\chapterimage{laplace}
\chaptertext{Pierre-Simon  de \textsc{Laplace}  (1749-1827)  a été  très
éclectique dans ses explorations  scientifiques (qui furent majeures) et
politiques (qui furent souvent médiocres). Fils  d'un ouvrier agricole,
il  fut ministre  de l'intérieur  sous le  Consulat, comte  de l'Empire,
marquis après la Restauration. Son  \oe uvre mathématique est très riche
mais c'est paradoxalement  une découverte d'\textsc{Euler} dévéloppée un
siècle plus tard par \textsc{Heaviside} qui a été
nommée en son honneur et que nous allons étudier aujourd'hui
}
\setcounter{chapter}{6}
\maple



\chapter{Transformée de \textsc{Laplace}}


\section{Apéritif: convergence uniforme d'une suite de fonctions}

On considère une suite de fonctions $(f_n)$ définie sur un intervalle I.

Calculez $
\displaystyle\lim_{n\to  +\infty}f_n(x)$,  le  maximum de  $f_n(x)$  sur
I.  Dites  si la  convergence  est  uniforme  et vérifiez  si  l'égalité
   suivante a lieu:

$$
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}\displaystyle\int_{a}^{b}f_n(x)\;\mathrm{d}x=\displaystyle\int_{a}^{b}
\displaystyle\lim_{n\to +\infty}
f_n(x)\;\mathrm{d}x
$$

Ah, j'oubliai: tout ceci avec Maple, évidemment... 

Vous commencerez par \verb+f:=(n,x)->...)+.  Vous utiliserez \verb+limit+,
\verb+int+,   \verb+solve+.   Vous  finirez   par   une  animation   des
représentations  graphiques des  $f_n$ pour  différentes valeurs  de $n$
avec \verb+plots[display]([P],insequence=true)+.


Testez          avec         $f_n(x)=\frac{nx}{(1+n^2x^2)^2}$         et
$g_n(x)=\frac{n^2x}{(1+n^2x^2)^2}$ sur $[0,1]$ par exemple.

\section{Gâteau  sec:  une  drôle  de  fonction intégrable  au  sens  de
\textsc{Riemann}}

%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{riemann}
\caption{{\scriptsize Bernhard \textsc{Riemann}  (1826-1866)}}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.9cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}

Cet  exemple, cité  dans  l'excellent \og  \textit{L'analyse  au fil  de
l'histoire}\fg{}  de \textsc{Hairer} et  \textsc{Wanner}, a  été proposé
par \textsc{Riemann} en  1854 pour démontrer la portée  de sa théorie de
l'intégration. Soit 

$$f(x)=\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{B(nx)}{n^2}
\quad \text{où}\quad B(x)
\begin{cases}
  x- \langle x\rangle \quad \text{si } 2x\not\in\bbz\\
0\quad \text{sinon}
\end{cases}
$$


avec $  \langle x\rangle$ l'entier  le plus proche de  $x$ (\verb+round+
sous Maple).

Que pensez-vous de la continuité de cette fonction sur $[0,1]$?  La série
converge-t-elle  uniformément? La fonction  $f$ est-elle  intégrable sur
$[0,1]$?

Créez une procédure \verb+B:=x->...+ qui calcule $B(x)$.

Vous utiliserez \verb+type+ et une
conditionnelle \verb+if...then...else...+.

Créez ensuite une procédure \verb+fn:=(n,x)->...+ qui calcule $\frac{B(nx)}{n^2}$.

Tracez la représentation graphique de plusieurs $f_n$.

Créez  \verb+F:=(n,x)->sum(fn(k,x),k=1..n)+ et tracez  la représentation
graphique de \verb+F(100,x)+ par exemple.


\section{PLat de résistance: transformée de \textsc{Laplace}}

\subsection{Rôle}

La  transformée de  \textsc{Laplace}  permet de  convertir une  équation
différentielle dont on connaît  les conditions initiales en une équation
algébrique: on résout l'équation algébrique 
puis on effectue  la transformation inverse pour obtenir  la solution de
l'équation différentielle.

\subsection{Définitions et premières propriétés}

 Si $f$ est une fonction définie sur $\R$ en étant 
identiquement nulle sur $\mathopen]-\infty;0\mathclose[$, on appelle transformée de Laplace
de $f$ la fonction $F$ définie, sous certaines conditions, par:

\[\mathcal L \bigl( f(x) \bigr)=F(s)=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-sx}f(x)\;\mathrm{d}x\]

La  fonction  $\LR$   qui  à  $f$  associe  sa   transformée  F  est  la
\textbf{transformation de \textsc{Laplace}}.

Pour  assurer  l'existence  de  la transformée,  voici  deux  conditions
suffisantes:

\begin{itemize}
\item $f$ est continue par morceaux sur tout compact $[0,A]$;
\item  $f$  est d'ordre  exponentiel  à  l'infini:  il existe  $M>0$  et
      $a\in\R$ tels que  $\left|f(x)\right|<M \mathrm{e}^{ax}$ pour tout
      $x$ assez grand.
\end{itemize}


Si  ces  conditions sont  vérifiées,  pour  quelles  valeurs de  $s$  la
transformée est-elle définie?

On  obtient  facilement  les   transformées  de  Laplace  des  fonctions
polynomiales, trigonométriques, exponentielles, etc. qu'on regroupe dans
une  table. 


Créez une fonction \verb+lap := (f,s) ->...+.

Déterminez les  transformées de \textsc{Laplace}  des fonctions définies
par les expressions suivantes
et vérifiez avec Maple en utilisant \verb+assume+ à bon escient:

$f_1(x)=1$,       $f_2(x)=x$,      $f_3(x)=x^n$,      $f_4(x)=\sqrt{x}$,
$f_5(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}$,                   $f_6(x)=\mathrm{e}^{-ax}$,
$f_7(x)=\cos(\omega x)$, $f_8(x)=\sin(\omega x)$, $f_9(x)=\sh(ax)$, $f_{10}(x)=\ch(ax)$.

Vous donnerez vos résultats sous forme d'un tableau. 


%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{heaviside}
\caption{{\scriptsize Oliver \textsc{Heaviside}  (1850-1925)}}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.9cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}

On a l'habitude de nommer la fonction $\UR: x\mapsto
\begin{cases}
  1 \text{ si } x \geqslant 0\\
0 \text{ sinon}
\end{cases}
$ \textbf{échelon de \textsc{Heaviside}}  du nom du scientifique anglais
qui créa le calcul opérationnel que nous allons bientôt introduire.


La transformation de \textsc{Laplace} est clairement linéaire.

Exprimez $\LR(f(ax))$ et $\LR(f(x-a))$ en fonction de $\LR(f(x))$.

Que peut-on dire de la transformée d'une fonction périodique?

On suppose que $f'$ vérifie les mêmes conditions que $f$.
Démontrez que $$\LR(f'(x))=sF(s)-f(0^+)$$ puis que 

$$\LR(f''(x))=s^2F(s)-sf(0^+)-f'(0^+)$$

si $f''$ est suffisamment régulière.

En   fait,  aux   valeurs  initiales   près  (!),   la   transformée  de
\textsc{Laplace} remplace  le produit  formel de $f(x)$  par $\frac{{\rm
d}}{{\rm d}x}$ par le produit algébrique de $F(s)$ par $s$.


Que vaut $
\displaystyle\lim_{s\to +\infty}
\displaystyle\int_{0}^{+\infty}\mathrm{e}^{-sx}f'(x)\;\mathrm{d}x
$?

Déduisez-en $
\displaystyle\lim_{s\to +\infty}sF(s)$ (C'est le théorème de la valeur initiale).


Montrez de même que 

$$\LR
\left(\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)\;\mathrm{d}t\right)=\frac{F(s)}{s}$$


\subsection{Transformation inverse}



%\vspace{-6.2cm}
\setindent{0cm}
\begin{flushleft}
\begin{minipage}[t]{3cm}
\begin{figure}
  \includegraphics[width=3cm]{lerch}
\caption{{\scriptsize Mathias \textsc{Lerch}  (1860-1922)}}
\end{figure}
\end{minipage}
\end{flushleft}
\setindent{\indentationcours}
\vspace{-5.9cm}
\begin{minipage}[t]{\linewidth}


\end{minipage}

On sent,  d'après les résultats précédents, quelles  pourraient être les
applications de cette transformation.

Pour cela, il faudrait pouvoir passer de la transformée à \textbf{l'original}.
Si $F(s)=\LR \left(f(x)\right)$  alors $f$
 est une transformée inverse de $F$: $f(x)=\LR^{-1}\left(F(s)\right)$.

 On parle alors d'\textbf{original} de $F(s)$.

 On fera attention au fait que deux fonctions distinctes peuvent avoir la
 même  transformée. Toutefois,  un théorème  dû à  \textsc{Lerch} (1903)
 permet d'avoir une idée du problème:

\textit{Si la fonction résultat  $F(s)$ est identiquement nulle, ou même
si l'on sait  seulement que $F(s_0+mh)=0$ ($m=1, 2,3,...)$  où $s_0$ est
un point  quelconque du demi-plan de  convergence et $h$  un nombre réel
quelconque, la fonction $f(x)$ est nulle presque partout.}

La  démonstration   est  fondée  sur  le   théorème  d'approximation  de
\textsc{Weierstra\ss }.

On retiendra donc que l'original est unique sur tout sous-ensemble où il
est continu.


La   transformation  inverse   est  linéaire   comme   réciproque  d'une
application linéaire.

Nous abuserons donc des décompositions en éléments simples.

Déterminez les originaux de $F(as)$ et $F(s+a)$, de $F'(s)$ et de $\displaystyle\int_{s}^{+\infty}F(u)\;\mathrm{d}u$.



Montrez                     que                     $\LR^{-1}(F(s)\times
G(s))=\displaystyle\int_{0}^{x}f(t)g(x-t)\;\mathrm{d}t$    (produit   de
convolution de $f$ par $g$).


\subsection{Application à la résolution d'équation différentielles linéaires} 




On  veut  résoudre  l'équation  différentielle  $y''-3y'-4y=\sin(x)$  en
utilisant  les transformées  de  Laplace avec  les conditions  initiales
$y(0)=1$ et $y'(0)=-1$.



Alors:

\[ \mathcal L \left(y''-3y'-4y\right)=\mathcal L \left(\sin(x)\right)\]


c'est-à-dire:


\[\left(s^2-3s-4\right)\mathcal L(y)-sy(0)-y'(0)+3y(0)=\mathcal L(\sin(x))\]


Déterminez $\LR(y)$. Vérifiez avec Maple.


Utilisez    \verb+convert(L(y),parfrac,s)+     pour    vérifier    votre
décomposition en éléments simples.

Vous       pourrez        vérifier       votre       résultat       avec
\verb+inttrans[invlaplace](%,s,x)+.



Appliquez cette méthode pour résoudre le système différentiel:

$$
\begin{cases}
  y'_1=4y_1+4y_2\\
y'_2=y_1+4y_2
\end{cases}
\quad \text{avec}\quad
\begin{cases}
  y_1(0)=0\\y_2(0)=1
\end{cases}
$$

\section{Fromage: exercices divers}

\begin{exercice}
  Soit    la    fonction   $J(x)=\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}(-1)^n
  \frac{1}{(n!)^2}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n}$.

Vérifiez que sa transformée est $\frac{1}{\sqrt{s^2+1}}$.

Résolvez l'équation  différentielle $xy''+y'+xy=0$ telle  qe $y(0)=1$ et
$y'(0)=0$ en utilisant les transformées de \textsc{Laplace}.
\end{exercice}




\begin{exercice}
  Développez  $\frac{\sin  x}{x}$  en   série  entière.  En  déduire  sa
  transformée de \textsc{Laplace}.

Retrouvez ce résultat à l'aide de l'original de $\displaystyle\int_{s}^{+\infty}F(u)\;\mathrm{d}u$.


Résolvez ensuite $xy''+2y'+xy=0$, $y(0)=1$, $y'(0)=0$.
\end{exercice}



\section{Dessert: directement avec Maple (pour vérifier..)}


\verb+dsolve({equa,cond},fonc(var),method=laplace)+
permet de résoudre directement l'équation différentielle.

Pour utiliser des outils plus détaillés, on ouvre la
bibliothèque \verb+inttrans+.

\begin{lstlisting}[caption={}]
> with(inttrans);
> equadiff := diff(x(t),t$2)-4*diff(x(t),t)+3*x(t)=exp(3*t);
> L:=laplace(equadiff,t,s);
> L:=subs({x(0)=4,D(x)(0)=8},L);
> L:=subs(laplace(x(t),t,s)=K(s),L);
> K(s):=solve(L,K(s));
> sol := invlaplace(K(s),s,t);
\end{lstlisting}


\section{Digestif: une démonstration du théorème de \textsc{Lerch} dans
un cas particulier}

Soit $f$ continue et bornée sur $[0,+\infty[$.

On  note   $F(s)=  \displaystyle\int_{0}^{+\infty}  f(t)\mathrm{e}^{-st}
\;{\rm d} t $ et  $G(s)=  \displaystyle\int_{0}^{+\infty}  tf(t)\mathrm{e}^{-st}
\;{\rm d} t $.

\begin{enumerate}
\item Montrez que $F$ est de classe $\CR^\infty$ sur $]0,+\infty$.
\item                          Soit                          $h:t\mapsto
  \mathrm{e}^{t}\mathrm{e}^{-\mathrm{e}^{t}}$. 

\begin{enumerate}

\item                             Montrez                            que
      $h(t)=\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\mathrm{e}^{(k+1)t}$.
\item Montrez que $h$ est intégrable sur $\R$ et que $\displaystyle\int_{\R}h=1$.
\item Pour $n\in\bbn^*$, on définit $h_n:t\mapsto nh_n(t)$. Montrez que 
$$\forall      a>0,\quad      \displaystyle\lim_{n     \to      +\infty}
\displaystyle\int_{-a}^{a}h_n(t)\;\mathrm{d}t =1$$
\item En  déduire que pour $f$  continue et bornée sur  $\bbr_+$ et pour
      tout $x>0$:
$$\displaystyle\lim_{n     \to      +\infty}
\displaystyle\int_{0}^{+\infty}h_n(x-t)f(t)\;\mathrm{d}t =f(x)$$
\end{enumerate}
\item Soit  $F$ la  transformée de \textsc{Laplace}  de $f$  continue et
      bornée sur $\R_+$.

Montrez que pour tout $x>0$ et tout $n\in\bbn^*$:

$$n\displaystyle\sum_{k=0}^{+\infty}\frac{(-1)^k}{k!}\mathrm{e}^{n(k+1)x}F(n(k+1))=\displaystyle\int_{0}^{+\infty}h_n(x-t)f(t)\;\mathrm{d}t $$

\item  Que pouvez-vous  en  déduire s'il  existe  $A>0$ tel  que F  soit
      identiquement nulle sur $[A,+\infty[$?
\end{enumerate}



%  qui sera également
% utile dans  le sens inverse:  si $F(s)=\LR \left(f(x)\right)$  alors $f$
% est une transformée inverse de $F$: $f(x)=\LR^{-1}\left(F(s)\right)$.

% On parle alors d'\textbf{original} de $F(s)$.

% On fera attention au fait que deux fonctions distinctes peuvent avoir la
% même transformée. Toutefois, 

%%% Local Variables: 
%%% TeX-master: "PolyMapleMPstar"
%%% End: 
