-1]+tabecc[i-1];

% // Tracé du polygone des effectifs cumulés croissants
% path polygone=graph(tabxi,tabecc);
% draw(polygone,1bp+red);
% dot(polygone,6bp+red);

% draw((0,50)--(12.8,50)--(12.8,0),2bp+blue);
% label("$M_e\approx 13$",(12.8,0),S,blue);


% draw((0,25)--(7.25,25)--(7.25,0),2bp+orange);
% label("$Q_1\approx 7$",(7.25,0),S,orange);
% label("$25\%$",(0,25),W,orange);

% draw((0,75)--(19.25,75)--(19.25,0),2bp+gray);
% label("$Q_3\approx 19$",(19.25,0),S,gray);
% label("$75\%$",(0,75),W,gray);

% \end{asy}

% \begin{figure}[!h]
% \begin{pro-cumul}{2000}
% [0,5,10,15,20,25,30,35], // liste des bornes des classes
% [15,21,25,16.5,12.5,8,2], // liste effectifs des classes
% 13,9, // largeur et hauteur de la figure en cm
% 0,40,  // xmin,xmax
% 5,10, // ecart_legende_x,ecart_legende_y
% 1,5,  // ecart_grille_x,ecart_grille_y
% 2,  // nb de chiffres après la virgule dans l'affichage des quartiles
% [["quartiles",1,1,1]] // on rentre 1 ou 0 pour voir Q1,Me,Q3
% \end{pro-cumul}
% \caption{Polygone des fréquences cumulées croissantes des \nombre{2000} élèves des lycées Perrin et Goussier de Rezé selon le nombre d'heures de travail personnel par mois.}\label{pcc}
% \end{figure}

\subsection{Boîte à moustache}


Après  avoir  calculé les  quartiles,  on  peut  les regrouper  dans  un
tableau. Il est toutefois plus parlant de dresser un diagramme en boîte,
ou diagramme de Tukey ou encore boîte à moustache. Reprenons pour cela l'exemple~\vref{onze}




\begin{center}
  \begin{pro-moustache}{1}
    [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11],[1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1],0,15,1,1,15,[]
    \end{pro-moustache}
  \end{center}







% \begin{minipage}[t]{0.75\textwidth}\vspace{0cm}
%  Ce diagramme est dû au statisticien américain John \textsc{Tukey}
% (1915 - 2000) qui a également dit~:
% \begin{quote}
% {\slshape Dans un monde où le prix du calcul continue à diminuer rapidement, alors que le prix de la démonstration d'un théorème est stable ou augmente, les principes élémentaires de l'économie indiquent que nous devrions utiliser une part de plus en plus grande de notre temps à faire des calculs.}
% \end{quote}
% \end{minipage}\hspace{0.5cm}\begin{minipage}[t]{0.2\textwidth}\vspace{-0.6cm}
% \hspace{5.5cm} \begin{flushright}\includegraphics[height=4cm]{john-tukey.eps}\end{flushright}\end{minipage}



\section{Mesures de dispersion}


\subsection{Écart interquartile}

Continuons à exploiter nos quartiles.   Environ 50~\% de la population a
une modalité  entre $Q_1$ et  $Q_3$~:~en observant la boîte  à moustache
décrivant une série statistique, on  peut affiner sa description grâce à
\textbf{l'écart interquartile}.



\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[écart interquartile]
    La distance entre $Q_1$ et $Q_3$ est appelé écart interquartile.
    \end{Definition}
  \end{figure}


Observons deux exemples~:

\begin{figure}[!h]
  \begin{Exemple}[comparaison des écarts interquartiles]\label{comp}
Voici un tableau donnant les notes au Bac de deux classes~:
\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.9\textwidth}{Y{20}}
	     \whline
Notes &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15&16&17&18&19&20\\
\whline
Effectifs classe A &0&0&0&1&1&0&2&3&2&9&5&9&5&1&2&1&0&2&1&1&0\\
Effectifs classe B &0&5&5&5&5&0&0&0&0&0&3&0&5&5&0&2&0&5&0&5&0\\
             \whline
             \end{tabularx}
             \end{center}
    \end{Exemple}
  \end{figure}


Voici les boîtes à moustaches correspondant~:


\begin{center}
  \begin{pro-moustache}{2}
    [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],[0,0,0,1,1,0,2,3,2,9,5,9,5,1,2,1,0,2,1,1,0],0,20,1.5,1,20,[]
    \end{pro-moustache}
\caption{Notes au Bac de la classe A}
  \end{center}


\begin{center}
  \begin{pro-moustache}{3}
    [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],[0,5,5,5,5,0,0,0,0,0,3,0,5,5,0,2,0,5,0,5,0],0,20,1.5,1,20,[]
    \end{pro-moustache}
\caption{Notes au Bac de la classe B}
  \end{center}

Dans les deux  cas la médiane vaut 10~:~cela  signifie qu'au moins 50~\%
des élèves de chaque classe a eu moins de la moyenne.

Cependant,     les      écarts     interquartiles     sont     nettement
différents~:~$Q_3-Q_1=3$  dans la  classe  A mais  $Q_3-Q_1=12$ dans  la
classe  B.  La  classe B  est  nettement  plus  hétérogène en  terme  de
résultats. En effet,  dans la classe A, 50~\% environ  des élèves ont eu
entre 9 et 12 alors que dans  la classe B la moitié des notes se situent
entre 3 et 15.


\subsection{Variance et écart-type}


La dispersion peut également se mesurer autour de la moyenne.


Considérons une série statistique quelconque~:


\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.7\textwidth}{Y{5}}
	     \whline
             	Valeurs $x_{i}$ & $0$ & $1$ & $2$ & $3$ & $4$ & $7$   \\
			\whline
			Effectifs $n_{i}$ & $1$ & $2$ & $2$ & $4$ & $3$ & $2$ \\

             \whline
             \end{tabularx}\caption{Série statistique quelconque}\label{tabqcq}
             \end{center}


À  partir  de  ces  données,  calculez la  moyenne  $\overline{x}$  puis
remplissez le tableau suivant proposant deux façons de \og mesurer\fg pour chaque valeur \og l'éloignement\fg par rapport à $\overline{x}$.




\begin{center}
             \begin{tabularx}{0.7\textwidth}{Y{5}}
	     \whline
			 $x_{i}-\bar{x}$ &&  &   &  &  &      \\
			\whline
			 $(x_{i}-\bar{x})^{2}$ &  &  & &  & &     \\

             \whline
             \end{tabularx}\caption{Essais de  mesures de dispersion par
               rapport à la moyenne}
             \end{center}

  Calculez dans  chacun des trois cas  l'éloignement moyen, c'est-à-dire
  la moyenne des écarts...



\vspace{2cm}


On peut visualiser les écarts sur le schéma suivant~:

\begin{center}
\includegraphics{stats.300}\caption{Visualisation    de    l'écart   par
  rapport à la moyenne}
\end{center}



On peut prouver  (à titre d'exercice...) que l'écart  correspondant à la
première  ligne du  tableau~\vref{tabqcq} est  toujours nul.  On préfère
donc utiliser la moyenne des écarts de la deuxième ligne qu'on appelle \textbf{variance}.

\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[variance]
    On appelle  variance d'une série quelconque à caractère quantitatif 
	discret le nombre~:
	$$
	V=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{p}n_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}=
	  \sum_{i=1}^{p}f_{i}(x_{i}-\overline{x})^{2}
	$$
en notant $n_i$ les effectifs et $f_i$ les fréquences.
    \end{Definition}
  \end{figure}


  \begin{figure}[!h]
    \begin{Remarque}[cas d'un regroupement en classe]
      dans le cas d'un regroupement  en classe, on considère, comme pour
      le calcul de la moyenne (cf \vref{mc}), le milieu des classes.
      \end{Remarque}
    \end{figure}


%\pagebreak
La variance est homogène au carré des valeurs $x_i$~:~on préfère donc en
prendre  la racine  carrée  pour  revenir à  une  grandeur homogène  aux
valeurs mesurées. L'ÉCART-TYPE A DONC LA MÊME UNITÉ QUE LA POPULATION~!

\begin{figure}[!h]
  \begin{Definition}[écart-type]
    L'écart-type d'une série est la  racine carrée de la variance. On le
    note souvant $\sigma$. 
    \end{Definition}
  \end{figure}



Reprenez les séries de  l'exemple~\vref{comp} et calculez les moyennes
et écarts-type.
On peut visualiser cette  dispersion en traçant un diagramme à
bâton  et en mettant  en évidence  l'intervalle $[\overline{x}-\sigma\pv
\overline{x}+\sigma]$.



\begin{center}
  \begin{pro-batons}{3}
    [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],[0,0,0,1,1,0,2,3,2,9,5,9,5,1,2,1,0,2,1,1,0],0,22,0,11,1.5,1.5,1,15,[["ecart-type",1]]
    \end{pro-batons}
\caption{Notes au Bac de la classe A}
  \end{center}



\begin{center}
  \begin{pro-batons}{4}
    [0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20],[0,5,5,5,5,0,0,0,0,0,3,0,5,5,0,2,0,5,0,5,0],0,22,0,11,1.5,1.5,1,15,[["ecart-type",1]]
    \end{pro-batons}
\caption{Notes au Bac de la classe B}
  \end{center}


% % \appendix

%  \section{Utilisation de la calculatrice}

% \subsection{Casio}

% \subsubsection{Manipulations de listes}

% On commence par aller dans le menu STAT \ {\LARGE \CStat}\ et obtient cet écran~:

% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran1.eps}
% \end{center}


% Les touches de  curseur \CFd et \CFg permettent de  choisir sa liste. On
% entre  ensuite  successivement les  valeurs  dans  la  liste choisie  en
% validant à chaque fois avec \CExe.

% Par exemple entrer cette suite de commandes~:

% \CUn \CExe \CDeux \CExe \CTrois \CExe \CSept \CExe \CQuatre \CExe \CCinq \CExe

% \CFd

% \CUn \CExe \CCinq \CExe \CNeuf \CExe \CDeux\CCinq \CExe

% \CFd

% \CNeuf \CExe \CQuatre \CP \CCinq \CExe

% permet d'afficher~:


% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran2.eps}
% \end{center}


% Pour \emph{remplacer  une entrée}, mettez-la en  surbrillance, entrez la
% nouvelle valeur et validez~:

% \CFg \CFh \CQuatre \CExe

% et on obtient~:


% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran3.eps}
% \end{center}





% Pour \emph{insérer  une entrée}  en cas d'oubli,  appuyez sur  \CFS (qui
% correspond à la petite flèche pour
% avoir les autres icônes d'édition, mettez
% la  cellule cible  en surbrillance,  appuyez sur  \CFC qui  correspond à
% l'INSertion puis entrez la
% nouvelle valeur et validez~:

% \CFS \CFb \CFC \CUn \CSix \CExe


% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran4.eps}
% \end{center}


% Pour \emph{supprimer une entrée}, mettez-la en surbrillance, appuyez sur
% \CFT qui correspond à \keystroke{DEL} (delete : effacer)~:


% \CFg \CFh \CFT



% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran5.eps}
% \end{center}



% Pour \emph{supprimer une liste}, mettez-la en surbrillance, appuyez sur
% \CFQ qui correspond à \keystroke{DEL-A} puis \CFU qui correspond à \keystroke{YES}~:


% \CFd \CFd \CFQ \CFU

% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran6.eps}
% \end{center}


% Pour \emph{effectuer des opérations sur les listes} il faut accéder à un
% nouveau   menu   en   tapant   sur   \COptn  \CFU   qui   correspond   à
% \keystroke{List}~:

%  \COptn  \CFU

% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran7.eps}
% \end{center}


% À  l'aide des  flèches  de curseur,  vous  mettez la  nouvelle liste  en
% surbrillance et entrez  à l'aide du menu \keystroke{List}  un calcul sur
% les listes déjà existantes. Par exemple pour obtenir le produit des deux
% premières listes dans la troisième on effectue~:


% \CFh \CFU (List) \CUn \CMult \COptn \CFU (LIST) \CFU (List) \CDeux \CExe



% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran8.eps}
% \end{center}



% puis 


% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran9.eps}
% \end{center}


% \subsubsection{Obtenir moyenne, médiane, quartiles, etc.}


% Vous  rentrez les  variables dans  la liste  1 et  les effectifs  ou les
% fréquences dans la liste 2 puis vous lancez la commande \keystroke{CALC}
% en appuyant sur \CFD.


% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran13.eps}
% \end{center}




% Pour  vérifiez que la  machine est  bien configurée,  il faut  aller sur
% \keystroke{SET} en appuyant sur \CFS

% Il  faut  placer  \keystroke{List1}  devant  \keystroke{1Var  XList}  et
% \keystroke{List2} devant \keystroke{1Var Freq}.


% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran10.eps}
% \end{center}

% On  revient  à l'écran  précédent  avec  \CExit.  On lance  la  commande
% \keystroke{1VAR} en tapant sur \CFU et ce qu'on recherche est affiché~:



% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran11.eps}
% \end{center}

% et en déscendant avec \CFb



% \begin{center}
%   \includegraphics[height=3cm]{./calculatrice/ecran12.eps}
% \end{center}



% \subsection{TI}


% \subsubsection{Obtenir moyenne, médiane, quartiles, etc.}


% C'est plus simple...

% D'abord, on rentre  dans le module de statistique  en tapant sur \tistat
% et on aperçoit



 
% \begin{center}
%   \fbox{ \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/stat.eps}}
% \end{center}


% ensuite on va éditer la liste en appuyant sur \tiun.



% \begin{center}
%  \fbox{  \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statL1L2.eps}}
% \end{center}






% On  entre les  variables dans  \keystroke{L1} 


% \begin{center}
%  \fbox{  \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statL1L2L1.eps}}
% \end{center}

%  et les  effectifs ou  les
% fréquences dans \keystroke{L2}. On passe à L2 avec \tirarrow



% \begin{center}
%  \fbox{  \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statL1L2L1L2.eps}}
% \end{center}

% On quitte ensuite cet écran avec \tisnd \tiquit puis on retourne dans le
% module statistique avec \tistat.

% Cette fois on va dans \keystroke{CALC} avec \tirarrow


% \begin{center}
%  \fbox{  \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statCalc.eps}}
% \end{center}


% On choisit \keystroke{1-Var Stats}


% \begin{center}
%   \fbox{ \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statVarStat.eps}}
% \end{center}

% puis on donne la colonne des variables en tapant \tisnd \tilun 



% \begin{center}
%   \fbox{ \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statVarStatL1.eps}}
% \end{center}


% la virgule pour séparer \tivirg




% \begin{center}
%   \fbox{ \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statVarStatL1V.eps}}
% \end{center}

% puis les fréquences ou les effectifs dans la deuxième colonne \tisnd \tildeux



% \begin{center}
%   \fbox{ \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statVarStatL1L2.eps}}
% \end{center}


% et il ne reste plus qu'à taper \tienter


% \begin{center}
%   \fbox{ \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statresult1.eps}}
% \end{center}

% et à faire défiler les résultats avec \tidarrow


% \begin{center}
%  \fbox{ \includegraphics[height=3cm]{./TI/img/statresult2.eps}}
% \end{center}

% \subsubsection{Manipulations de listes}

% c'est encore plus simple...

% On se positionne sur une autre liste et \tilun \timult \tildeux \tienter
% et voilà...


% % bib
% \vfill







% \pagebreak


% \nocite{*}
% \bibliography{stats2008}



% \tableofcontents


\end{document}
%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: t
%%% End: 

